任务一 探究三角形的内切圆及作法
阅读材料，完成下列探究.
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的一块三角形废料(如图所示)进行加工：裁下一块圆形用料.怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？

探究1：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
探究2：如何找到满足条件的最大圆的圆心呢？
新知生成：与三角形各边都的圆叫作三角形的内切圆，圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.

探究1 解：如图，最大的圆与三角形三边都相切。
探究2 解：作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆心。
新知生成 相切 内切

【分析】
解决本题可从“圆形面积最大”的要求倒推思考：
1. 探究1思路：要让三角形内的圆面积最大，需圆的半径尽可能大，若圆和三角形的边存在空隙，说明半径还可以增大，直到圆和三条边刚好接触没有空隙，也就是相切的状态，此时圆无法再扩大，就是符合要求的最大圆。
2. 探究2思路：圆和三边都相切，说明圆心到三角形三条边的距离都等于半径、长度相等。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此同时在两个角的角平分线上的点，到三条边的距离都相等，这个点就是所求的圆心。
3. 新知生成部分结合探究结论，对应内切圆的基础概念填写即可。
【解析】
探究1：若三角形内的圆未与三边都相切，则圆至少和一条边之间存在空隙，可继续增大圆的半径，直到圆与三边都相切时，半径无法再增大，此时圆的面积最大，因此最大圆与三角形三边都相切。
探究2：和三边相切的圆的圆心到三条边的距离相等，而角平分线上的点到角两边的距离相等，因此作三角形任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点到三边的距离都相等，该交点就是最大圆的圆心。
新知生成：根据三角形内切圆的定义，与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，因此两个空依次填写相切、内切。
【答案】
探究1 解：如图，最大的圆与三角形三边都相切。
探究2 解：作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆心。
新知生成 相切 内切
【知识点】
三角形内切圆定义；角平分线的性质；三角形内心定义
【点评】
本题是三角形内切圆的基础探究题，结合实际应用场景引导理解内切圆的特征和内心的确定方法，是学习内切圆相关计算和应用的基础，掌握相关基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

已知钝角三角形ABC.求作和$△ ABC$各边都相切的圆.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

解：如图。

【分析】
要作与△ABC各边都相切的圆，也就是作三角形的内切圆。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知内切圆的圆心（内心）是三角形任意两个内角角平分线的交点，该点到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径。解题思路为：先作两个内角的角平分线得到圆心，再作圆心到任意一边的垂线段得到半径，最后以该点为圆心、垂线段长为半径作圆即可。
【解析】
所求作的圆是△ABC的内切圆，作图原理如下：
1. 分别作∠A、∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心O，该点到三角形三边的距离相等；
2. 过点O作AB的垂线，垂足为D，OD的长度就是内切圆的半径；
3. 以O为圆心，OD长为半径作圆，该圆与△ABC的三边都相切，即为所求。（本题要求不写作法，保留作图痕迹即可）
【答案】

【知识点】
三角形内切圆，角平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是基础几何作图题，核心考查三角形内切圆圆心的确定方法，需要熟练掌握角平分线的作图方法和性质，是对几何基本作图技能的常规考查。
【难度系数】
0.8

例 如图，在$△ ABC$中，点E是内心，延长AE交$△ ABC$的外接圆于点D，连接DB，DC. 求证：$DB=DC=DE$.

归纳总结
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点；三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
即时测评

证明：连接BE(图略)。
∵点E为内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC。
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE。
∴$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角相等。
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，DB=DC。
又
∵∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE。
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB。
∴DE=DB。
∴DB=DC=DE。

【分析】
要证明三条线段相等，可拆分两个部分逐步推导：①先证$DB=DC$：已知E是三角形内心，内心为三角形角平分线的交点，因此AE平分$∠ BAC$，可得$∠ BAD=∠ CAD$，根据同圆中相等的圆周角对应弧相等，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，等弧对等弦即可推出$DB=DC$；②再证$DB=DE$：只需证明$△ DBE$为等腰三角形，即$∠ DBE=∠ DEB$即可，连接BE，利用BE平分$∠ ABC$的性质，结合同弧所对圆周角相等，将两个角分别拆分为两个小角的和，推导得两角相等，即可推出$DE=DB$，最终得三条线段相等。
【解析】
证明：连接BE。
∵点E为$△ ABC$的内心，
∴AE平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∴$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角相等，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，由等弧对等弦得$DB=DC$。
又
∵$∠ DBC$和$∠ CAD$均为$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
∴$∠ DBC=∠ CAD$，结合$∠ CAD=∠ BAD$，可得$∠ DBC=∠ BAE$。
∵$∠ DBE=∠ CBE+∠ DBC$，$∠ DEB$是$△ ABE$的外角，故$∠ DEB=∠ ABE+∠ BAE$，
又$∠ CBE=∠ ABE$，$∠ DBC=∠ BAE$，
∴$∠ DBE=∠ DEB$，
∴$DE=DB$。
∴$DB=DC=DE$。
【答案】
$DB=DC=DE$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础典型题，核心考察角的等量转化能力，解题关键是灵活运用三角形内心的角平分线性质、圆周角定理关联不同角的关系，通过等角对等边完成等线段的证明。
【难度系数】
0.7

如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 43°$，$∠ C = 61°$，点$I$是$△ ABC$的内心，求$∠ BIC$的度数。

128°

【分析】
解题时首先明确三角形内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB。我们可以先计算出∠IBC和∠ICB的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可求出∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×43° = 21.5°，
∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×61° = 30.5°，
在△IBC中，根据三角形内角和定理：
∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 21.5° - 30.5° = 128°。
【答案】
128°
【知识点】
三角形内心的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形内心性质的理解与三角形内角和定理的应用，解题关键是牢记内心是三角形内角平分线的交点，准确计算出两个角的半角后代入内角和公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系。

三角形各边 (1)内切圆 (2)角平分线 (3)三条边

【分析】
这道题考查三角形内切圆与内心的相关基础概念，解题时先回忆对应知识点即可：首先明确三角形内切圆的定义，再梳理内心的定义、作法和性质，依次对应空缺内容填写。首先回忆三角形内切圆的定义是与三角形各边都相切的圆；再回忆三角形内心的相关内容：内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，性质是到三角形三条边的距离相等，对应填空即可。
【解析】
我们依次对应空缺填写内容：
1. 三角形内切圆的定义为：与三角形各边都相切的圆，因此第一个空缺填“三角形各边”；
2. 三角形内心的定义是三角形内切圆的圆心，因此(1)处填“内切圆”；
3. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，因此(2)处填“角平分线”；
4. 三角形内心的性质为到三角形三条边的距离相等，因此(3)处填“三条边”。
【答案】
三角形各边 (1)内切圆 (2)角平分线 (3)三条边
【知识点】
三角形内切圆定义，三角形内心定义，三角形内心性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对三角形内切圆和内心相关基础知识点的掌握，熟记课本对应概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9