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三、解答题(共46分)
19.(6分)已知y是x的正比例函数，且当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=2$。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)当$y=-4$时，求自变量x的值。
19.(6分)已知y是x的正比例函数，且当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=2$。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)当$y=-4$时，求自变量x的值。
答案
19. (1)设y关于x的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，把$x=-\frac{1}{2},y=2$代入，得$2=k·(-\frac{1}{2})$，
$\therefore k=-4,\therefore y$关于x的函数表达式为$y=-4x$
(2)当$y=-4$时,$-4=-4x,\therefore x=1$
$\therefore k=-4,\therefore y$关于x的函数表达式为$y=-4x$
(2)当$y=-4$时,$-4=-4x,\therefore x=1$
解析
【分析】
(1) 求解正比例函数表达式，首先明确正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），仅需求出系数$k$即可确定表达式。题目给出了一组$x$和$y$的对应值，将其代入一般式即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$就能得到函数表达式。
(2) 已得到$y$与$x$的函数关系，已知$y$的值求自变量$x$，只需将$y=-4$代入已求出的函数表达式，解关于$x$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx\ (k≠0)$，
把$x=-\frac{1}{2},y=2$代入表达式，得：
$2=k·(-\frac{1}{2})$
解得$k=-4$，
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-4x$。
(2) 当$y=-4$时，将其代入$y=-4x$，得：
$-4=-4x$
解得$x=1$。
【答案】
(1) $y=-4x$；(2) $x=1$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法；函数值求解
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查对正比例函数形式的掌握和待定系数法的运用，解题逻辑清晰，计算量小，掌握基础方法即可快速解答，是函数部分的入门类题型。
【难度系数】
0.9
(1) 求解正比例函数表达式，首先明确正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），仅需求出系数$k$即可确定表达式。题目给出了一组$x$和$y$的对应值，将其代入一般式即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$就能得到函数表达式。
(2) 已得到$y$与$x$的函数关系，已知$y$的值求自变量$x$，只需将$y=-4$代入已求出的函数表达式，解关于$x$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx\ (k≠0)$，
把$x=-\frac{1}{2},y=2$代入表达式，得：
$2=k·(-\frac{1}{2})$
解得$k=-4$，
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-4x$。
(2) 当$y=-4$时，将其代入$y=-4x$，得：
$-4=-4x$
解得$x=1$。
【答案】
(1) $y=-4x$；(2) $x=1$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法；函数值求解
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查对正比例函数形式的掌握和待定系数法的运用，解题逻辑清晰，计算量小，掌握基础方法即可快速解答，是函数部分的入门类题型。
【难度系数】
0.9
20. (6分)漏刻是我国古代的一种计时工具(如图1)，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。某学习小组在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型。该学习小组通过观察，记录水位$h$(cm)、时间$t$(min)的数据，得到下表。
(1)在图2所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象。
(2)当水位高度$h$为4.8 cm时，求对应的时间$t$的值。
(1)在图2所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象。
(2)当水位高度$h$为4.8 cm时，求对应的时间$t$的值。
答案
20. (1)描点如答图
这些点是在同一条直线上,最符合实际的函数模型为$h=kt+b$,把$(1,1.6),(2,2.0)$代入,得$\begin{cases}1.6=k+b,\\2.0=2k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=0.4,\\b=1.2,\end{cases}$ $\therefore$相应的函数表达式为$h=0.4t+1.2$
(2)令$h=4.8$,得$4.8=0.4t+1.2$,解得$t=9$。答:对应的时间$t$的值为9 min
解析
【分析】
解决本题首先分析第(1)问：先将已知的时间和水位对应数据在坐标系中描点，观察点的分布特征，发现所有点均在同一条直线上，因此确定函数为一次函数，选用一次函数模型$h=kt+b$（$k≠0$）求解。随后选取两组对应数据代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组得到参数值，再验证其余数据符合该解析式后，画出函数图象即可。
再解决第(2)问：将给定的水位高度$h=4.8\ \mathrm{cm}$代入第(1)问求出的函数解析式，得到关于$t$的一元一次方程，解方程即可求出对应的时间$t$。
【解析】
(1) 首先根据表格给出的$(t,h)$数据在平面直角坐标系中描点，观察可得所有描出的点在同一条直线上，因此选择一次函数模型$h=kt+b$（$k≠0$）。
选取点$(1,1.6)$和$(2,2.0)$代入函数式，得到方程组：
$\begin{cases}k + b = 1.6 \\2k + b = 2.0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=0.4$，将$k=0.4$代入$k+b=1.6$，解得$b=1.2$。
将其余已知点代入$h=0.4t+1.2$验证，均满足该式，因此所求函数表达式为$h=0.4t+1.2$，再画出过这些点的直线即可。
(2) 当$h=4.8\ \mathrm{cm}$时，将其代入解析式$h=0.4t+1.2$，得：
$4.8=0.4t+1.2$
移项计算得$0.4t=3.6$，解得$t=9$。
【答案】
(1)描点如答图
这些点是在同一条直线上,最符合实际的函数模型为$h=kt+b$,把$(1,1.6),(2,2.0)$代入,得$\begin{cases}1.6=k+b,\\2.0=2k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=0.4,\\b=1.2,\end{cases}$ $\therefore$相应的函数表达式为$h=0.4t+1.2$
(2)令$h=4.8$,得$4.8=0.4t+1.2$,解得$t=9$。答:对应的时间$t$的值为9 min
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数求值
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时的传统文化背景考查一次函数的实际应用，需要学生熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，以及利用函数解析式求解对应变量的值，题目贴合生活实际，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题首先分析第(1)问：先将已知的时间和水位对应数据在坐标系中描点，观察点的分布特征，发现所有点均在同一条直线上，因此确定函数为一次函数，选用一次函数模型$h=kt+b$（$k≠0$）求解。随后选取两组对应数据代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组得到参数值，再验证其余数据符合该解析式后，画出函数图象即可。
再解决第(2)问：将给定的水位高度$h=4.8\ \mathrm{cm}$代入第(1)问求出的函数解析式，得到关于$t$的一元一次方程，解方程即可求出对应的时间$t$。
【解析】
(1) 首先根据表格给出的$(t,h)$数据在平面直角坐标系中描点，观察可得所有描出的点在同一条直线上，因此选择一次函数模型$h=kt+b$（$k≠0$）。
选取点$(1,1.6)$和$(2,2.0)$代入函数式，得到方程组：
$\begin{cases}k + b = 1.6 \\2k + b = 2.0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=0.4$，将$k=0.4$代入$k+b=1.6$，解得$b=1.2$。
将其余已知点代入$h=0.4t+1.2$验证，均满足该式，因此所求函数表达式为$h=0.4t+1.2$，再画出过这些点的直线即可。
(2) 当$h=4.8\ \mathrm{cm}$时，将其代入解析式$h=0.4t+1.2$，得：
$4.8=0.4t+1.2$
移项计算得$0.4t=3.6$，解得$t=9$。
【答案】
(1)描点如答图
这些点是在同一条直线上,最符合实际的函数模型为$h=kt+b$,把$(1,1.6),(2,2.0)$代入,得$\begin{cases}1.6=k+b,\\2.0=2k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=0.4,\\b=1.2,\end{cases}$ $\therefore$相应的函数表达式为$h=0.4t+1.2$
(2)令$h=4.8$,得$4.8=0.4t+1.2$,解得$t=9$。答:对应的时间$t$的值为9 min
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数求值
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时的传统文化背景考查一次函数的实际应用，需要学生熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，以及利用函数解析式求解对应变量的值，题目贴合生活实际，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
21.(8分)如图,直线$y=2x+4$与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。
(1)求A,B两点的坐标。
(2)过点B作直线BP与x轴相交于点P,且使$OP=2OA$,求直线BP的函数表达式。
(1)求A,B两点的坐标。
(2)过点B作直线BP与x轴相交于点P,且使$OP=2OA$,求直线BP的函数表达式。
答案
21. (1)把$x=0$代入$y=2x+4$,得$y=4$,则点B的坐标为$(0,4)$。把$y=0$代入$y=2x+4$,得$0=2x+4$,解得$x=-2$,则点A的坐标为$(-2,0)$
(2)$\because OA=2,\therefore OP=2OA=4$,分两种情况讨论:当点P在x轴正半轴上时,坐标为$(4,0)$,设直线BP的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,把点$P(4,0),B(0,4)$代入,得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$ $\therefore$直线BP的函数表达式为$y=-x+4$;当点P在x轴负半轴上时,坐标为$(-4,0)$,设直线BP的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,把点$P(-4,0),B(0,4)$代入,得$\begin{cases}-4m+n=0,\\n=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$ $\therefore$直线BP的函数表达式为$y=x+4$。综上所述,直线BP的函数表达式为$y=x+4$或$y=-x+4$
(2)$\because OA=2,\therefore OP=2OA=4$,分两种情况讨论:当点P在x轴正半轴上时,坐标为$(4,0)$,设直线BP的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,把点$P(4,0),B(0,4)$代入,得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$ $\therefore$直线BP的函数表达式为$y=-x+4$;当点P在x轴负半轴上时,坐标为$(-4,0)$,设直线BP的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,把点$P(-4,0),B(0,4)$代入,得$\begin{cases}-4m+n=0,\\n=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$ $\therefore$直线BP的函数表达式为$y=x+4$。综上所述,直线BP的函数表达式为$y=x+4$或$y=-x+4$
解析
【分析】
(1) 求直线与坐标轴的交点坐标，可利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入已知直线解析式计算，即可得到A、B两点的坐标。
(2) 先根据A点坐标求出OA的长度，进而得到OP的长度；由于点P在x轴上，需分P在x轴正半轴、P在x轴负半轴两种情况讨论，得到对应P点坐标后，再用待定系数法将B、P两点坐标代入一次函数一般式，求解系数即可得到直线BP的表达式。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
求y轴交点B时，令$x=0$，代入$y=2x+4$，得$y=2×0+4=4$，$\therefore$点B的坐标为$(0,4)$；
求x轴交点A时，令$y=0$，代入$y=2x+4$，得$0=2x+4$，解得$x=-2$，$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$。
(2) 求直线BP的函数表达式：
由$A(-2,0)$可得$OA=|-2|=2$，$\therefore OP=2OA=4$。
$\because$点P在x轴上，分两种情况讨论：
① 当点P在x轴正半轴时，P点坐标为$(4,0)$，设直线BP的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,4)$、$P(4,0)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，
$\therefore$此时直线BP的解析式为$y=-x+4$；
② 当点P在x轴负半轴时，P点坐标为$(-4,0)$，设直线BP的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$B(0,4)$、$P(-4,0)$代入得：
$\begin{cases}n=4\\-4m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=4\end{cases}$，
$\therefore$此时直线BP的解析式为$y=x+4$。
综上所述，直线BP的函数表达式为$y=x+4$或$y=-x+4$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2) $y=x+4$或$y=-x+4$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征和待定系数法的应用，第二问要注意P点位置存在两种可能，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线与坐标轴的交点坐标，可利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入已知直线解析式计算，即可得到A、B两点的坐标。
(2) 先根据A点坐标求出OA的长度，进而得到OP的长度；由于点P在x轴上，需分P在x轴正半轴、P在x轴负半轴两种情况讨论，得到对应P点坐标后，再用待定系数法将B、P两点坐标代入一次函数一般式，求解系数即可得到直线BP的表达式。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
求y轴交点B时，令$x=0$，代入$y=2x+4$，得$y=2×0+4=4$，$\therefore$点B的坐标为$(0,4)$；
求x轴交点A时，令$y=0$，代入$y=2x+4$，得$0=2x+4$，解得$x=-2$，$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$。
(2) 求直线BP的函数表达式：
由$A(-2,0)$可得$OA=|-2|=2$，$\therefore OP=2OA=4$。
$\because$点P在x轴上，分两种情况讨论：
① 当点P在x轴正半轴时，P点坐标为$(4,0)$，设直线BP的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,4)$、$P(4,0)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，
$\therefore$此时直线BP的解析式为$y=-x+4$；
② 当点P在x轴负半轴时，P点坐标为$(-4,0)$，设直线BP的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$B(0,4)$、$P(-4,0)$代入得：
$\begin{cases}n=4\\-4m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=4\end{cases}$，
$\therefore$此时直线BP的解析式为$y=x+4$。
综上所述，直线BP的函数表达式为$y=x+4$或$y=-x+4$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2) $y=x+4$或$y=-x+4$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征和待定系数法的应用，第二问要注意P点位置存在两种可能，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
