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22. (8分)在某快速路上，M，N两站相距20 km，甲、乙两名亚运会志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务，甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车，甲比乙提前5分钟出发，图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系的图象。根据图象解答下列问题：
(1)求乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式。
(2)在两车都行驶的过程中，当汽车与小巴相距2 km时，求t的值。
(1)求乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式。
(2)在两车都行驶的过程中，当汽车与小巴相距2 km时，求t的值。
答案
22. (1)设乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式为$s=kt+b$,把$(5,0)$和$(20,20)$代入,得$\begin{cases}5k+b=0,\\20k+b=20,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3},\\b=-\frac{20}{3},\end{cases}$ $\therefore s=\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}$
(2)$\left|\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t\right|=2,\therefore \frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=2$或$\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=-2$,解得$t=13$或7
(2)$\left|\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t\right|=2,\therefore \frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=2$或$\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=-2$,解得$t=13$或7
解析
【分析】
(1) 要求乙的路程s与时间t的函数关系式，观察图象可知乙对应的函数为一次函数，图象过点$(5,0)$和$(20,20)$，采用待定系数法，设解析式为$s=kt+b$，代入两个点的坐标得到二元一次方程组，解方程组即可求出k和b的值，得到解析式。
(2) 首先求出甲的路程s与时间t的函数关系式，甲的图象过原点和$(30,20)$，可直接求出解析式。两车都行驶时$t\ge5$，此时两车相距2km即两者的路程差的绝对值为2，列绝对值方程求解，注意分两种情况讨论，最后验证解是否符合两车都行驶的时间范围。
【解析】
(1) 设乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式为$s=kt+b$（$k\ne0$）。
由图象可知函数图象过点$(5,0)$和$(20,20)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}5k+b=0\\20k+b=20\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b得：$15k=20$，解得$k=\frac{4}{3}$。
将$k=\frac{4}{3}$代入$5k+b=0$得：$5×\frac{4}{3}+b=0$，解得$b=-\frac{20}{3}$。
∴乙的函数关系式为$s=\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}$。
(2) 先求甲的路程s与时间t的函数关系式：
甲的图象OC过原点$(0,0)$和$(30,20)$，设解析式为$s=mt$（$m\ne0$），代入$(30,20)$得$30m=20$，解得$m=\frac{2}{3}$，即甲的解析式为$s=\frac{2}{3}t$。
两车都行驶时$t\ge5$，此时两车相距2km，即$|s_乙 - s_甲|=2$，代入解析式得：
$\left|\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t\right|=2$
分两种情况求解：
① 当$\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=2$时，化简解得$t=13$；
② 当$\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=-2$时，化简解得$t=7$。
验证得$t=7$和$t=13$均满足$t\ge5$，符合题意。
【答案】
(1) $s=\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}$
(2) $t=13$或$t=7$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的应用，解题核心是从函数图象中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，处理距离问题时要注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求乙的路程s与时间t的函数关系式，观察图象可知乙对应的函数为一次函数，图象过点$(5,0)$和$(20,20)$，采用待定系数法，设解析式为$s=kt+b$，代入两个点的坐标得到二元一次方程组，解方程组即可求出k和b的值，得到解析式。
(2) 首先求出甲的路程s与时间t的函数关系式，甲的图象过原点和$(30,20)$，可直接求出解析式。两车都行驶时$t\ge5$，此时两车相距2km即两者的路程差的绝对值为2，列绝对值方程求解，注意分两种情况讨论，最后验证解是否符合两车都行驶的时间范围。
【解析】
(1) 设乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式为$s=kt+b$（$k\ne0$）。
由图象可知函数图象过点$(5,0)$和$(20,20)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}5k+b=0\\20k+b=20\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b得：$15k=20$，解得$k=\frac{4}{3}$。
将$k=\frac{4}{3}$代入$5k+b=0$得：$5×\frac{4}{3}+b=0$，解得$b=-\frac{20}{3}$。
∴乙的函数关系式为$s=\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}$。
(2) 先求甲的路程s与时间t的函数关系式：
甲的图象OC过原点$(0,0)$和$(30,20)$，设解析式为$s=mt$（$m\ne0$），代入$(30,20)$得$30m=20$，解得$m=\frac{2}{3}$，即甲的解析式为$s=\frac{2}{3}t$。
两车都行驶时$t\ge5$，此时两车相距2km，即$|s_乙 - s_甲|=2$，代入解析式得：
$\left|\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t\right|=2$
分两种情况求解：
① 当$\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=2$时，化简解得$t=13$；
② 当$\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}-\frac{2}{3}t=-2$时，化简解得$t=7$。
验证得$t=7$和$t=13$均满足$t\ge5$，符合题意。
【答案】
(1) $s=\frac{4}{3}t-\frac{20}{3}$
(2) $t=13$或$t=7$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的应用，解题核心是从函数图象中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，处理距离问题时要注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
23.(8分)某中学为了让学生体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,需要采购一批菜苗开展种植活动。据了解,市场上每捆甲种菜苗的价格是菜苗基地的$\frac{5}{4}$倍,用300元在市场上购买的甲种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆。
(1)求菜苗基地每捆甲种菜苗的价格。
(2)菜苗基地每捆乙种菜苗的价格是30元。学校决定在菜苗基地购买甲、乙两种菜苗共100捆,且甲种菜苗的捆数不超过乙种菜苗的捆数。菜苗基地为支持该校活动,对甲、乙两种菜苗均提供九折优惠。求本次购买最少花费多少钱。
(1)求菜苗基地每捆甲种菜苗的价格。
(2)菜苗基地每捆乙种菜苗的价格是30元。学校决定在菜苗基地购买甲、乙两种菜苗共100捆,且甲种菜苗的捆数不超过乙种菜苗的捆数。菜苗基地为支持该校活动,对甲、乙两种菜苗均提供九折优惠。求本次购买最少花费多少钱。
答案
23. (1)设菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为x元,由题意,得$\frac{300}{x}-\frac{300}{\frac{5}{4}x}=3$,解得$x=20$。经检验,$x=20$是原方程的解,且符合题意。
(2)设购买甲种菜苗m捆,则购买乙种菜苗$(100-m)$捆,花费为y元。由题意,得$y=[20m+30×(100-m)]×0.9,m≤100-m,\therefore y=-9m+2700(0＜m≤50)$。易知y随m的增大而减小,$\therefore$当$m=50$时,花费最少,此时$y=-9×50+2700=2250$。
(2)设购买甲种菜苗m捆,则购买乙种菜苗$(100-m)$捆,花费为y元。由题意,得$y=[20m+30×(100-m)]×0.9,m≤100-m,\therefore y=-9m+2700(0＜m≤50)$。易知y随m的增大而减小,$\therefore$当$m=50$时,花费最少,此时$y=-9×50+2700=2250$。
解析
【分析】
（1）第一问为分式方程实际应用问题，核心等量关系为：300元在菜苗基地购买甲种菜苗的捆数 - 300元在市场购买甲种菜苗的捆数 = 3捆。先设菜苗基地每捆甲种菜苗价格为x元，可得市场单价为$\frac{5}{4}x$元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两个场景的购买数量，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程求解后必须验根。
（2）第二问为最优花费问题，属于一次函数最值应用。先设购买甲种菜苗m捆，用总捆数表示乙种菜苗的捆数，再根据“总花费=（甲总费用+乙总费用）×折扣”列出总花费y关于m的函数解析式，结合“甲种菜苗捆数不超过乙种菜苗捆数”的约束条件求出m的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值点，代入计算即可。
【解析】
(1) 设菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为x元，由题意得：
$\frac{300}{x}-\frac{300}{\frac{5}{4}x}=3$
化简得$\frac{300}{x}-\frac{240}{x}=3$，即$\frac{60}{x}=3$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合实际题意。
(2) 设购买甲种菜苗m捆，则购买乙种菜苗$(100-m)$捆，总花费为y元。
由题意得约束条件：$m≤100-m$，解得$m≤50$（m为正整数）。
总花费解析式：
$y=[20m+30×(100-m)]×0.9$
化简得$y=-9m+2700$（$0＜m≤50$，m为整数）。
因为一次函数中$k=-9＜0$，y随m的增大而减小，所以当m取最大值50时，总花费最小。
代入$m=50$得：$y=-9×50+2700=2250$。
【答案】
(1) 菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为20元；
(2) 本次购买最少花费2250元。
【知识点】
分式方程的应用，一次函数最值应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是贴近生活的代数综合应用题，考查学生提取等量关系、建立方程和函数模型的能力。解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，求一次函数最值时要先确定自变量的取值范围，再结合函数增减性判断最值点。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为分式方程实际应用问题，核心等量关系为：300元在菜苗基地购买甲种菜苗的捆数 - 300元在市场购买甲种菜苗的捆数 = 3捆。先设菜苗基地每捆甲种菜苗价格为x元，可得市场单价为$\frac{5}{4}x$元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两个场景的购买数量，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程求解后必须验根。
（2）第二问为最优花费问题，属于一次函数最值应用。先设购买甲种菜苗m捆，用总捆数表示乙种菜苗的捆数，再根据“总花费=（甲总费用+乙总费用）×折扣”列出总花费y关于m的函数解析式，结合“甲种菜苗捆数不超过乙种菜苗捆数”的约束条件求出m的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值点，代入计算即可。
【解析】
(1) 设菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为x元，由题意得：
$\frac{300}{x}-\frac{300}{\frac{5}{4}x}=3$
化简得$\frac{300}{x}-\frac{240}{x}=3$，即$\frac{60}{x}=3$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合实际题意。
(2) 设购买甲种菜苗m捆，则购买乙种菜苗$(100-m)$捆，总花费为y元。
由题意得约束条件：$m≤100-m$，解得$m≤50$（m为正整数）。
总花费解析式：
$y=[20m+30×(100-m)]×0.9$
化简得$y=-9m+2700$（$0＜m≤50$，m为整数）。
因为一次函数中$k=-9＜0$，y随m的增大而减小，所以当m取最大值50时，总花费最小。
代入$m=50$得：$y=-9×50+2700=2250$。
【答案】
(1) 菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为20元；
(2) 本次购买最少花费2250元。
【知识点】
分式方程的应用，一次函数最值应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是贴近生活的代数综合应用题，考查学生提取等量关系、建立方程和函数模型的能力。解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，求一次函数最值时要先确定自变量的取值范围，再结合函数增减性判断最值点。
【难度系数】
0.7
24.(10分)如图，直线$y=-3x+12$分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰$\mathrm{Rt}△ ABD$，延长BD交x轴于点C，连结DO，过点D作$DE⊥ DO$，交y轴于点E。
(1)求证：$∠ DBE=∠ DAO$。
(2)求OE的长。
(3)点P在线段AB上，当PE与$∠ COD$的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标。
(1)求证：$∠ DBE=∠ DAO$。
(2)求OE的长。
(3)点P在线段AB上，当PE与$∠ COD$的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标。
答案
24. 提示:(1)利用等角的余角相等证明
(2)利用$△BDE≌△ADO$,得$AO=BE=4$,则$OE=12-4=8$
(3)①当$PE// OC$时$P(\frac{4}{3},8)$;②当$PE// OD$时,$P(2,6)$
(2)利用$△BDE≌△ADO$,得$AO=BE=4$,则$OE=12-4=8$
(3)①当$PE// OC$时$P(\frac{4}{3},8)$;②当$PE// OD$时,$P(2,6)$
解析
【分析】
(1) 要证∠DBE=∠DAO，可观察两个角的位置：等腰Rt△ABD中∠ADB=90°，x轴与y轴夹角∠AOC=90°，两个角均为∠BCD的余角，利用等角的余角相等即可证明。
(2) 先求直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再结合等腰Rt△ABD的BD=AD，由∠EDO=∠ADB=90°推导∠BDE=∠ADO，结合(1)的角相等证明△BDE≌△ADO，得到BE=AO，即可计算OE=OB-BE。
(3) 分两种情况讨论平行：①PE平行于x轴（OC在x轴上），此时P点纵坐标等于E点纵坐标，代入AB的解析式求横坐标；②PE平行于OD，先推导OD的倾斜程度，写出PE的解析式，与AB解析式联立求交点即为P坐标。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABD是等腰直角三角形，AB为斜边，
∴∠ADB=90°，
∴$∠ DBE + ∠ BCD = 90°$。
∵x轴⊥y轴，
∴$∠ AOC=90°$，
∴$∠ DAO + ∠ BCD = 90°$。
∴$∠ DBE=∠ DAO$（等角的余角相等）。
(2) 解：对于直线$y=-3x+12$，
令$y=0$，解得$x=4$，
∴$A(4,0)$，$OA=4$；
令$x=0$，解得$y=12$，
∴$B(0,12)$，$OB=12$。
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴$BD=AD$。
∵$DE⊥ DO$，
∴$∠ EDO=90°$，
∴$∠ BDE + ∠ EDA = 90°$。
又
∵$∠ ADB=90°$，
∴$∠ ADO + ∠ EDA = 90°$，
∴$∠ BDE=∠ ADO$。
在$△ BDE$和$△ ADO$中：
$\begin{cases}∠ DBE=∠ DAO \\BD=AD \\∠ BDE=∠ ADO\end{cases}$
∴$△ BDE ≌ △ ADO$（ASA），
∴$BE=AO=4$。
∴$OE=OB-BE=12-4=8$。
(3) 解：由(2)可知$E(0,8)$，分两种情况讨论：
①当$PE// OC$时，OC在x轴上，故PE平行于x轴，P点纵坐标为8。
将$y=8$代入$y=-3x+12$，得$8=-3x+12$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$P(\frac{4}{3},8)$。
②当$PE// OD$时：由$△ BDE ≌ △ ADO$得$DE=DO$，又$∠ EDO=90°$，
∴△EDO是等腰直角三角形，$∠ DOE=45°$，直线OD的斜率为-1。
∵$PE// OD$，
∴直线PE的斜率为-1，且过$E(0,8)$，故直线PE的解析式为$y=-x+8$。
联立$\begin{cases}y=-x+8 \\y=-3x+12\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\y=6\end{cases}$，
∴$P(2,6)$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $OE=8$；
(3) 符合条件的点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{4}{3},8)}$和$\boldsymbol{(2,6)}$。
【知识点】
一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题关键是利用全等三角形建立边角的等量关系，讨论平行情况时要做到不重不漏，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证∠DBE=∠DAO，可观察两个角的位置：等腰Rt△ABD中∠ADB=90°，x轴与y轴夹角∠AOC=90°，两个角均为∠BCD的余角，利用等角的余角相等即可证明。
(2) 先求直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再结合等腰Rt△ABD的BD=AD，由∠EDO=∠ADB=90°推导∠BDE=∠ADO，结合(1)的角相等证明△BDE≌△ADO，得到BE=AO，即可计算OE=OB-BE。
(3) 分两种情况讨论平行：①PE平行于x轴（OC在x轴上），此时P点纵坐标等于E点纵坐标，代入AB的解析式求横坐标；②PE平行于OD，先推导OD的倾斜程度，写出PE的解析式，与AB解析式联立求交点即为P坐标。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABD是等腰直角三角形，AB为斜边，
∴∠ADB=90°，
∴$∠ DBE + ∠ BCD = 90°$。
∵x轴⊥y轴，
∴$∠ AOC=90°$，
∴$∠ DAO + ∠ BCD = 90°$。
∴$∠ DBE=∠ DAO$（等角的余角相等）。
(2) 解：对于直线$y=-3x+12$，
令$y=0$，解得$x=4$，
∴$A(4,0)$，$OA=4$；
令$x=0$，解得$y=12$，
∴$B(0,12)$，$OB=12$。
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴$BD=AD$。
∵$DE⊥ DO$，
∴$∠ EDO=90°$，
∴$∠ BDE + ∠ EDA = 90°$。
又
∵$∠ ADB=90°$，
∴$∠ ADO + ∠ EDA = 90°$，
∴$∠ BDE=∠ ADO$。
在$△ BDE$和$△ ADO$中：
$\begin{cases}∠ DBE=∠ DAO \\BD=AD \\∠ BDE=∠ ADO\end{cases}$
∴$△ BDE ≌ △ ADO$（ASA），
∴$BE=AO=4$。
∴$OE=OB-BE=12-4=8$。
(3) 解：由(2)可知$E(0,8)$，分两种情况讨论：
①当$PE// OC$时，OC在x轴上，故PE平行于x轴，P点纵坐标为8。
将$y=8$代入$y=-3x+12$，得$8=-3x+12$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$P(\frac{4}{3},8)$。
②当$PE// OD$时：由$△ BDE ≌ △ ADO$得$DE=DO$，又$∠ EDO=90°$，
∴△EDO是等腰直角三角形，$∠ DOE=45°$，直线OD的斜率为-1。
∵$PE// OD$，
∴直线PE的斜率为-1，且过$E(0,8)$，故直线PE的解析式为$y=-x+8$。
联立$\begin{cases}y=-x+8 \\y=-3x+12\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\y=6\end{cases}$，
∴$P(2,6)$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $OE=8$；
(3) 符合条件的点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{4}{3},8)}$和$\boldsymbol{(2,6)}$。
【知识点】
一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题关键是利用全等三角形建立边角的等量关系，讨论平行情况时要做到不重不漏，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
