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1. 如图，AB是$\odot O$的直径，PA与$\odot O$切于点A，点C在OB上，连接PC与$\odot O$交于点D，过点C作$CE // AP$交AD的延长线于点E。若$CD=AD=3$，则DE的长为（
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
C
）A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据切线的性质得到PA与AB垂直，结合CE平行于AP的条件可推出CE也垂直AB，得到两个直角；再利用AD=CD的等腰三角形性质得到两个底角相等，通过同角的余角相等推导角的等量关系，最终证明△CDE为等腰三角形，即可得到DE和CD的长度关系，求出DE的长。
【解析】
解：
∵PA是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴$PA⊥ AB$，即$∠ PAB=90°$，
∵$CE// AP$，
∴$CE⊥ AB$，即$∠ ECA=90°$，
∴$∠ E + ∠ EAC=90°$，
又$∠ PAD + ∠ EAC=∠ PAB=90°$，
∴$∠ E=∠ PAD$（同角的余角相等），
∵$AD=CD$，
∴$∠ DAC=∠ DCA$（等腰三角形两底角相等），
∵$∠ ECD + ∠ DCA=∠ ECA=90°$，$∠ PAD + ∠ DAC=∠ PAB=90°$，且$∠ DCA=∠ DAC$，
∴$∠ ECD=∠ PAD$，
∴$∠ ECD=∠ E$（等量代换），
∴$DE=CD$（等角对等边），
∵$CD=3$，
∴$DE=3$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题核心是通过切线和平行线的性质得到直角，再借助角的等量代换推导等腰三角形，属于基础综合题，掌握圆和等腰三角形的基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先根据切线的性质得到PA与AB垂直，结合CE平行于AP的条件可推出CE也垂直AB，得到两个直角；再利用AD=CD的等腰三角形性质得到两个底角相等，通过同角的余角相等推导角的等量关系，最终证明△CDE为等腰三角形，即可得到DE和CD的长度关系，求出DE的长。
【解析】
解：
∵PA是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴$PA⊥ AB$，即$∠ PAB=90°$，
∵$CE// AP$，
∴$CE⊥ AB$，即$∠ ECA=90°$，
∴$∠ E + ∠ EAC=90°$，
又$∠ PAD + ∠ EAC=∠ PAB=90°$，
∴$∠ E=∠ PAD$（同角的余角相等），
∵$AD=CD$，
∴$∠ DAC=∠ DCA$（等腰三角形两底角相等），
∵$∠ ECD + ∠ DCA=∠ ECA=90°$，$∠ PAD + ∠ DAC=∠ PAB=90°$，且$∠ DCA=∠ DAC$，
∴$∠ ECD=∠ PAD$，
∴$∠ ECD=∠ E$（等量代换），
∴$DE=CD$（等角对等边），
∵$CD=3$，
∴$DE=3$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题核心是通过切线和平行线的性质得到直角，再借助角的等量代换推导等腰三角形，属于基础综合题，掌握圆和等腰三角形的基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$AB=AD$，直线MN与$\odot O$相切于点A. 若$∠ MAD=40°$，则$∠ C$的大小为
80
°答案
2. 80
解析
【分析】
解题时先从切线条件入手，根据弦切角定理可得到∠MAD与对应圆周角的等量关系；再结合AB=AD可知△ABD为等腰三角形，可计算出∠BAD的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠C的大小。
【解析】
∵ 直线MN与$\odot O$相切于点A，根据弦切角定理，弦切角等于所夹弧对应的圆周角
∴ $∠ ABD = ∠ MAD = 40°$
又
∵ $AB=AD$，即$△ ABD$为等腰三角形
∴ $∠ ADB = ∠ ABD = 40°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAD = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 180° - 40° - 40° = 100°$
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补
∴ $∠ C + ∠ BAD = 180°$
∴ $∠ C = 180° - 100° = 80°$
【答案】
80
【知识点】
弦切角定理、等腰三角形性质、圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过切线性质找到角的等量关系，再结合等腰三角形和圆内接四边形的性质逐步推导，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线条件入手，根据弦切角定理可得到∠MAD与对应圆周角的等量关系；再结合AB=AD可知△ABD为等腰三角形，可计算出∠BAD的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠C的大小。
【解析】
∵ 直线MN与$\odot O$相切于点A，根据弦切角定理，弦切角等于所夹弧对应的圆周角
∴ $∠ ABD = ∠ MAD = 40°$
又
∵ $AB=AD$，即$△ ABD$为等腰三角形
∴ $∠ ADB = ∠ ABD = 40°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAD = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 180° - 40° - 40° = 100°$
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补
∴ $∠ C + ∠ BAD = 180°$
∴ $∠ C = 180° - 100° = 80°$
【答案】
80
【知识点】
弦切角定理、等腰三角形性质、圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过切线性质找到角的等量关系，再结合等腰三角形和圆内接四边形的性质逐步推导，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，点$O$是线段$AC$上的一个动点，以点$O$为圆心、$OC$为半径作圆. 当$\odot O$与边$AB$相切时，半径$OC$的值为
$\dfrac{3}{2}$
.答案
3. $\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先根据圆切线的性质，圆与AB相切时，圆心O到AB的距离等于半径OC；接着先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度；再通过构造切线的垂线段，得到与△ABC相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，最后解方程即可求出OC的长度。
【解析】
设⊙O的半径$OC=r$，
1. 求AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 利用切线性质和相似三角形列方程：
过点O作$OD⊥ AB$，垂足为D，
∵$\odot O$与AB相切，
∴$OD=OC=r$，且$OA=AC-OC=4-r$，
在$△ AOD$和$△ ABC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADO=∠ C=90°\\∠ A=∠ A\end{array} $
∴$△ AOD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，得：$\frac{OA}{AB}=\frac{OD}{BC}$
代入对应数值：$\frac{4-r}{5}=\frac{r}{3}$
3. 解方程：
交叉相乘得：$3(4-r)=5r$
展开：$12-3r=5r$
移项合并：$8r=12$
解得：$r=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的核心是抓住切线的性质得到等长线段，再结合相似三角形的比例关系建立方程求解，这类题型是圆相关计算的常见考法，需要熟练掌握构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先根据圆切线的性质，圆与AB相切时，圆心O到AB的距离等于半径OC；接着先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度；再通过构造切线的垂线段，得到与△ABC相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，最后解方程即可求出OC的长度。
【解析】
设⊙O的半径$OC=r$，
1. 求AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 利用切线性质和相似三角形列方程：
过点O作$OD⊥ AB$，垂足为D，
∵$\odot O$与AB相切，
∴$OD=OC=r$，且$OA=AC-OC=4-r$，
在$△ AOD$和$△ ABC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADO=∠ C=90°\\∠ A=∠ A\end{array} $
∴$△ AOD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，得：$\frac{OA}{AB}=\frac{OD}{BC}$
代入对应数值：$\frac{4-r}{5}=\frac{r}{3}$
3. 解方程：
交叉相乘得：$3(4-r)=5r$
展开：$12-3r=5r$
移项合并：$8r=12$
解得：$r=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的核心是抓住切线的性质得到等长线段，再结合相似三角形的比例关系建立方程求解，这类题型是圆相关计算的常见考法，需要熟练掌握构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A，B，D在$\odot O$上，$∠ A = 25°$，OD的延长线交直线BC于点C，且$∠ OCB = 40°$，直线BC与$\odot O$的位置关系为
相切
。答案
4. 相切
解析
【分析】要判断直线BC与$\odot O$的位置关系，若为相切则需证明BC垂直于过交点B的半径OB，即证明$∠ OBC=90°$。首先可利用圆周角定理，由已知的圆周角$∠ A$求出同弧所对的圆心角$∠ BOC$的度数，再在$△ OBC$中结合已知的$∠ OCB$的度数，利用三角形内角和即可求出$∠ OBC$的度数，最终根据切线的判定定理得出结论。
【解析】
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC = 2∠ A$
已知$∠ A=25°$，代入得$∠ BOC=2×25°=50°$
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ OBC = 180° - ∠ BOC - ∠ OCB$
代入$∠ BOC=50°$，$∠ OCB=40°$，得：
$∠ OBC=180°-50°-40°=90°$
即$OB⊥ BC$
又$\because$ OB是$\odot O$的半径，点B在$\odot O$上
$\therefore$ 直线BC与$\odot O$相切。
【答案】相切
【知识点】圆周角定理；三角形内角和；切线的判定
【点评】本题是切线判定的基础题型，解题的核心是先通过圆周角定理和三角形内角和推导得到半径与直线的垂直关系，再结合切线判定定理得出结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC = 2∠ A$
已知$∠ A=25°$，代入得$∠ BOC=2×25°=50°$
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ OBC = 180° - ∠ BOC - ∠ OCB$
代入$∠ BOC=50°$，$∠ OCB=40°$，得：
$∠ OBC=180°-50°-40°=90°$
即$OB⊥ BC$
又$\because$ OB是$\odot O$的半径，点B在$\odot O$上
$\therefore$ 直线BC与$\odot O$相切。
【答案】相切
【知识点】圆周角定理；三角形内角和；切线的判定
【点评】本题是切线判定的基础题型，解题的核心是先通过圆周角定理和三角形内角和推导得到半径与直线的垂直关系，再结合切线判定定理得出结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】0.8
5. 如图，AB为$\odot O$的切线，AC，BD分别与$\odot O$相切，切点为C，D。若$AB=5$，$AC=3$，则BD的长是
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，出现了从圆外同一点向圆引两条切线的特征，优先想到运用切线长定理解题：①先确定点A是圆外一点，它向⊙O引的两条切线分别为AC、AB，因此两条切线长度相等；②再确定点B是圆外一点，它向⊙O引的两条切线分别为BD、AB，因此这两条切线长度也相等；③最后结合AB的长度是两段切线长的和，代入已知数值即可求出BD的长度。
【解析】
设AB与⊙O的切点为E。
∵AC、AE都是从点A出发到⊙O的切线，根据切线长定理，
∴AC = AE = 3。
同理，BD、BE都是从点B出发到⊙O的切线，
∴BD = BE。
又
∵AB = AE + BE = 5，
将AE=3代入得：BE = AB - AE = 5 - 3 = 2，
∴BD = BE = 2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理，线段和差计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到从同一点引出的两条切线，利用切线长相等建立已知线段和未知线段的数量关系，计算过程简单，掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，出现了从圆外同一点向圆引两条切线的特征，优先想到运用切线长定理解题：①先确定点A是圆外一点，它向⊙O引的两条切线分别为AC、AB，因此两条切线长度相等；②再确定点B是圆外一点，它向⊙O引的两条切线分别为BD、AB，因此这两条切线长度也相等；③最后结合AB的长度是两段切线长的和，代入已知数值即可求出BD的长度。
【解析】
设AB与⊙O的切点为E。
∵AC、AE都是从点A出发到⊙O的切线，根据切线长定理，
∴AC = AE = 3。
同理，BD、BE都是从点B出发到⊙O的切线，
∴BD = BE。
又
∵AB = AE + BE = 5，
将AE=3代入得：BE = AB - AE = 5 - 3 = 2，
∴BD = BE = 2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理，线段和差计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到从同一点引出的两条切线，利用切线长相等建立已知线段和未知线段的数量关系，计算过程简单，掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别是A，B，PA=10，CD是$\odot O$的切线，交PA于点C，交PB于点D，则$△ PCD$的周长是
20
。答案
6. 20
解析
【分析】
本题要求△PCD的周长，核心是运用切线长定理进行线段的等量代换。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。我们可以先将CD拆为两段，分别对应从点C、点D引出的切线长，再把△PCD的三边全部转化为PA、PB上的线段，最终用已知的PA长度计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：$PB=PA=10$
设CD与$\odot O$的切点为E
∵CA、CE都是从点C向$\odot O$引的切线，DB、DE都是从点D向$\odot O$引的切线
∴$CA=CE$，$DB=DE$
∴$△ PCD$的周长$=PC + CD + PD$
$=PC + CE + DE + PD$
$=PC + CA + DB + PD$
$=(PC + CA) + (PD + DB)$
$=PA + PB$
$=10+10=20$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的关键是利用切线长相等对未知线段进行等量代换，将未知周长转化为已知长度的和，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题要求△PCD的周长，核心是运用切线长定理进行线段的等量代换。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。我们可以先将CD拆为两段，分别对应从点C、点D引出的切线长，再把△PCD的三边全部转化为PA、PB上的线段，最终用已知的PA长度计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：$PB=PA=10$
设CD与$\odot O$的切点为E
∵CA、CE都是从点C向$\odot O$引的切线，DB、DE都是从点D向$\odot O$引的切线
∴$CA=CE$，$DB=DE$
∴$△ PCD$的周长$=PC + CD + PD$
$=PC + CE + DE + PD$
$=PC + CA + DB + PD$
$=(PC + CA) + (PD + DB)$
$=PA + PB$
$=10+10=20$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的关键是利用切线长相等对未知线段进行等量代换，将未知周长转化为已知长度的和，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=20°$，点$O$在斜边$AB$上运动. 以点$O$为圆心、$OB$为半径的圆与边$AC$相切.
(1) 求证：$BD$平分$∠ ABC$；
(2) 求$∠ ADE$的度数.
(1) 求证：$BD$平分$∠ ABC$；
(2) 求$∠ ADE$的度数.
答案
7.（1）证明 连接OD，如图. 因为以OB为半径的圆与边AC相切，所以$OD⊥ AC$. 因为$∠ C=90°$，所以$BC⊥ AC$.
所以$OD// BC$. 所以$∠ CBD=∠ ODB$.
因为$OB=OD$，所以$∠ ODB=∠ OBD$.
所以$∠ OBD=∠ CBD$.
所以$BD$平分$∠ ABC$.
（2）解 因为$∠ BAC=20°$，$∠ C=90°$，所以$∠ ABC=70°$. 因为$BD$平分$∠ ABC$，所以 $∠ CBD = \dfrac{1}{2} ∠ ABC = 35°$. 所以$∠ BDC=90°-35°=55°$. 因为$BE$为$\odot O$的直径，所以$∠ BDE=90°$. 所以$∠ ADE = 90°-∠ BDC=90°-55°=35°$.
解析
【分析】
(1) 要证明BD平分∠ABC，需证∠OBD=∠CBD。已知圆O与AC相切，根据切线性质优先作辅助线连接OD，可得OD⊥AC；结合∠C=90°可知BC⊥AC，可推出OD//BC，得到内错角∠CBD=∠ODB；再由圆的半径相等OB=OD，可得∠ODB=∠OBD，等量代换即可证明BD平分∠ABC。
(2) 求∠ADE的度数时，先利用直角三角形两锐角互余算出∠ABC的度数，结合(1)的角平分线结论算出∠CBD的度数，再在Rt△BCD中求出∠BDC的度数；最后根据直径所对圆周角为直角，可知∠BDE=90°，利用平角为180°即可算出∠ADE的度数。
【解析】
(1) 证明：连接OD，如图。
∵ 以OB为半径的圆与边AC相切，
∴ $OD⊥ AC$。
∵ $∠ C=90°$，
∴ $BC⊥ AC$，
∴ $OD// BC$，
∴ $∠ CBD=∠ ODB$。
∵ $OB=OD$（均为$\odot O$的半径），
∴ $∠ ODB=∠ OBD$，
∴ $∠ OBD=∠ CBD$，即BD平分$∠ ABC$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=20°$，
∴ $∠ ABC=90°-20°=70°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBD = \dfrac{1}{2} ∠ ABC = 35°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ BDC=90°-35°=55°$。
∵ BE为$\odot O$的直径，
∴ $∠ BDE=90°$。
∵ C、D、A三点共线，$∠ CDA=180°$，
∴ $∠ ADE = 180°-∠ BDE-∠ BDC=180°-90°-55°=35°$。
【答案】
（1）证明过程如上，BD平分$∠ ABC$成立；
（2）$∠ ADE$的度数为$35°$。
【知识点】
切线的性质；角平分线的判定；圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题核心是掌握圆相关的常用辅助线构造方法：见切线连半径、见直径想直角，结合平行线性质、直角三角形角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD平分∠ABC，需证∠OBD=∠CBD。已知圆O与AC相切，根据切线性质优先作辅助线连接OD，可得OD⊥AC；结合∠C=90°可知BC⊥AC，可推出OD//BC，得到内错角∠CBD=∠ODB；再由圆的半径相等OB=OD，可得∠ODB=∠OBD，等量代换即可证明BD平分∠ABC。
(2) 求∠ADE的度数时，先利用直角三角形两锐角互余算出∠ABC的度数，结合(1)的角平分线结论算出∠CBD的度数，再在Rt△BCD中求出∠BDC的度数；最后根据直径所对圆周角为直角，可知∠BDE=90°，利用平角为180°即可算出∠ADE的度数。
【解析】
(1) 证明：连接OD，如图。
∵ 以OB为半径的圆与边AC相切，
∴ $OD⊥ AC$。
∵ $∠ C=90°$，
∴ $BC⊥ AC$，
∴ $OD// BC$，
∴ $∠ CBD=∠ ODB$。
∵ $OB=OD$（均为$\odot O$的半径），
∴ $∠ ODB=∠ OBD$，
∴ $∠ OBD=∠ CBD$，即BD平分$∠ ABC$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=20°$，
∴ $∠ ABC=90°-20°=70°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBD = \dfrac{1}{2} ∠ ABC = 35°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ BDC=90°-35°=55°$。
∵ BE为$\odot O$的直径，
∴ $∠ BDE=90°$。
∵ C、D、A三点共线，$∠ CDA=180°$，
∴ $∠ ADE = 180°-∠ BDE-∠ BDC=180°-90°-55°=35°$。
【答案】
（1）证明过程如上，BD平分$∠ ABC$成立；
（2）$∠ ADE$的度数为$35°$。
【知识点】
切线的性质；角平分线的判定；圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题核心是掌握圆相关的常用辅助线构造方法：见切线连半径、见直径想直角，结合平行线性质、直角三角形角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
