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8. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，D在AB的延长线上，且$∠ BCD = ∠ A$. 求证：CD是$\odot O$的切线.
答案
8. 证明 如图，连接OC.
因为$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上一点，
所以 $∠ ACB = 90°$，即 $∠ ACO + ∠ OCB=90°$.
因为$OA=OC$，$∠ BCD=∠ A$，
所以 $∠ ACO = ∠ A = ∠ BCD$. 所以$∠ BCD+∠ OCB=90°$，即$∠ OCD=90°$.
所以$CD$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明CD垂直于过点C的半径即可，因此优先作辅助线连接OC。接下来结合已知条件推导$∠ OCD=90°$：首先由AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角可得$∠ ACB=90°$，即$∠ ACO+∠ OCB=90°$；再结合等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ A=∠ ACO$，结合题目给出的$∠ BCD=∠ A$，通过等量代换可推出$∠ BCD+∠ OCB=90°$，也就是$∠ OCD=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OC，
∵ AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，
∴ $∠ ACB=90°$，即$∠ ACO+∠ OCB=90°$，
∵ OA=OC，$∠ BCD=∠ A$，
∴ $∠ ACO=∠ A=∠ BCD$，
∴ $∠ BCD+∠ OCB=90°$，即$∠ OCD=90°$，
∴ OC⊥CD，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ CD是$\odot O$的切线。
【答案】
8. 证明 如图，连接OC.
因为$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上一点，
所以 $∠ ACB = 90°$，即 $∠ ACO + ∠ OCB=90°$.
因为$OA=OC$，$∠ BCD=∠ A$，
所以 $∠ ACO = ∠ A = ∠ BCD$. 所以$∠ BCD+∠ OCB=90°$，即$∠ OCD=90°$.
所以$CD$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆切线证明的基础典型题，解题关键是掌握切线判定的常用辅助线作法：若待证切线与圆有明确交点，优先连接圆心与交点得到半径，再证明半径与直线垂直即可，同时考查了圆周角相关性质和等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明CD垂直于过点C的半径即可，因此优先作辅助线连接OC。接下来结合已知条件推导$∠ OCD=90°$：首先由AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角可得$∠ ACB=90°$，即$∠ ACO+∠ OCB=90°$；再结合等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ A=∠ ACO$，结合题目给出的$∠ BCD=∠ A$，通过等量代换可推出$∠ BCD+∠ OCB=90°$，也就是$∠ OCD=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OC，
∵ AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，
∴ $∠ ACB=90°$，即$∠ ACO+∠ OCB=90°$，
∵ OA=OC，$∠ BCD=∠ A$，
∴ $∠ ACO=∠ A=∠ BCD$，
∴ $∠ BCD+∠ OCB=90°$，即$∠ OCD=90°$，
∴ OC⊥CD，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ CD是$\odot O$的切线。
【答案】
8. 证明 如图，连接OC.
因为$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上一点，
所以 $∠ ACB = 90°$，即 $∠ ACO + ∠ OCB=90°$.
因为$OA=OC$，$∠ BCD=∠ A$，
所以 $∠ ACO = ∠ A = ∠ BCD$. 所以$∠ BCD+∠ OCB=90°$，即$∠ OCD=90°$.
所以$CD$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆切线证明的基础典型题，解题关键是掌握切线判定的常用辅助线作法：若待证切线与圆有明确交点，优先连接圆心与交点得到半径，再证明半径与直线垂直即可，同时考查了圆周角相关性质和等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9. 如图，P为$\odot O$外一点，PA为$\odot O$的切线，A为切点，PO交$\odot O$于点B，$∠ P=30°$，$OB=4$，则线段OP的长为（
A.6
B.$4\sqrt{3}$
C.4
D.8
9题图
10题图
D
）A.6
B.$4\sqrt{3}$
C.4
D.8
9题图
10题图
答案
9. D
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OA，即可得到直角三角形OAP。已知OB是圆的半径，可得OA=OB=4，又已知∠P=30°，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可直接求出斜边OP的长度。
【解析】
解：连接OA
∵PA为$\odot O$的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$
∵OA、OB都是$\odot O$的半径
∴OA=OB=4
在$Rt△ OAP$中，$∠ P=30°$，30°角所对的直角边为OA
∴$OA=\frac{1}{2}OP$
∴$OP=2OA=2×4=8$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，解题关键是通过连接过切点的半径构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线相关问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OA，即可得到直角三角形OAP。已知OB是圆的半径，可得OA=OB=4，又已知∠P=30°，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可直接求出斜边OP的长度。
【解析】
解：连接OA
∵PA为$\odot O$的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$
∵OA、OB都是$\odot O$的半径
∴OA=OB=4
在$Rt△ OAP$中，$∠ P=30°$，30°角所对的直角边为OA
∴$OA=\frac{1}{2}OP$
∴$OP=2OA=2×4=8$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，解题关键是通过连接过切点的半径构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在等边三角形ABC中，AB=8，以点B为圆心、半径为2作$\odot B$，点D是边AC上的一个动点，过点D作DE与$\odot B$相切于点E，则线段DE的最小值为
$2\sqrt{11}$
.答案
10. $2\sqrt{11}$
解析
【分析】
首先我们要将求DE最小值的问题进行转化：根据切线的性质，连接切点E和圆心B可得BE⊥DE，因此△BDE是直角三角形，其中直角边BE是⊙B的半径，长度固定为2。结合勾股定理可知$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}$，因此要使DE最小，只需要让BD的长度最小即可。接下来根据“点到直线的线段中，垂线段最短”，可知当BD⊥AC时，BD的长度最小，此时求出BD的最小值，再代入勾股定理计算DE的最小值即可。
【解析】
连接BE、BD，
∵DE是⊙B的切线，切点为E，
∴BE⊥DE，即$∠ BED=90°$，
在$Rt△ BED$中，$BE=2$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{BD^2-4}$，
∴当BD取最小值时，DE的长度最小，
根据“垂线段最短”可知，当$BD⊥ AC$时，BD的长度最小，
∵△ABC是等边三角形，$AB=8$，$BD⊥ AC$，
∴$AD=DC=4$（等边三角形三线合一），
在$Rt△ ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
将$BD=4\sqrt{3}$代入DE的表达式得：
DE的最小值$=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{48-4}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$。
【答案】
$2\sqrt{11}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型最值问题，解题的核心是利用切线性质将DE的最值转化为线段BD的最值，再结合垂线段最短找到BD的最小值，考查了转化思想的应用，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先我们要将求DE最小值的问题进行转化：根据切线的性质，连接切点E和圆心B可得BE⊥DE，因此△BDE是直角三角形，其中直角边BE是⊙B的半径，长度固定为2。结合勾股定理可知$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}$，因此要使DE最小，只需要让BD的长度最小即可。接下来根据“点到直线的线段中，垂线段最短”，可知当BD⊥AC时，BD的长度最小，此时求出BD的最小值，再代入勾股定理计算DE的最小值即可。
【解析】
连接BE、BD，
∵DE是⊙B的切线，切点为E，
∴BE⊥DE，即$∠ BED=90°$，
在$Rt△ BED$中，$BE=2$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{BD^2-4}$，
∴当BD取最小值时，DE的长度最小，
根据“垂线段最短”可知，当$BD⊥ AC$时，BD的长度最小，
∵△ABC是等边三角形，$AB=8$，$BD⊥ AC$，
∴$AD=DC=4$（等边三角形三线合一），
在$Rt△ ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
将$BD=4\sqrt{3}$代入DE的表达式得：
DE的最小值$=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{48-4}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$。
【答案】
$2\sqrt{11}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型最值问题，解题的核心是利用切线性质将DE的最值转化为线段BD的最值，再结合垂线段最短找到BD的最小值，考查了转化思想的应用，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，O在AB上，以O为圆心、OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作$DE⊥ AC$，垂足为E.
(1) DE与$\odot O$有什么位置关系？请写出你的结论并证明.
(2) 若$\odot O$的半径长为3，$AF=4$，求CE的长.
(1) DE与$\odot O$有什么位置关系？请写出你的结论并证明.
(2) 若$\odot O$的半径长为3，$AF=4$，求CE的长.
答案
11. 解（1）$DE$ 与$\odot O$ 相切. 证明如下：如图，连接$OD$. 因为$OB=OD$，所以$∠ ABC = ∠ ODB$. 因为$AB = AC$，所以$∠ ABC=∠ ACB$. 所以$∠ ODB=∠ ACB$. 所以$OD// AC$. 因为$DE⊥ AC$，所以$OD⊥ DE$. 所以$DE$与$\odot O$相切.
（2）如图，连接$OF$. 因为$DE$，$AF$是$\odot O$的切线，所以$OF⊥ AC$，$OD⊥ DE$. 又因为$DE⊥ AC$，所以四边形$ODEF$ 为矩形. 所以$EF=OD=3$. 在$\mathrm{Rt}△ OFA$ 中，$AO^2=OF^2+AF^2$，所以$AO=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. 所以$AC=AB=AO+BO=8$，$CE=AC-AF-EF=8-4-3=1$.
解析
【分析】
(1) 判断直线与圆的位置关系优先考虑是否为切线，切线判定的核心思路是“连半径，证垂直”。首先连接OD，利用OB=OD、AB=AC的等腰性质，通过角的等量代换得到∠ODB=∠ACB，推出OD//AC，结合DE⊥AC的条件即可证得OD⊥DE，从而得到DE与⊙O相切的结论。
(2) 求CE长度需先得到AC的总长度和AC上除CE外的两段线段长度。连接OF，根据切线性质得OF⊥AC，结合DE⊥AC、OD⊥DE可判定四边形ODEF为矩形，得EF等于半径长；再在Rt△OFA中用勾股定理求AO长，结合AB=AC求出AC总长，最后用AC减去AF、EF的长度即可得到CE的长。
【解析】
(1) $DE$ 与$\odot O$ 相切，证明如下：
连接$OD$。
∵ $OB=OD$，
∴ $∠ ABC = ∠ ODB$，
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$，
∴ $∠ ODB=∠ ACB$，
∴ $OD// AC$，
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $OD⊥ DE$，
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ $DE$与$\odot O$相切。
(2) 连接$OF$。
∵ $AF$是$\odot O$的切线，
∴ $OF⊥ AC$，
由(1)知$DE$是$\odot O$的切线，
∴ $OD⊥ DE$，
又
∵ $DE⊥ AC$，
∴ 四边形$ODEF$ 为矩形，
∴ $EF=OD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OFA$ 中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{OF^2+AF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ $AB=AO+BO=5+3=8$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AC=8$，
∴ $CE=AC-AF-EF=8-4-3=1$。
【答案】
(1) $DE$与$\odot O$相切；
(2) $CE$的长为$1$。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规题型，重点考察切线相关的证明与计算，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法和性质，学会正确构造辅助线（连接圆心与切点），结合等腰三角形、矩形的性质及勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
(1) 判断直线与圆的位置关系优先考虑是否为切线，切线判定的核心思路是“连半径，证垂直”。首先连接OD，利用OB=OD、AB=AC的等腰性质，通过角的等量代换得到∠ODB=∠ACB，推出OD//AC，结合DE⊥AC的条件即可证得OD⊥DE，从而得到DE与⊙O相切的结论。
(2) 求CE长度需先得到AC的总长度和AC上除CE外的两段线段长度。连接OF，根据切线性质得OF⊥AC，结合DE⊥AC、OD⊥DE可判定四边形ODEF为矩形，得EF等于半径长；再在Rt△OFA中用勾股定理求AO长，结合AB=AC求出AC总长，最后用AC减去AF、EF的长度即可得到CE的长。
【解析】
(1) $DE$ 与$\odot O$ 相切，证明如下：
连接$OD$。
∵ $OB=OD$，
∴ $∠ ABC = ∠ ODB$，
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$，
∴ $∠ ODB=∠ ACB$，
∴ $OD// AC$，
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $OD⊥ DE$，
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ $DE$与$\odot O$相切。
(2) 连接$OF$。
∵ $AF$是$\odot O$的切线，
∴ $OF⊥ AC$，
由(1)知$DE$是$\odot O$的切线，
∴ $OD⊥ DE$，
又
∵ $DE⊥ AC$，
∴ 四边形$ODEF$ 为矩形，
∴ $EF=OD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OFA$ 中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{OF^2+AF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ $AB=AO+BO=5+3=8$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AC=8$，
∴ $CE=AC-AF-EF=8-4-3=1$。
【答案】
(1) $DE$与$\odot O$相切；
(2) $CE$的长为$1$。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规题型，重点考察切线相关的证明与计算，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法和性质，学会正确构造辅助线（连接圆心与切点），结合等腰三角形、矩形的性质及勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
