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视野拓展
课本知识再现：
(Ⅰ)点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；
(Ⅱ)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象也可以应用点的对称特点。
(1)根据上面知识，求与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式；
解：∵ 点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，
即直线$y=2x+3$上的点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，
∴ $y=2(-x)+3=-2x+3$。
∴ 与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式为$y=-2x+3$。
理解上面的解题过程，并完成填空：
与已知直线$y=2x+3$关于$x$轴对称的直线的解析式为
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与抛物线$y=-2x^2+8x-7$关于原点对称，求$a,b,c$的值；
(3)判断以下每对函数的图象：①$y=2x+1$与$y=-2x-1$；②$y=x^2+1$与$y=-x^2$；③$y=x^2+1$与$y=-x^2-1$；④$y=(x-1)^2$与$y=(x+1)^2$。其中一定关于原点对称的是
课本知识再现：
(Ⅰ)点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；
(Ⅱ)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象也可以应用点的对称特点。
(1)根据上面知识，求与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式；
解：∵ 点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，
即直线$y=2x+3$上的点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，
∴ $y=2(-x)+3=-2x+3$。
∴ 与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式为$y=-2x+3$。
理解上面的解题过程，并完成填空：
与已知直线$y=2x+3$关于$x$轴对称的直线的解析式为
$y=-2x-3$
。(2)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与抛物线$y=-2x^2+8x-7$关于原点对称，求$a,b,c$的值；
(3)判断以下每对函数的图象：①$y=2x+1$与$y=-2x-1$；②$y=x^2+1$与$y=-x^2$；③$y=x^2+1$与$y=-x^2-1$；④$y=(x-1)^2$与$y=(x+1)^2$。其中一定关于原点对称的是
③
(填序号)。答案
(1) $y=-2x-3$
(2) $a=2,b=8,c=7$
(3) ③
(2) $a=2,b=8,c=7$
(3) ③
解析
【分析】
本题考查点的对称规律在函数图象对称中的应用，解题核心是：函数图象由无数个点组成，图象对称等价于图象上所有点的对应对称。解题思路如下：1. 求某函数关于x轴、y轴或原点对称的解析式时，先设对称后函数图象上任意一点坐标为$(x,y)$，写出该点关于对称轴/对称中心的对称点坐标；2. 该对称点在原函数图象上，将其坐标代入原函数解析式；3. 整理式子即可得到对称后函数的解析式，再据此解答各小问即可。
【解析】
(1) 设与直线$y=2x+3$关于$x$轴对称的直线上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点关于$x$轴对称的点坐标为$(x,-y)$。
∵ 点$(x,-y)$在原直线$y=2x+3$上，
∴ 代入得：$-y = 2x + 3$，整理得$y = -2x - 3$。
(2) 设二次函数$y=ax^2+bx+c$图象上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$。
∵ 两个函数图象关于原点对称，
∴ 点$(-x,-y)$在抛物线$y=-2x^2+8x-7$上，
代入得：$-y = -2(-x)^2 + 8(-x) -7$，
化简得：$-y = -2x^2 -8x -7$，
两边同时乘$-1$得：$y = 2x^2 +8x +7$，
对比$y=ax^2+bx+c$，可得$a=2$，$b=8$，$c=7$。
(3) 按照上述方法逐一判断：
① 求$y=2x+1$关于原点对称的解析式：设对称后函数上点$(x,y)$，将对称点$(-x,-y)$代入原解析式得 $-y=2×(-x)+1$，整理得$y=2x-1$，与$y=-2x-1$不相同，故①不关于原点对称；
② 求$y=x^2+1$关于原点对称的解析式：代入得 $-y=(-x)^2+1$，整理得$y=-x^2-1$，与$y=-x^2$不相同，故②不关于原点对称；
③ 由②的计算可知，$y=x^2+1$关于原点对称的解析式为$y=-x^2-1$，故③关于原点对称；
④ 求$y=(x-1)^2$关于原点对称的解析式：代入得 $-y=(-x-1)^2$，整理得$y=-(x+1)^2$，与$y=(x+1)^2$不相同，故④不关于原点对称。
综上，选③。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x-3}$
(2) $\boldsymbol{a=2,b=8,c=7}$
(3) $\boldsymbol{③}$
【知识点】
1. 点的对称坐标特征
2. 一次函数图象对称
3. 二次函数图象对称
【点评】
本题是点的对称规律的拓展应用，考查知识迁移能力和代入法的使用，解题的关键是理解函数图象对称的本质是图象上所有点的对称，掌握代入对称点坐标求解析式的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题考查点的对称规律在函数图象对称中的应用，解题核心是：函数图象由无数个点组成，图象对称等价于图象上所有点的对应对称。解题思路如下：1. 求某函数关于x轴、y轴或原点对称的解析式时，先设对称后函数图象上任意一点坐标为$(x,y)$，写出该点关于对称轴/对称中心的对称点坐标；2. 该对称点在原函数图象上，将其坐标代入原函数解析式；3. 整理式子即可得到对称后函数的解析式，再据此解答各小问即可。
【解析】
(1) 设与直线$y=2x+3$关于$x$轴对称的直线上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点关于$x$轴对称的点坐标为$(x,-y)$。
∵ 点$(x,-y)$在原直线$y=2x+3$上，
∴ 代入得：$-y = 2x + 3$，整理得$y = -2x - 3$。
(2) 设二次函数$y=ax^2+bx+c$图象上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$。
∵ 两个函数图象关于原点对称，
∴ 点$(-x,-y)$在抛物线$y=-2x^2+8x-7$上，
代入得：$-y = -2(-x)^2 + 8(-x) -7$，
化简得：$-y = -2x^2 -8x -7$，
两边同时乘$-1$得：$y = 2x^2 +8x +7$，
对比$y=ax^2+bx+c$，可得$a=2$，$b=8$，$c=7$。
(3) 按照上述方法逐一判断：
① 求$y=2x+1$关于原点对称的解析式：设对称后函数上点$(x,y)$，将对称点$(-x,-y)$代入原解析式得 $-y=2×(-x)+1$，整理得$y=2x-1$，与$y=-2x-1$不相同，故①不关于原点对称；
② 求$y=x^2+1$关于原点对称的解析式：代入得 $-y=(-x)^2+1$，整理得$y=-x^2-1$，与$y=-x^2$不相同，故②不关于原点对称；
③ 由②的计算可知，$y=x^2+1$关于原点对称的解析式为$y=-x^2-1$，故③关于原点对称；
④ 求$y=(x-1)^2$关于原点对称的解析式：代入得 $-y=(-x-1)^2$，整理得$y=-(x+1)^2$，与$y=(x+1)^2$不相同，故④不关于原点对称。
综上，选③。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x-3}$
(2) $\boldsymbol{a=2,b=8,c=7}$
(3) $\boldsymbol{③}$
【知识点】
1. 点的对称坐标特征
2. 一次函数图象对称
3. 二次函数图象对称
【点评】
本题是点的对称规律的拓展应用，考查知识迁移能力和代入法的使用，解题的关键是理解函数图象对称的本质是图象上所有点的对称，掌握代入对称点坐标求解析式的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
1. 在平面直角坐标系中,点$P(2,-3)$关于原点对称的点的坐标是 (
A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(-2,-3)$
D.$(-3,2)$
B
)A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(-2,-3)$
D.$(-3,2)$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。接下来只需将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对应对称点的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若点的坐标为$(x,y)$，则它关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(2,-3)$，其中横坐标$x=2$，纵坐标$y=-3$，
则其关于原点对称的点的横坐标为$-2$，纵坐标为$-(-3)=3$，
即对称点的坐标为$(-2,3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查原点对称的坐标变化规律，熟练记忆不同对称方式对应的坐标变化特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。接下来只需将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对应对称点的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若点的坐标为$(x,y)$，则它关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(2,-3)$，其中横坐标$x=2$，纵坐标$y=-3$，
则其关于原点对称的点的横坐标为$-2$，纵坐标为$-(-3)=3$，
即对称点的坐标为$(-2,3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查原点对称的坐标变化规律，熟练记忆不同对称方式对应的坐标变化特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 在平面直角坐标系中，将点$A(-1,2)$向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到点$B$，则点$B$关于原点的对称点$C$的坐标是
$(-2,-1)$
。答案
2. $(-2,-1)$
解析
【分析】
解题需分两步完成：首先根据平面直角坐标系中点的平移规律计算平移后得到的点B的坐标，平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规则；再根据关于原点对称的点的坐标特征，求出点B关于原点的对称点C的坐标，关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数。
【解析】
1. 计算点B的坐标：
点A的坐标为$(-1,2)$，向右平移3个单位长度，横坐标变为$-1+3=2$；向下平移1个单位长度，纵坐标变为$2-1=1$，因此点B的坐标为$(2,1)$。
2. 计算点C的坐标：
关于原点对称的点的横、纵坐标均互为原坐标的相反数，点B$(2,1)$关于原点对称的点C的横坐标为$-2$，纵坐标为$-1$，即$C(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
点的平移坐标规律；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是坐标变换的基础题，核心考查平移与关于原点对称两类坐标变化的基本规则，掌握对应规律、细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.85
解题需分两步完成：首先根据平面直角坐标系中点的平移规律计算平移后得到的点B的坐标，平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规则；再根据关于原点对称的点的坐标特征，求出点B关于原点的对称点C的坐标，关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数。
【解析】
1. 计算点B的坐标：
点A的坐标为$(-1,2)$，向右平移3个单位长度，横坐标变为$-1+3=2$；向下平移1个单位长度，纵坐标变为$2-1=1$，因此点B的坐标为$(2,1)$。
2. 计算点C的坐标：
关于原点对称的点的横、纵坐标均互为原坐标的相反数，点B$(2,1)$关于原点对称的点C的横坐标为$-2$，纵坐标为$-1$，即$C(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
点的平移坐标规律；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是坐标变换的基础题，核心考查平移与关于原点对称两类坐标变化的基本规则，掌握对应规律、细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.85
3. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，若OA=2，则点B关于原点的对称点的坐标为（
A.$(1,\sqrt{3})$
B.$(\sqrt{3},1)$
C.$(-1,-\sqrt{3})$
D.$(-\sqrt{3},-1)$
C
）A.$(1,\sqrt{3})$
B.$(\sqrt{3},1)$
C.$(-1,-\sqrt{3})$
D.$(-\sqrt{3},-1)$
答案
3. C
解析
【分析】
要得到点B关于原点的对称点坐标，首先需要先求出点B的坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征求解。已知△OAB是等边三角形，OA=2且OA在x轴上，可先借助等边三角形三线合一的性质确定点B的横坐标，再通过勾股定理计算点B的纵坐标，最后根据原点对称的坐标变换规律得到对称点坐标。
【解析】
过点B作BC⊥OA于点C，
∵△OAB是等边三角形，OA=2，
∴OC=½OA=1（等边三角形三线合一），OB=OA=2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点B关于原点的对称点的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合等边三角形和平面直角坐标系的知识考查点的对称规律，解题核心是先准确求出点B的坐标，再套用对称坐标的变换规则即可得到结果，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
要得到点B关于原点的对称点坐标，首先需要先求出点B的坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征求解。已知△OAB是等边三角形，OA=2且OA在x轴上，可先借助等边三角形三线合一的性质确定点B的横坐标，再通过勾股定理计算点B的纵坐标，最后根据原点对称的坐标变换规律得到对称点坐标。
【解析】
过点B作BC⊥OA于点C，
∵△OAB是等边三角形，OA=2，
∴OC=½OA=1（等边三角形三线合一），OB=OA=2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点B关于原点的对称点的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合等边三角形和平面直角坐标系的知识考查点的对称规律，解题核心是先准确求出点B的坐标，再套用对称坐标的变换规则即可得到结果，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
4.已知点$M(1-2m,m-1)$关于原点的对称点在第一象限，则$m$的取值范围在数轴上表示正确的是（
C
）答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：①先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出点M的对称点坐标；②再结合第一象限内点的横、纵坐标都为正数的特点，列出关于m的一元一次不等式组；③解不等式组得到m的取值范围，最后对照数轴表示选出正确选项。
【解析】
解：
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$M(1-2m,m-1)$关于原点的对称点坐标为$(2m-1, 1-m)$。
∵该对称点在第一象限，第一象限内点的横坐标＞0，纵坐标＞0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}2m - 1 ＞ 0 \\1 - m ＞ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2m＞1$，得$m＞0.5$；
解第二个不等式：$-m＞-1$，得$m＜1$。
∴$m$的取值范围是$0.5＜m＜1$。
数轴表示为：在0.5和1处画空心圆圈，大于0.5向右画线，小于1向左画线，重合部分即为解集，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；一元一次不等式组的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题是坐标性质与不等式的综合基础题，解题的关键是准确掌握原点对称的坐标变化规律，同时注意解不等式时不等号的变号规则，数轴上空心圆圈代表不包含对应数值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：①先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出点M的对称点坐标；②再结合第一象限内点的横、纵坐标都为正数的特点，列出关于m的一元一次不等式组；③解不等式组得到m的取值范围，最后对照数轴表示选出正确选项。
【解析】
解：
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$M(1-2m,m-1)$关于原点的对称点坐标为$(2m-1, 1-m)$。
∵该对称点在第一象限，第一象限内点的横坐标＞0，纵坐标＞0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}2m - 1 ＞ 0 \\1 - m ＞ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2m＞1$，得$m＞0.5$；
解第二个不等式：$-m＞-1$，得$m＜1$。
∴$m$的取值范围是$0.5＜m＜1$。
数轴表示为：在0.5和1处画空心圆圈，大于0.5向右画线，小于1向左画线，重合部分即为解集，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；一元一次不等式组的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题是坐标性质与不等式的综合基础题，解题的关键是准确掌握原点对称的坐标变化规律，同时注意解不等式时不等号的变号规则，数轴上空心圆圈代表不包含对应数值。
【难度系数】
0.7
