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5. 如图,把△ABC经过一定的变换得到△A'B'C',如果图中△ABC上的点P的坐标为(a,b),那么它的对应点P'的坐标为
$(-a-2,-b)$
.答案
5. $(-a-2,-b)$
解析
【分析】
要确定点P的对应点P'的坐标，首先需要找到△ABC到△A'B'C'的变换规律。我们可以先提取图中三组对应点的坐标，通过分析对应点的坐标变化推导变换步骤：首先观察关键点C(-2,0)对应C'(0,0)，B(-1,-3)对应B'(-1,3)，A(-3,-2)对应A'(1,2)，可知变换可分为两步：第一步将△ABC向右平移2个单位长度，第二步将平移后的图形关于原点作中心对称，再将该变换规律应用到点P上即可得到P'的坐标。
【解析】
首先确定各对应点坐标：
点C坐标为$\boldsymbol{(-2, 0)}$，对应点$C'$坐标为$\boldsymbol{(0, 0)}$；点B坐标为$\boldsymbol{(-1, -3)}$，对应点$B'$坐标为$\boldsymbol{(-1, 3)}$；点A坐标为$\boldsymbol{(-3, -2)}$，对应点$A'$坐标为$\boldsymbol{(1, 2)}$。
第一步：将△ABC向右平移2个单位长度，根据平移的坐标规律：横坐标右移加，纵坐标不变，此时△ABC上的点$P(a,b)$平移后的坐标为$\boldsymbol{(a+2, b)}$。
第二步：将平移后的图形关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，因此平移后的点$(a+2, b)$对称后的坐标为$(-(a+2), -b)$，化简得$\boldsymbol{(-a-2, -b)}$。
验证：将B点坐标代入规律，$(-(-1)-2, -(-3))=(-1,3)$，与$B'$坐标一致，规律成立。
【答案】
$(-a-2,-b)$
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 坐标与图形变换
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形的变换规律，解题核心是通过已知对应点的坐标反推变换步骤，也可直接找两组对应点的中点确定中心对称的对称点来推导坐标规律，要求学生熟练掌握平移和中心对称的坐标变换特点，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要确定点P的对应点P'的坐标，首先需要找到△ABC到△A'B'C'的变换规律。我们可以先提取图中三组对应点的坐标，通过分析对应点的坐标变化推导变换步骤：首先观察关键点C(-2,0)对应C'(0,0)，B(-1,-3)对应B'(-1,3)，A(-3,-2)对应A'(1,2)，可知变换可分为两步：第一步将△ABC向右平移2个单位长度，第二步将平移后的图形关于原点作中心对称，再将该变换规律应用到点P上即可得到P'的坐标。
【解析】
首先确定各对应点坐标：
点C坐标为$\boldsymbol{(-2, 0)}$，对应点$C'$坐标为$\boldsymbol{(0, 0)}$；点B坐标为$\boldsymbol{(-1, -3)}$，对应点$B'$坐标为$\boldsymbol{(-1, 3)}$；点A坐标为$\boldsymbol{(-3, -2)}$，对应点$A'$坐标为$\boldsymbol{(1, 2)}$。
第一步：将△ABC向右平移2个单位长度，根据平移的坐标规律：横坐标右移加，纵坐标不变，此时△ABC上的点$P(a,b)$平移后的坐标为$\boldsymbol{(a+2, b)}$。
第二步：将平移后的图形关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，因此平移后的点$(a+2, b)$对称后的坐标为$(-(a+2), -b)$，化简得$\boldsymbol{(-a-2, -b)}$。
验证：将B点坐标代入规律，$(-(-1)-2, -(-3))=(-1,3)$，与$B'$坐标一致，规律成立。
【答案】
$(-a-2,-b)$
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 坐标与图形变换
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形的变换规律，解题核心是通过已知对应点的坐标反推变换步骤，也可直接找两组对应点的中点确定中心对称的对称点来推导坐标规律，要求学生熟练掌握平移和中心对称的坐标变换特点，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
6. 在平面直角坐标系中,如果点$P_{1}(a,-3)$与点$P_{2}(4,b)$关于原点$O$对称,那么式子$(a+b)^{2026}$的值为
$1$
.答案
6. 1
解析
【分析】
解决本题首先要牢记关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们先利用这个规律求出a、b的取值，再代入代数式计算即可。计算乘方时要注意，负数的偶次幂是正数，本题指数2026为偶数，最终乘方结果为正。
【解析】
解：
∵点$P_{1}(a,-3)$与点$P_{2}(4,b)$关于原点$O$对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，
∴$a=-4$，$b=3$，
则$a+b=-4+3=-1$，
∴$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查原点对称点的坐标性质的应用，结合简单的有理数乘方运算，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要牢记关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们先利用这个规律求出a、b的取值，再代入代数式计算即可。计算乘方时要注意，负数的偶次幂是正数，本题指数2026为偶数，最终乘方结果为正。
【解析】
解：
∵点$P_{1}(a,-3)$与点$P_{2}(4,b)$关于原点$O$对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，
∴$a=-4$，$b=3$，
则$a+b=-4+3=-1$，
∴$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查原点对称点的坐标性质的应用，结合简单的有理数乘方运算，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7. 在平面直角坐标系中,若点$P(x,y)$在第二象限,且$|x|-1=0,y^2-4=0$,则点$P$关于坐标原点对称的点$P'$的坐标是
$(1,-2)$
.答案
7. $(1,-2)$
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先根据给出的绝对值方程和平方方程求出x、y的所有可能取值；再结合第二象限内点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正）确定点P的准确坐标；最后根据关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为原坐标的相反数），计算得到点P'的坐标。
【解析】
1. 求解x、y的可能值：
由$|x|-1=0$，得$|x|=1$，因此$x=1$或$x=-1$；
由$y^2-4=0$，得$y^2=4$，因此$y=2$或$y=-2$。
2. 确定点P的坐标：
因为点$P(x,y)$在第二象限，第二象限内点横坐标小于0、纵坐标大于0，所以$x=-1$，$y=2$，即点P的坐标为$(-1,2)$。
3. 求点P关于原点对称的点P'的坐标：
关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，因此点P'的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-2$，即$P'(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标规律
3. 绝对值与平方的性质
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了象限坐标判断和原点对称的坐标变换，解题的核心是先结合象限特征确定原点点坐标，再代入对称规律计算即可，注意不要混淆各象限的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：首先根据给出的绝对值方程和平方方程求出x、y的所有可能取值；再结合第二象限内点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正）确定点P的准确坐标；最后根据关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为原坐标的相反数），计算得到点P'的坐标。
【解析】
1. 求解x、y的可能值：
由$|x|-1=0$，得$|x|=1$，因此$x=1$或$x=-1$；
由$y^2-4=0$，得$y^2=4$，因此$y=2$或$y=-2$。
2. 确定点P的坐标：
因为点$P(x,y)$在第二象限，第二象限内点横坐标小于0、纵坐标大于0，所以$x=-1$，$y=2$，即点P的坐标为$(-1,2)$。
3. 求点P关于原点对称的点P'的坐标：
关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，因此点P'的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-2$，即$P'(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标规律
3. 绝对值与平方的性质
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了象限坐标判断和原点对称的坐标变换，解题的核心是先结合象限特征确定原点点坐标，再代入对称规律计算即可，注意不要混淆各象限的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8
8. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)分别写出点A,B,C的坐标.
(2)请在这个坐标系内画出△A₁B₁C₁,使△A₁B₁C₁与△ABC关于y轴对称,并写出点B的对称点B₁的坐标.
(3)请在这个坐标系内画出△A₂B₂C₂,使△A₂B₂C₂与△ABC关于原点对称,并写出点A的对称点A₂的坐标.
(4)试判断△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是否有对称关系,若有,是哪种对称?并求出△ABC的面积.
(1)分别写出点A,B,C的坐标.
(2)请在这个坐标系内画出△A₁B₁C₁,使△A₁B₁C₁与△ABC关于y轴对称,并写出点B的对称点B₁的坐标.
(3)请在这个坐标系内画出△A₂B₂C₂,使△A₂B₂C₂与△ABC关于原点对称,并写出点A的对称点A₂的坐标.
(4)试判断△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是否有对称关系,若有,是哪种对称?并求出△ABC的面积.
答案
8. (1)$A(0,3),B(-4,4),C(-2,1)$.
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求. 点$B_1$的坐标为$(4,4)$.
(3)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求. 点$A_2$的坐标为$(0,-3)$.
(4)$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$关于$x$轴对称.
$△ ABC$的面积为5.
解析
【分析】
1. 求点坐标：根据平面直角坐标系中坐标的定义，横坐标是点向x轴作垂线对应x轴的数值（左负右正），纵坐标是点向y轴作垂线对应y轴的数值（下负上正），即可读出A、B、C三点坐标。
2. 画关于y轴对称的三角形：关于y轴对称的点满足“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先求出三个顶点的对称点坐标，描点后顺次连线即可得到对应图形，直接读出B₁的坐标。
3. 画关于原点对称的三角形：关于原点对称的点满足“横、纵坐标均互为相反数”，先求出三个顶点的对称点坐标，描点后顺次连线即可得到对应图形，直接读出A₂的坐标。
4. 判断对称关系：对比两个三角形对应点的坐标特征，若横坐标不变、纵坐标互为相反数则关于x轴对称；求△ABC的面积采用割补法，将三角形放入包含它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
【解析】
(1) 观察坐标系，点A在y轴上，横坐标为0，纵坐标为3；点B横坐标为-4，纵坐标为4；点C横坐标为-2，纵坐标为1。
(2) 根据关于y轴对称的坐标变化规律，得A₁(0,3)、B₁(4,4)、C₁(2,1)，描点后顺次连接得到△A₁B₁C₁。
(3) 根据关于原点对称的坐标变化规律，得A₂(0,-3)、B₂(4,-4)、C₂(2,-1)，描点后顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(4) 对比△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的对应点坐标，发现横坐标相同，纵坐标互为相反数，故两三角形关于x轴对称。
计算△ABC面积：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=3×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×4×1\\&=12-2-3-2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1)$A(0,3),B(-4,4),C(-2,1)$。
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求. 点$B_1$的坐标为$(4,4)$。
(3)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求. 点$A_2$的坐标为$(0,-3)$。
(4)$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$关于$x$轴对称。
$△ ABC$的面积为5。
【知识点】
坐标与对称变换，网格面积计算，点的坐标确定
【点评】
本题核心考查不同对称变换下的坐标变化规律，以及网格中图形面积的常用计算方法，解题的关键是熟记轴对称、中心对称的坐标特征，割补法是解决网格中不规则图形面积的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1. 求点坐标：根据平面直角坐标系中坐标的定义，横坐标是点向x轴作垂线对应x轴的数值（左负右正），纵坐标是点向y轴作垂线对应y轴的数值（下负上正），即可读出A、B、C三点坐标。
2. 画关于y轴对称的三角形：关于y轴对称的点满足“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先求出三个顶点的对称点坐标，描点后顺次连线即可得到对应图形，直接读出B₁的坐标。
3. 画关于原点对称的三角形：关于原点对称的点满足“横、纵坐标均互为相反数”，先求出三个顶点的对称点坐标，描点后顺次连线即可得到对应图形，直接读出A₂的坐标。
4. 判断对称关系：对比两个三角形对应点的坐标特征，若横坐标不变、纵坐标互为相反数则关于x轴对称；求△ABC的面积采用割补法，将三角形放入包含它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
【解析】
(1) 观察坐标系，点A在y轴上，横坐标为0，纵坐标为3；点B横坐标为-4，纵坐标为4；点C横坐标为-2，纵坐标为1。
(2) 根据关于y轴对称的坐标变化规律，得A₁(0,3)、B₁(4,4)、C₁(2,1)，描点后顺次连接得到△A₁B₁C₁。
(3) 根据关于原点对称的坐标变化规律，得A₂(0,-3)、B₂(4,-4)、C₂(2,-1)，描点后顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(4) 对比△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的对应点坐标，发现横坐标相同，纵坐标互为相反数，故两三角形关于x轴对称。
计算△ABC面积：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=3×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×4×1\\&=12-2-3-2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1)$A(0,3),B(-4,4),C(-2,1)$。
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求. 点$B_1$的坐标为$(4,4)$。
(3)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求. 点$A_2$的坐标为$(0,-3)$。
(4)$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$关于$x$轴对称。
$△ ABC$的面积为5。
【知识点】
坐标与对称变换，网格面积计算，点的坐标确定
【点评】
本题核心考查不同对称变换下的坐标变化规律，以及网格中图形面积的常用计算方法，解题的关键是熟记轴对称、中心对称的坐标特征，割补法是解决网格中不规则图形面积的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
