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学习任务 圆锥的侧面积和全面积
从操作到辨析
|情境探究|
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，如图，线段OA是圆锥的一条母线。
问题1:圆锥有多少条母线？圆锥的母线长有什么性质？
问题2:沿任意一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是什么形状？
问题3:填写下面的对应关系：
圆锥的侧面展开图$\xleftrightarrow{对应}$扇形；
圆锥的母线$\xleftrightarrow{对应}$扇形的
圆锥的$\xleftrightarrow{对应}$扇形的弧长；
圆锥的侧面积$\xleftrightarrow{对应}$扇形的
问题4:请你推导出圆锥的侧面积及全面积。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，则扇形的半径是
从操作到辨析
|情境探究|
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，如图，线段OA是圆锥的一条母线。
问题1:圆锥有多少条母线？圆锥的母线长有什么性质？
问题2:沿任意一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是什么形状？
问题3:填写下面的对应关系：
圆锥的侧面展开图$\xleftrightarrow{对应}$扇形；
圆锥的母线$\xleftrightarrow{对应}$扇形的
半径
；圆锥的$\xleftrightarrow{对应}$扇形的弧长；
圆锥的侧面积$\xleftrightarrow{对应}$扇形的
面积
。问题4:请你推导出圆锥的侧面积及全面积。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，则扇形的半径是
$l$
，扇形的弧长是$2π r$
，扇形的面积是$π rl$
，即为圆锥的侧
面积。圆锥的底面圆的面积是$π r^2$
，所以圆锥的全面积是$π r(r+l)$
。答案
问题1:圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等。
问题2:圆锥的侧面展开图是一个扇形。
问题3:半径 底面圆的周长 面积
问题4:$l$ $2π r$ $π rl$ 侧 $π r^2$ $π r(r+l)$
问题2:圆锥的侧面展开图是一个扇形。
问题3:半径 底面圆的周长 面积
问题4:$l$ $2π r$ $π rl$ 侧 $π r^2$ $π r(r+l)$
解析
【分析】
解答本题需结合圆锥的定义和侧面展开的特征逐步思考：1. 思考母线的定义：连接顶点和底面圆周任意点的线段，底面圆周有无数个点，因此母线有无数条；圆锥是旋转体，旋转过程中母线长度不变，因此所有母线长相等。2. 沿母线剪开侧面时，所有边的长度均为母线长，展开后图形的半径均相等，弧长对应底面周长，因此是扇形。3. 梳理展开前后的对应关系：扇形的边对应母线，扇形的弧对应底面圆周，圆锥侧面积就是展开后扇形的面积。4. 推导面积时先确定对应量，再结合扇形面积公式计算侧面积，加底面积即可得到全面积。
【解析】
问题1解答
底面圆周上存在无数个点，连接圆锥顶点和这些点都能得到母线，因此圆锥有无数条母线；圆锥是直角三角形绕一条直角边旋转得到的旋转体，母线为旋转的斜边，旋转过程中长度不变，因此所有母线长相等。
问题2解答
沿任意一条母线剪开圆锥侧面，展开后得到的图形满足：从一个顶点出发的边长度都等于母线长， curved边的长度等于底面圆周长，符合扇形的特征，因此圆锥侧面展开图是扇形。
问题3解答
根据展开前后的对应关系：
圆锥的母线长度等于展开后扇形的半径，因此对应扇形的半径；
展开后扇形的弧长是底面圆周剪开得到的，因此圆锥的底面圆周长对应扇形的弧长；
圆锥侧面的面积就是展开后扇形的面积，因此圆锥的侧面积对应扇形的面积。
问题4解答
已知圆锥母线长为$l$，底面半径为$r$：
扇形的半径等于圆锥母线长，为$l$；
扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，为$2π r$；
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，代入得扇形面积为$\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$，该值就是圆锥的侧面积；
圆锥底面圆的面积为$π r^2$，因此圆锥的全面积=侧面积+底面积=$π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
问题1:圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等。
问题2:圆锥的侧面展开图是一个扇形。
问题3:半径 底面圆的周长 面积
问题4:$l$ $2π r$ $π rl$ 侧 $π r^2$ $π r(r+l)$
【知识点】
圆锥的相关概念；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题从概念到推导逐步设问，帮助建立圆锥立体图形和平面展开扇形的对应关系，是圆锥面积相关计算的基础，需牢记各对应量的关系，避免混淆弧长、半径的对应对象。
【难度系数】
0.8
解答本题需结合圆锥的定义和侧面展开的特征逐步思考：1. 思考母线的定义：连接顶点和底面圆周任意点的线段，底面圆周有无数个点，因此母线有无数条；圆锥是旋转体，旋转过程中母线长度不变，因此所有母线长相等。2. 沿母线剪开侧面时，所有边的长度均为母线长，展开后图形的半径均相等，弧长对应底面周长，因此是扇形。3. 梳理展开前后的对应关系：扇形的边对应母线，扇形的弧对应底面圆周，圆锥侧面积就是展开后扇形的面积。4. 推导面积时先确定对应量，再结合扇形面积公式计算侧面积，加底面积即可得到全面积。
【解析】
问题1解答
底面圆周上存在无数个点，连接圆锥顶点和这些点都能得到母线，因此圆锥有无数条母线；圆锥是直角三角形绕一条直角边旋转得到的旋转体，母线为旋转的斜边，旋转过程中长度不变，因此所有母线长相等。
问题2解答
沿任意一条母线剪开圆锥侧面，展开后得到的图形满足：从一个顶点出发的边长度都等于母线长， curved边的长度等于底面圆周长，符合扇形的特征，因此圆锥侧面展开图是扇形。
问题3解答
根据展开前后的对应关系：
圆锥的母线长度等于展开后扇形的半径，因此对应扇形的半径；
展开后扇形的弧长是底面圆周剪开得到的，因此圆锥的底面圆周长对应扇形的弧长；
圆锥侧面的面积就是展开后扇形的面积，因此圆锥的侧面积对应扇形的面积。
问题4解答
已知圆锥母线长为$l$，底面半径为$r$：
扇形的半径等于圆锥母线长，为$l$；
扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，为$2π r$；
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，代入得扇形面积为$\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$，该值就是圆锥的侧面积；
圆锥底面圆的面积为$π r^2$，因此圆锥的全面积=侧面积+底面积=$π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
问题1:圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等。
问题2:圆锥的侧面展开图是一个扇形。
问题3:半径 底面圆的周长 面积
问题4:$l$ $2π r$ $π rl$ 侧 $π r^2$ $π r(r+l)$
【知识点】
圆锥的相关概念；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题从概念到推导逐步设问，帮助建立圆锥立体图形和平面展开扇形的对应关系，是圆锥面积相关计算的基础，需牢记各对应量的关系，避免混淆弧长、半径的对应对象。
【难度系数】
0.8
知识梳理
1.圆锥的母线:我们把连接圆锥
2.设圆锥的底面圆的半径为$ r $，母线长为$ l $，则圆锥的侧面积为
1.圆锥的母线:我们把连接圆锥
顶点
和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，一个圆锥有无数
条母线.2.设圆锥的底面圆的半径为$ r $，母线长为$ l $，则圆锥的侧面积为
$π rl$
，圆锥的全面积为$π r(r+l)$
.答案
1.顶点 无数
2.$π rl$ $π r(r+l)$
2.$π rl$ $π r(r+l)$
解析
【分析】
本题考查圆锥的基础概念与面积公式，解题思路如下：1. 回忆圆锥的结构特征：母线是连接圆锥顶部特殊点与底面圆周上点的线段，底面圆周有无数个点，对应母线的数量即可确定；2. 圆锥侧面展开为扇形，扇形弧长等于底面圆周长、半径等于母线长，结合扇形面积公式可推导侧面积，全面积为侧面积加底面积，代入化简即可得到结果。
【解析】
1. 根据圆锥母线的定义，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线；由于底面圆周上有无数个不同的点，因此一个圆锥有无数条母线。
2. 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$，可得圆锥侧面积$S_{侧}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$；圆锥底面积$S_{底}=π r^2$，因此圆锥全面积$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
1.顶点 无数
2.$π rl$ $π r(r+l)$
【知识点】
圆锥母线的定义；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对圆锥相关定义和面积公式的掌握，牢记基础定义和公式是快速解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查圆锥的基础概念与面积公式，解题思路如下：1. 回忆圆锥的结构特征：母线是连接圆锥顶部特殊点与底面圆周上点的线段，底面圆周有无数个点，对应母线的数量即可确定；2. 圆锥侧面展开为扇形，扇形弧长等于底面圆周长、半径等于母线长，结合扇形面积公式可推导侧面积，全面积为侧面积加底面积，代入化简即可得到结果。
【解析】
1. 根据圆锥母线的定义，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线；由于底面圆周上有无数个不同的点，因此一个圆锥有无数条母线。
2. 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$，可得圆锥侧面积$S_{侧}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$；圆锥底面积$S_{底}=π r^2$，因此圆锥全面积$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
1.顶点 无数
2.$π rl$ $π r(r+l)$
【知识点】
圆锥母线的定义；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对圆锥相关定义和面积公式的掌握，牢记基础定义和公式是快速解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
【例1】用半径为30、圆心角为$120°$的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（
A.20
B.15
C.10
D.5
C
）A.20
B.15
C.10
D.5
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是明确扇形围成圆锥侧面时的等量关系：扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆周长。我们首先根据已知的扇形圆心角和半径计算出扇形的弧长，再利用圆的周长公式，建立弧长和底面圆周长的等式，求解即可得到底面圆的半径。
【解析】
首先根据扇形弧长公式计算扇形弧长，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$R=30$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×30}{180}=20π$
设圆锥底面圆的半径为$r$，则底面圆的周长为$C=2π r$。
因为扇形弧长等于圆锥底面圆周长，可得等式：
$2π r=20π$
等式两边同时除以$2π$，解得$r=10$。
【答案】
C
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开图性质；圆的周长计算
【点评】
这道题是几何中常见的基础题型，解题关键是准确掌握圆锥与它的侧面展开扇形之间的等量对应关系，牢记弧长等于底面周长这个核心等式，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确扇形围成圆锥侧面时的等量关系：扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆周长。我们首先根据已知的扇形圆心角和半径计算出扇形的弧长，再利用圆的周长公式，建立弧长和底面圆周长的等式，求解即可得到底面圆的半径。
【解析】
首先根据扇形弧长公式计算扇形弧长，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$R=30$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×30}{180}=20π$
设圆锥底面圆的半径为$r$，则底面圆的周长为$C=2π r$。
因为扇形弧长等于圆锥底面圆周长，可得等式：
$2π r=20π$
等式两边同时除以$2π$，解得$r=10$。
【答案】
C
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开图性质；圆的周长计算
【点评】
这道题是几何中常见的基础题型，解题关键是准确掌握圆锥与它的侧面展开扇形之间的等量对应关系，牢记弧长等于底面周长这个核心等式，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
