5. 如图①、图②，长方形台球桌面ABCD上有两个球P,Q.
(1)请在图①中画出一条路线，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；
(2)请在图②中画出一条路线，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q.

5.(1)答案不唯一,如作点P关于AB的对称点$P'$,连接$QP'$交AB于点M,如图①的实线部分即为所求.

(2)答案不唯一,如作点P关于AB的对称点$P'$,作点Q关于BC的对称点$Q'$,连接$P'Q'$交AB于点E,交BC于点F.如图②所示的实线部分即为所求.

【分析】
本题是台球反弹的路径作图问题，本质是利用轴对称性质解决最短路径类问题：
(1) 单次反弹问题：球P撞击AB反弹后击中Q，需要满足反弹时入射角等于反射角，我们可以通过作点P关于AB的对称点，将折线PM+MQ转化为两点之间的线段，利用“两点之间线段最短”找到AB上的撞击点。
(2) 两次反弹问题：需要先后撞击AB、BC两条边反弹，同理我们分别作P关于AB的对称点、Q关于BC的对称点，将三段折线的长度转化为两个对称点之间的线段长度，线段与AB、BC的交点就是两次的撞击点，即可得到符合要求的路径。
【解析】
(1) ① 作点P关于直线AB的对称点$P'$，根据轴对称的性质可知，AB上任意一点到P和$P'$的距离相等，且对应角相等，符合反弹的角度要求；
② 连接$P'Q$，交AB于点M，此时路径$P\to M\to Q$满足撞击AB反弹后击中Q的要求，即为所求路线。
(2) ① 作点P关于直线AB的对称点$P'$，作点Q关于直线BC的对称点$Q'$；
② 连接$P'Q'$，分别交AB于点E、交BC于点F，此时路径$P\to E\to F\to Q$满足先后撞击AB、BC两次反弹后击中Q的要求，即为所求路线。
【答案】
(1)答案不唯一,如作点P关于AB的对称点$P'$,连接$QP'$交AB于点M,如图①的实线部分即为所求.

(2)答案不唯一,如作点P关于AB的对称点$P'$,作点Q关于BC的对称点$Q'$,连接$P'Q'$交AB于点E,交BC于点F.如图②所示的实线部分即为所求.

【知识点】
轴对称的性质；最短路径作图；两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称在实际生活中的典型应用题型，核心解题思路是通过作对称点将折线路径转化为直线段，既满足反射的角度要求，又符合路径最短的原理，掌握这类“反射型”路径问题的对称转化方法，即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7

6. 如图,已知直线MN与MN异侧的两点A,B,在MN上求作一点P,使$PA-PB$最大.

6. 如图. ①作点B关于MN的对称点$B'$;
②连接$AB'$并延长,交MN于点P.
则点P就是所求作的点.

【分析】
要找到直线MN上使$PA-PB$最大的点P，我们可以通过轴对称转化线段，结合三角形三边关系推导最值条件：首先利用轴对称的性质，将PB转化为等长的线段，把$PA-PB$转化为两条共端点线段的差；再根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边”，可知当三点共线时，线段的差等于第三边，此时差值达到最大，即可确定所求点的位置。
【解析】
1. 作点B关于直线MN的对称点$B'$：根据轴对称的性质，直线MN上任意一点到B和$B'$的距离相等，即对MN上任意点P，都有$PB=PB'$，因此$PA-PB=PA-PB'$。
2. 连接$AB'$并延长，交MN于点P：此时P、$B'$、A三点共线，$PA-PB'=AB'$。
3. 验证最大值：若在MN上取任意异于P的点$P'$，连接$P'A$、$P'B$、$P'B'$，同理$P'B=P'B'$，在$△ P'AB'$中，由三角形三边关系可得$P'A-P'B'＜AB'$，即$P'A-P'B＜PA-PB$，因此点P即为所求。
【答案】
①作点B关于MN的对称点$B'$;
②连接$AB'$并延长,交MN于点P.
则点P就是所求作的点.

【知识点】
轴对称的性质；三角形三边关系；最值作图
【点评】
本题是线段差最值问题的典型题型，核心解题思想是通过轴对称完成等线段转化，将未知的线段差最值问题转化为可利用三角形三边关系判断的问题，解题时要注意和线段和最小的最短路径问题区分思路。
【难度系数】
0.6