7. 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在边AB,AD上.
(1)当△CEF的周长最小时,请在图中画出点E,F的位置;
(2)在(1)的条件下,若∠BCD=108°,求∠ECF的度数.

7.(1)图略. 提示:作点C关于AB的对称点M,点C关于AD的对称点N,连接MN,交AB于点E,交AD于点F,点E,F即为所求.
(2)$∠ECF$的度数为$36°$.

【分析】
(1) 要使△CEF的周长最小，即要让CE+EF+FC的和最小。解决这类最短路径问题常用对称变换法：分别作点C关于AB、AD的对称点，利用轴对称的性质，将CE、CF转化为对称点到E、F的线段，此时△CEF的周长就转化为两个对称点之间的线段长度，根据“两点之间线段最短”，此时周长最小，两对称点连线与AB、AD的交点即为所求的E、F。
(2) 求∠ECF的度数时，先利用四边形内角和求出∠A的度数，再结合轴对称的性质得到相关角的等量关系，最后利用三角形、四边形的内角和定理建立等量关系求解即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作点C关于直线AB的对称点M；
② 作点C关于直线AD的对称点N；
③ 连接MN，分别交AB于点E，交AD于点F，此时△CEF的周长最小，点E、F即为所求。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD的内角和为$360°$，且$∠ B=∠ D=90°$，$∠ BCD=108°$，
∴ $∠ A=360° - 90° - 90° - 108°=72°$。
根据轴对称的性质可知：AB垂直平分CM，AD垂直平分CN，
∴ $∠ BEC=∠ BEM$，$∠ DFC=∠ DFN$。
∵ 点M、E、F、N共线，
∴ $∠ CEF=180° - ∠ BEC - ∠ BEM=180° - 2∠ BEC$，
同理可得$∠ CFE=180° - 2∠ DFC$。
在$Rt△ BCE$中，$∠ B=90°$，故$∠ BEC=90° - ∠ BCE$；
在$Rt△ DCF$中，$∠ D=90°$，故$∠ DFC=90° - ∠ DCF$。
在$△ CEF$中，内角和为$180°$，因此：
$∠ ECF + ∠ CEF + ∠ CFE=180°$
将$∠ CEF$、$∠ CFE$代入上式，整理得：
$∠ ECF + 180°=2(∠ BEC + ∠ DFC) \tag{1}$
在四边形AECF中，内角和为$360°$，其中$∠ AEC=180° - ∠ BEC$，$∠ AFC=180° - ∠ DFC$，代入得：
$72° + (180° - ∠ BEC) + (180° - ∠ DFC) + ∠ ECF=360°$
整理得：
$∠ BEC + ∠ DFC=72° + ∠ ECF \tag{2}$
将(2)代入(1)：
$∠ ECF + 180°=2(72° + ∠ ECF)$
解得$∠ ECF=36°$。
【答案】
(1) 作点C关于AB的对称点M，点C关于AD的对称点N，连接MN交AB于E、交AD于F，点E、F即为所求（图略）；
(2) $∠ ECF$的度数为$36°$。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；多边形内角和
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，作图部分核心是利用轴对称变换将折线段转化为直线段解决周长最小问题；角度计算部分需要结合轴对称的角相等性质，灵活运用三角形和四边形内角和定理建立等量关系求解，能很好地考查学生对轴对称性质的理解和几何推理能力。
【难度系数】
0.65

8. 如图，直线$l_1$，$l_2$表示一条河的两岸，且$l_1// l_2$.现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）


A.路线:$PF→FQ$
B.路线:$PE→EQ$
C.路线:$PE→EF→FQ$
D.路线:$PE→EF→FQ$

8.C

【分析】
这是造桥选址类的最短路径问题，解题核心是利用平移转化路径。首先明确桥必须垂直于河岸，所以桥的长度是固定等于河宽的，总路程=从P到桥岸端点的长度+桥长（定值）+从桥另一岸端点到Q的长度，因此要让总路程最短，只需让除桥长外的两段路程之和最小。我们可以通过平移点P，将P到桥端点的线段转化为与Q到桥端点的线段在同一直线同侧的线段，再利用“两点之间线段最短”找到最优的桥的位置。
【解析】
1. 由于桥与河岸垂直，且$l_1// l_2$，因此桥的长度等于两平行线间的距离，是固定值，要使总路程最短，只需保证除桥长外的两段路程之和最小。
2. 将点P沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽，得到点$P'$，根据平移的性质，此时P到桥岸端点E的长度与$P'$到桥另一岸端点F的长度相等，即$PE=P'F$。
3. 连接$P'Q$，与$l_1$交于点F，过F作$FE⊥ l_2$，垂足为E，此时$PE+FQ=P'F+FQ=P'Q$，根据“两点之间线段最短”，此时$PE+FQ$的和最小。
4. 因此最短路线为$PE\to EF\to FQ$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.最短路径问题 2.平移的性质 3.两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址最短路径问题，解题的关键是通过平移将固定长度的桥的部分剥离，把折线最短问题转化为两点之间线段最短的基础问题，掌握平移转化的思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6

9. 如图,某护城河在$CC'$处直角转弯,河宽均为5 m,从A处到达B处,需经过两座桥:$DD'$,$EE'$(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,请在图中画出桥$DD'$,$EE'$的位置,使从A处到B处的路程最短.

9. 图略. 提示:作$AF ⊥ CM$,且AF等于河宽,作$BG ⊥ CN$,且BG等于河宽,连接GF,与河岸$C'N'$,$C'M'$分别交于点$E'$,$D'$. 过点$D'$作$DD' ⊥ CM$于点D,过点$E'$作$E'E ⊥ CN$于点E,$DD'$,$EE'$即为桥的位置.

【分析】
要解决带固定长度桥的最短路径问题，首先明确桥的长度等于河宽，是固定不变的，因此要使A到B的总路程最短，只需让除两座桥长度之外的其余路段长度之和最短即可。我们可以利用平移的思想，将点A、B分别向对应的河岸方向平移等于河宽的距离，把需要求的折线路径转化为两点之间的线段，利用“两点之间线段最短”确定桥的位置。
【解析】
1. 过点A作$AF ⊥ CM$，使AF的长度等于河宽5m；
2. 过点B作$BG ⊥ CN$，使BG的长度等于河宽5m；
3. 连接GF，线段GF与内侧河岸$C'M'$交于点$D'$，与内侧河岸$C'N'$交于点$E'$；
4. 过$D'$作$DD' ⊥ CM$，垂足为D，过$E'$作$EE' ⊥ CN$，垂足为E，则$DD'$、$EE'$即为所求的两座桥的位置。
原理：根据平移的性质可得$AD=FD'$，$BE=GE'$，总路程$=AD+DD'+D'E'+E'E+EB=FD'+5+D'E'+5+GE'=GF+10$，根据两点之间线段最短，GF长度为最小值，因此此时总路程最短。
【答案】
作$AF ⊥ CM$,且AF等于河宽,作$BG ⊥ CN$,且BG等于河宽,连接GF,与河岸$C'N'$,$C'M'$分别交于点$E'$,$D'$. 过点$D'$作$DD' ⊥ CM$于点D,过点$E'$作$E'E ⊥ CN$于点E,$DD'$,$EE'$即为桥的位置。（图略）
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题属于造桥选址类的最短路径应用问题，解题核心是通过平移将固定长度的桥的长度提前剥离，把复杂的折线最短问题转化为两点之间线段最短的基础模型，能很好地考查转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6