7. 如图,在$△ ABC$中,$P$是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线的交点.
(1)若$∠ A=80°$,求$∠ BPC$的度数.
(2)小明在解答(1)后得出$∠ BPC = 90° + \frac{1}{2}∠ A$的规律,你认为正确吗?请说明理由.

7. (1)$\because\quad$ 在$△ ABC$中,$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°,$
$\therefore\quad ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A.$
$\because\quad BP,CP$分别为$∠ ABC,∠ ACB$的平分线，
$\therefore\quad ∠ PBC+∠ PCB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=\dfrac{1}{2}×(180°-80°)=50°.$
$\because\quad$ 在$△ PBC$中,$∠ BPC + ∠ PBC + ∠ PCB = 180°,$
$\therefore\quad ∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180°-50°=130°.$
(2)正确. 理由如下：
$\because\quad$ 在$△ ABC$中,$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°,$
$\therefore\quad ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A.$
$\because\quad BP,CP$分别为$∠ ABC,∠ ACB$的平分线，
$\therefore\quad ∠ PBC+∠ PCB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A.$
$\because\quad$ 在$△ PBC$中,$∠ BPC+∠ PBC+∠ PCB=180°,$
$\therefore\quad ∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ A)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A.$

【分析】
本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的定义，得到△PBC中∠PBC与∠PCB的和；最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。
2. 第(2)问：将第(1)问中具体的∠A=80°替换为通用的∠A，按照和第(1)问相同的逻辑推导，即可验证规律是否成立。
【解析】
(1)
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$。
∵ $BP,CP$分别为$∠ ABC,∠ ACB$的平分线，
∴ $∠ PBC+∠ PCB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=\dfrac{1}{2}×(180°-80°)=50°$。
∵ 在$△ PBC$中，$∠ BPC + ∠ PBC + ∠ PCB = 180°$，
∴ $∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180°-50°=130°$。
(2)正确。理由如下：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$。
∵ $BP,CP$分别为$∠ ABC,∠ ACB$的平分线，
∴ $∠ PBC+∠ PCB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$。
∵ 在$△ PBC$中，$∠ BPC+∠ PBC+∠ PCB=180°$，
∴ $∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ A)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{130°}$；
(2) 正确，$∠ BPC = 90°+\dfrac{1}{2}∠ A$的规律成立。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题型，推导得出的“三角形两个内角平分线的夹角等于90°加第三个内角的一半”是常用几何结论，熟练掌握该结论可快速解决同类型角度计算问题，解题过程体现了从特殊到一般的推导逻辑。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在折纸活动中,小明制作了一张三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE所在直线折叠压平,使点A与点N重合.
(1)若∠B=35°,∠C=60°,求∠A的度数;
(2)若∠A=70°,求∠1+∠2的度数.

8. (1)$\because\quad ∠ B=35°,∠ C=60°,$
$\therefore\quad ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180°-35°-60°=85°.$
(2)$\because\quad ∠ A=70°,$
$\therefore\quad ∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A = 180°-70°=110°.$
$\because\quad △ ABC$沿着$DE$所在直线折叠压平,点$A$与点$N$重合，
$\therefore\quad ∠ NDE=∠ ADE,∠ NED=∠ AED.$
$\therefore\quad ∠ 1+∠ 2 = 180°-(∠ NED+∠ AED)+180°-(∠ NDE+∠ ADE)=360°-2(∠ ADE+∠ AED)=360°-2×110°=140°.$

【分析】
(1) 求解∠A的度数可直接利用三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，已知∠B和∠C的度数，用180°减去两个已知角的度数即可得到∠A的度数。
(2) 求解∠1+∠2的度数，首先根据折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即∠NDE=∠ADE、∠NED=∠AED；先在△ADE中利用三角形内角和求出∠ADE+∠AED的和，再结合平角为180°，可推导出∠1+∠2和∠ADE、∠AED的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because\quad ∠ B=35°,∠ C=60°$，三角形内角和为$180°$
$\therefore\quad ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180°-35°-60°=85°$
(2) $\because\quad ∠ A=70°$，在$△ ADE$中
$\therefore\quad ∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A = 180°-70°=110°$
$\because\quad △ ABC$沿着$DE$所在直线折叠压平，点$A$与点$N$重合
$\therefore\quad ∠ NDE=∠ ADE,∠ NED=∠ AED$
$\therefore\quad ∠ 1+∠ 2 = 180°-(∠ NED+∠ AED)+180°-(∠ NDE+∠ ADE)$
$=360°-2(∠ ADE+∠ AED)$
$=360°-2×110°$
$=140°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A=85°}$；(2) $\boldsymbol{∠1+∠2=140°}$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规基础题，核心考查三角形内角和以及折叠性质的应用，解题的关键是理清折叠前后角的等量关系，结合平角、三角形内角和的性质完成角度转化，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

9. 如图，AD平分$∠ BAC$，$∠ EAD = ∠ EDA$，点B，D，C，E在同一条直线上.
(1)求证$∠ EAC = ∠ B$；
(2)若$∠ B = 50°$，$∠ CAD : ∠ E = 1 : 3$，求$∠ E$的度数.

9. (1)$\because\quad AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore\quad ∠ BAD=∠ CAD.$
$\because\quad ∠ EDA$是$△ ABD$的外角，
$\therefore\quad ∠ EDA=∠ B+∠ BAD.$
又$\quad ∠ EAD=∠ EDA,$
$\therefore\quad ∠ EAC+∠ CAD=∠ B+∠ BAD.$
$\therefore\quad ∠ EAC=∠ B.$
(2)设$∠ CAD=x$,则$∠ E=3x.$
由(1)知$∠ EAC=∠ B=50°,$
$\therefore\quad ∠ EAD=∠ EDA=x+50°.$
$\because\quad ∠ E+∠ EAD+∠ EDA=180°,$
$\therefore\quad 3x+2(x+50°)=180°.$
解得$x=16°.$
$\therefore\quad 3x=48°,$即$∠ E=48°.$

【分析】
(1) 要证明∠EAC=∠B，首先利用角平分线定义得到∠BAD=∠CAD，再根据三角形外角性质得到∠EDA=∠B+∠BAD，结合已知∠EAD=∠EDA，将∠EAD拆分为∠EAC+∠CAD，代入后消去相等的∠BAD和∠CAD，即可推导得出结论。
(2) 已知∠CAD和∠E的比例关系，采用设未知数的方法简化计算，设∠CAD为x，则∠E为3x，结合(1)的结论可表示出∠EAD和∠EDA的度数，再根据三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠E的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD。
∵ ∠EDA是△ABD的外角，
∴ ∠EDA=∠B+∠BAD。
又
∵ ∠EAD=∠EDA，且∠EAD=∠EAC+∠CAD，
∴ ∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，
将∠BAD=∠CAD代入，可得∠EAC=∠B。
(2) 解：设∠CAD=x，则∠E=3x，
由(1)可知∠EAC=∠B=50°，
∴ ∠EAD=∠CAD+∠EAC=x+50°，
∵ ∠EAD=∠EDA，
∴ ∠EDA=x+50°，
在△ADE中，根据三角形内角和定理得：
∠E+∠EAD+∠EDA=180°，
即3x+2(x+50°)=180°，
解得x=16°，
∴ ∠E=3x=3×16°=48°。
【答案】
(1) 已证∠EAC=∠B；
(2) 48°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考察三角形角度关系的推导与计算，第一问需要理清角的和差关系，结合已知条件进行等量代换，第二问运用方程思想求解角度，是三角形角度问题的常见题型，熟练掌握角的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ ACB$的平分线交于点$O$,$D$是外角$∠ ACH$与内角$∠ ABC$的平分线的交点,$∠ BOC=120°$.
(1)求$∠ A$的度数;
(2)求$∠ D$的度数.

10. (1)$\because\quad ∠ BOC=120°,$
$\therefore\quad ∠ OBC+∠ OCB=60°.$
$\because\quad ∠ ABC,∠ ACB$的平分线交于点$O$,
$\therefore\quad ∠ ABC+∠ ACB=2∠ OBC+2∠ OCB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×60°=120°.$
$\therefore\quad ∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-120°=60°.$
(2)$\because\quad D$是外角$∠ ACH$与内角$∠ ABC$的平分线的交点，
$\therefore\quad ∠ DCH=\dfrac{1}{2}∠ ACH,∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC.$
$\because\quad ∠ DCH$是$△ DBC$的外角，
$\therefore\quad ∠ DCH=∠ D+∠ DBC.$
$\therefore\quad ∠ D=∠ DCH-∠ DBC=\dfrac{1}{2}(∠ ACH-∠ ABC)=\dfrac{1}{2}∠ A=\dfrac{1}{2}×60°=30°.$

【分析】
(1) 求解∠A的度数时，先在△BOC中利用三角形内角和定理算出∠OBC+∠OCB的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABC+∠ACB的总度数，最后在△ABC中再次运用三角形内角和定理即可求出∠A。
(2) 求解∠D的度数时，先根据角平分线定义得到∠DCH、∠DBC分别和∠ACH、∠ABC的数量关系，再利用三角形外角的性质，分别得到∠ACH和△ABC内角的关系、∠DCH和△DBC内角的关系，联立两个关系化简即可得出∠D和∠A的关联，代入∠A的度数计算即可。
【解析】
(1) 在△BOC中，三角形内角和为180°，已知∠BOC=120°，
$\therefore\quad ∠OBC+∠OCB=180°-120°=60°$。
$\because\quad ∠ABC,∠ACB$的平分线交于点$O$，
$\therefore\quad ∠ABC=2∠OBC$，$∠ACB=2∠OCB$，
$\therefore\quad ∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×60°=120°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$\therefore\quad ∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-120°=60°$。
(2) $\because\quad D$是外角$∠ACH$与内角$∠ABC$的平分线的交点，
$\therefore\quad ∠DCH=\dfrac{1}{2}∠ACH$，$∠DBC=\dfrac{1}{2}∠ABC$。
$\because\quad ∠ACH$是△ABC的外角，根据三角形外角性质可得$∠ACH=∠A+∠ABC$；
又$\because\quad ∠DCH$是△DBC的外角，同理可得$∠DCH=∠D+∠DBC$。
将角平分线关系代入∠DCH的表达式，得：
$∠D + \dfrac{1}{2}∠ABC = \dfrac{1}{2}(∠A + ∠ABC)$
化简后消去$\dfrac{1}{2}∠ABC$，
$\therefore\quad ∠D=\dfrac{1}{2}∠A=\dfrac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A=60°}$；(2) $\boldsymbol{∠D=30°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角关系的典型应用题，解题核心是熟练掌握三角形内角和、外角性质以及角平分线的定义，要注意挖掘角与角之间的和差、倍分关系，相关推导结论也可作为常用规律记忆，提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.7