1. 如图,在同一平面内,用若干根长度相等的火柴棒摆成的由等边三角形组成的图案:

(1)完成下表:

等边三角形的个数 1 2 3 4 … n
火柴棒的根数 3 5 7 9 …
(2)照此规律,当等边三角形的个数为26时,火柴棒的根数为;当火柴棒的根数为61时,等边三角形的个数为.

1.(1)2n+1 (2)53 30

【分析】
先观察已知的等边三角形个数与对应火柴棒根数的关系：1个三角形对应3根火柴棒，每增加1个等边三角形，火柴棒数量增加2根，属于固定增量的规律问题。先通过前几组数据推导通用的代数式，再将给定的数值代入代数式计算或列方程求解即可。
【解析】
(1) 分析已知数据：
当等边三角形个数$n=1$时，火柴棒根数$=3=2×1+1$；
当$n=2$时，火柴棒根数$=5=2×2+1$；
当$n=3$时，火柴棒根数$=7=2×3+1$；
当$n=4$时，火柴棒根数$=9=2×4+1$；
可归纳得出：$n$个等边三角形时，火柴棒的根数为$2n+1$。
(2) ①当等边三角形个数为26时，将$n=26$代入$2n+1$：
$2×26+1=52+1=53$；
②当火柴棒根数为61时，令$2n+1=61$，
解方程：$2n=61-1=60$，解得$n=30$。
【答案】
(1)$2n+1$；(2)$53$；$30$
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察图形增量特征总结通用表达式，既考察学生的观察归纳能力，也考察基础的代数计算能力，掌握找规律的通用思路（先看相邻项的差，再验证推导公式）即可轻松解题。
【难度系数】
0.7

2. 用6根火柴棒(同样长)搭成4个等边三角形,使每条边都等于1根火柴棒的长,请你想一想应该怎样搭?你搭出的图形属于我们学习的哪一类几何体?

2. 如图. 属于正三棱锥.

【分析】
解题时首先可以尝试在平面内搭建符合要求的图形：因为要求每个等边三角形的边长都是1根火柴棒的长度，平面内若拼这类等边三角形，每新增1个等边三角形至少需要新增2根火柴，6根火柴最多只能拼出2个符合要求的等边三角形，无法达到4个的要求，因此需要跳出平面思维，考虑空间立体结构：正三棱锥共有6条等长的棱，4个面都是全等的等边三角形，刚好可以用6根火柴作为棱搭建，满足所有要求。
【解析】
首先排除平面搭建的可能：6根等长火柴在平面内最多只能拼出2个边长为1根火柴长的等边三角形，无法得到4个符合要求的等边三角形。因此采用空间搭建的方式：将6根火柴分别作为正三棱锥的6条棱，搭建出正三棱锥，该图形的4个面均为边长等于1根火柴长的等边三角形，完全符合题目要求。
【答案】
如图。属于正三棱锥。
【知识点】
正三棱锥特征；立体图形认知；等边三角形性质
【点评】
本题需要打破平面思维的局限，从空间维度思考问题，能够有效锻炼空间想象能力，加深对立体图形构成的理解。
【难度系数】
0.3

3. 用6根长度相等的火柴棒搭等边三角形(大小可不同),最多能搭成多少个等边三角形?
试着摆一摆.

3. 如图,最多能搭成8个等边三角形.

【分析】
要搭出最多的等边三角形，核心思路是尽可能让每根火柴棒成为多个等边三角形的公共边，减少火柴棒的无效浪费。我们可以将6根等长火柴棒分成2组，每组3根分别拼成一个等边三角形，一个正放、一个倒放，中心重合交叉摆放，形成六角星图案后，再按从小到大的顺序有序计数三角形即可。
【解析】
1. 搭建基础图形：将6根火柴平均分成2组，每组3根分别拼成边长为1根火柴长度的等边三角形，一个正放，一个倒放。
2. 交叉摆放：把两个等边三角形中心重合交错放置，让每个三角形的三个顶点刚好落在另一个三角形的三条边上，得到图示的六角星图案。
3. 有序计数：
① 小等边三角形：图形六个角各有1个，共6个；
② 大等边三角形：最初搭建的正放、倒放的2个等边三角形。
总个数：$6+2=8$个。
【答案】
如图,最多能搭成8个等边三角形.
【知识点】
等边三角形特征，图形拼接，图形计数
【点评】
本题侧重考查动手操作能力和有序计数的思维，解题关键是通过公共边提升火柴棒的利用率，计数时按从小到大的顺序统计，能有效避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6

4. 用3根长度相等的火柴棒可以搭成1个等边三角形,你能用9根长度相等的火柴棒搭出5个等边三角形吗?

4. 如图.

【分析】
首先计算独立搭建5个等边三角形需要的火柴总数为3×5=15根，而题目仅提供9根火柴，因此必须让部分火柴棒同时作为多个等边三角形的公共边，以此减少火柴的使用量。我们可以先搭建边长为2根火柴的大等边三角形，再通过连接各边中点的方式补充火柴，就能得到符合要求的图形。
【解析】
1. 计算火柴需求差：若单独搭建5个等边三角形，共需火柴3×5=15根，现有9根，需节约15-9=6根火柴，即需要设置6根公共边（每根公共边可节约1根火柴）。
2. 搭建步骤：
（1）先用6根火柴搭建一个边长为2根火柴的大等边三角形，每条边由2根火柴拼接而成，共3条边，合计6根火柴；
（2）取大等边三角形三条边的中点，用剩余的3根火柴依次连接三个中点，此时总共使用6+3=9根火柴。
3. 验证：搭建完成后，图形包含4个边长为1根火柴的小等边三角形，和1个边长为2根火柴的大等边三角形，合计5个等边三角形，满足题目要求。
【答案】
如图.
【知识点】
等边三角形特征，图形拼接，公共边利用
【点评】
本题是趣味几何操作题，需要跳出独立搭建图形的固有思维，通过利用公共边减少耗材，能有效锻炼空间想象能力与动手实践能力。
【难度系数】
0.6

5. 在同一平面内,9根等长的磁力棒最多能搭个大小相同的等边三角形,在空间中,9根等长的磁力棒最多能搭个大小相同的等边三角形.

5.4 7

【分析】
解题时要遵循“尽量共用边/面减少磁力棒消耗”的思路分别分析平面和空间两种情况：
1. 平面内：单个等边三角形需3根棒，不共用边时9根仅能搭3个，要得到更多三角形，需构造共边最多的结构。优先考虑大等边三角形内加中位线的拼接方式，验证棒数和三角形数量即可。
2. 空间内：可利用立体结构进一步提升共面共边的效率，先回忆正四面体的特征：6条棱，4个等边三角形面，用掉6根棒后，剩余3根棒可再搭一个和原正四面体共面的正四面体，计算总三角形数即可。
【解析】
1. 同一平面内的情况：
若不共用边，9根磁力棒最多搭$9÷3=3$个等边三角形，要增加数量需尽量共用边。
构造边长为2根磁力棒的大等边三角形：三条边共消耗$3×2=6$根棒，连接大三角形的三条中位线，消耗3根棒，总棒数为$6+3=9$根。此时该结构内共有4个边长为1根磁力棒的大小相同的等边三角形，大于3个，因此平面内最多可搭4个。
2. 空间内的情况：
立体结构可实现共面进一步节省棒数：1个正四面体有4个等边三角形面，共6条棱（即消耗6根磁力棒）。剩余$9-6=3$根磁力棒，可拼接第二个正四面体，让第二个正四面体和第一个正四面体共用1个等边三角形面（该面的3根棒无需额外添加）。此时总等边三角形数量为两个正四面体的面数减去重复的1个共用面：$4+4-1=7$个，总棒数刚好为9根，因此空间内最多可搭7个。
【答案】
4；7
【知识点】
等边三角形的性质、正四面体的特征、最值拼接构造
【点评】
本题重点考查平面和空间下的图形拼接能力，核心是通过共用边、共用面减少耗材，需要学生具备一定的空间想象能力和动手尝试的构造思维。
【难度系数】
0.4

6. 四边形三角剖分后的三角形数量是个,五边形三角剖分后的三角形数量是个,六边形三角剖分后的三角形数量是个……任意n边形三角剖分后的三角形数量是个.

6.2 3 4 (n-2)

【分析】
解题时可采用从特殊到一般的归纳思路：首先明确多边形三角剖分的含义，即通过连接对角线将多边形分割为若干个无重叠的三角形，通常我们选择从多边形的一个顶点出发连接其余不相邻顶点完成剖分。先分别计算四边形、五边形、六边形的剖分结果，再观察数值与边数的关系，最终推导得到n边形的通用规律。
【解析】
1. 四边形：从任意一个顶点出发，和它不相邻的顶点共有$4-3=1$个，连接1条对角线，可将四边形剖分为2个三角形，即$4-2=2$个；
2. 五边形：从任意一个顶点出发，和它不相邻的顶点共有$5-3=2$个，连接2条对角线，可将五边形剖分为3个三角形，即$5-2=3$个；
3. 六边形：从任意一个顶点出发，和它不相邻的顶点共有$6-3=3$个，连接3条对角线，可将六边形剖分为4个三角形，即$6-2=4$个；
4. 推广到n边形：从n边形的任意一个顶点出发，可引出$(n-3)$条对角线，这些对角线将n边形剖分得到的三角形数量为$(n-2)$个。
【答案】
$2$；$3$；$4$；$(n-2)$
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；多边形三角剖分
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳思维能力，通过简单多边形的剖分结果推导一般规律，该结论也是推导多边形内角和公式的核心依据，需理解并牢记该规律。
【难度系数】
0.8

7. 将一个四边形进行三角剖分，有种剖分方法；将一个五边形进行三角剖分，有种剖分方法。

7.2 5

【分析】
首先明确多边形三角剖分的含义：在多边形内部连接若干条互不相交的对角线，将多边形完全分割为若干个三角形，我们可以通过分类枚举、不重不漏计数的方法求解。
1. 对于四边形：三角剖分时只能连1条互不相交的对角线，四边形共有2条对角线，每一条对应1种剖分，即可得出数量。
2. 对于五边形：我们可以按“含固定边的三角形”为分类标准枚举，比如固定含边AB的三角形的第三个顶点，分三类计算后相加，避免重复遗漏。
【解析】
首先明确三角剖分规则：连接的对角线不能相交，最终要把多边形全部分为三角形。
1. 四边形的三角剖分：
四边形共有2条对角线，剖分时只能选1条（选2条对角线会相交，不符合规则），因此共有2种剖分方法。
2. 五边形的三角剖分：
给五边形顶点按顺时针依次标为A、B、C、D、E，按包含边AB的三角形的第三个顶点分类：
① 第三个顶点为C：分割出△ABC，剩余部分为四边形ACDE，四边形的剖分有2种，对应2种方法；
② 第三个顶点为D：分割出△ABD，剩余部分为△BCD和△ADE，无需再剖分，对应1种方法；
③ 第三个顶点为E：分割出△ABE，剩余部分为四边形BCDE，四边形的剖分有2种，对应2种方法。
总共有2+1+2=5种剖分方法。
【答案】
2；5
【知识点】
多边形的对角线；分类计数法
【点评】
本题考查多边形对角线的应用和分类计数的思想，解题时要明确剖分规则，确定清晰的分类标准，做到计数不重复、不遗漏，即可准确得出结果。
【难度系数】
0.6

8. 过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，则这个多边形是（）

A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形

8. C

【分析】
要解决这道题，首先回忆多边形的核心规律：过n边形的任意一个顶点作所有对角线，可将这个n边形分成(n-2)个三角形。题目明确给出分成的三角形个数是4，我们只需要代入规律求出n的值，就能确定多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的边数为n，根据过n边形一个顶点作对角线分三角形的规律可知：
分成的三角形个数 = n - 2
已知分成4个三角形，代入得等式：
n - 2 = 4
解得n = 4 + 2 = 6，因此这个多边形是六边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线性质、多边形边数计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查多边形对角线的相关规律，牢记过n边形一个顶点的对角线可将多边形分为(n-2)个三角形这一结论，即可快速求解。
【难度系数】
0.8