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9. 将六边形ABCDEF用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形,那么各种不同的剖分方法种数是 (
A.6
B.8
C.12
D.14
D
)A.6
B.8
C.12
D.14
答案
9. D
解析
【分析】
要解决凸六边形剖分成4个互不重叠三角形的计数问题，我们采用分类讨论的思路：凸六边形的三角剖分需要用到3条互不相交的对角线，我们可以固定一个顶点，按该顶点参与组成的三角形的不同情况分类，分别计算每类的剖分方法数，再汇总得到总种数，枚举时注意避免重复和遗漏。
【解析】
我们以凸六边形ABCDEF的顶点A为固定点，按含顶点A的剖分三角形分类计算：
1. 若含A的三角形为△ABC，剩余待剖分图形为五边形ACDEF，五边形剖分成3个不重叠三角形共有5种方法；
2. 若含A的三角形为△ABD，对角线AD将六边形分为四边形ABCD和四边形ADEF，每个四边形剖分成2个三角形各有2种方法，共$2×2=4$种方法；
3. 若含A的三角形为△ABF，剩余待剖分图形为五边形BCDEF，五边形剖分成3个不重叠三角形共有5种方法；
将三类方法数相加：$5+4+5=14$种。
【答案】
D
【知识点】
多边形的对角线；图形剖分；分类讨论思想
【点评】
本题需要学生具备清晰的分类逻辑和空间想象能力，解题的核心是通过固定顶点拆分复杂的六边形剖分问题为更简单的四边形、五边形剖分问题，避免计数时的重复或遗漏。
【难度系数】
0.3
要解决凸六边形剖分成4个互不重叠三角形的计数问题，我们采用分类讨论的思路：凸六边形的三角剖分需要用到3条互不相交的对角线，我们可以固定一个顶点，按该顶点参与组成的三角形的不同情况分类，分别计算每类的剖分方法数，再汇总得到总种数，枚举时注意避免重复和遗漏。
【解析】
我们以凸六边形ABCDEF的顶点A为固定点，按含顶点A的剖分三角形分类计算：
1. 若含A的三角形为△ABC，剩余待剖分图形为五边形ACDEF，五边形剖分成3个不重叠三角形共有5种方法；
2. 若含A的三角形为△ABD，对角线AD将六边形分为四边形ABCD和四边形ADEF，每个四边形剖分成2个三角形各有2种方法，共$2×2=4$种方法；
3. 若含A的三角形为△ABF，剩余待剖分图形为五边形BCDEF，五边形剖分成3个不重叠三角形共有5种方法；
将三类方法数相加：$5+4+5=14$种。
【答案】
D
【知识点】
多边形的对角线；图形剖分；分类讨论思想
【点评】
本题需要学生具备清晰的分类逻辑和空间想象能力，解题的核心是通过固定顶点拆分复杂的六边形剖分问题为更简单的四边形、五边形剖分问题，避免计数时的重复或遗漏。
【难度系数】
0.3
10. 如图,某中学八年级数学课外兴趣小组在探究:“n边形(n＞3)共有多少条对角线”这一问题时,设计了如下表格,请在表格中的横线上填上相应的结果:
运用得到的结果解决以下问题:
(1)请试着归纳你所得到的一般性结论.
(2)十二边形有多少条对角线?
(3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2025吗?若能,请求出这个多边形的边数;若不能,请说明理由.
运用得到的结果解决以下问题:
(1)请试着归纳你所得到的一般性结论.
(2)十二边形有多少条对角线?
(3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2025吗?若能,请求出这个多边形的边数;若不能,请说明理由.
答案
10. 填表为:3 n-3 5 9 $\frac{1}{2}n(n-3)$
(1)过n边形的一个顶点有(n-3)条对角线,它们把n边形分割成了(n-2)个三角形,多边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$,等等.
(2)十二边形有54条对角线.
(3)能. 设这个多边形的边数为n.
$\because$ 过n边形的一个顶点有(n-3)条对角线,这些对角线分多边形所得的三角形个数为n-2.
$\therefore$ (n-3)+(n-2)=2 025. 解得n=1 015.
$\therefore$ 过1 015边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和是2 025.
(1)过n边形的一个顶点有(n-3)条对角线,它们把n边形分割成了(n-2)个三角形,多边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$,等等.
(2)十二边形有54条对角线.
(3)能. 设这个多边形的边数为n.
$\because$ 过n边形的一个顶点有(n-3)条对角线,这些对角线分多边形所得的三角形个数为n-2.
$\therefore$ (n-3)+(n-2)=2 025. 解得n=1 015.
$\therefore$ 过1 015边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和是2 025.
解析
【分析】
解决本题首先从多边形对角线的基础性质切入思考：①过n边形的一个顶点作对角线时，该顶点不能和自身、相邻的2个顶点连线，因此可连的对角线条数为n-3；②这些对角线将n边形分割出的三角形个数比对角线条数多1，即n-2；③计算总对角线时，每个顶点对应n-3条对角线，n个顶点共得到n(n-3)条，但每条对角线被2个顶点各计算1次，因此总条数要除以2，即$\frac{1}{2}n(n-3)$。
针对各小问的思路：(1)直接根据探究得到的数量关系归纳一般性结论即可；(2)将n=12代入总对角线公式计算即可；(3)先写出过一个顶点的对角线条数、分割出的三角形个数的表达式，令两者的和等于2025列方程求解，若解为大于3的正整数则存在这样的多边形，否则不存在。
【解析】
首先填写表格，结果依次为：3，$n-3$，5，9，$\frac{1}{2}n(n-3)$。
(1) 归纳一般性结论：
过$n$（$n＞3$）边形的一个顶点有$(n-3)$条对角线，这些对角线把$n$边形分割成$(n-2)$个三角形，$n$边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
(2) 计算十二边形的对角线条数：
将$n=12$代入总对角线公式，得
$\frac{1}{2} × 12 × (12-3) = 6 × 9 = 54$（条）
(3) 能，求解过程如下：
设这个多边形的边数为$n$（$n＞3$，且$n$为正整数）。
$\because$ 过$n$边形一个顶点的对角线条数为$n-3$，这些对角线分多边形所得的三角形个数为$n-2$，
$\therefore$ 根据题意列方程：
$(n-3)+(n-2)=2025$
整理得$2n-5=2025$，
解得$n=1015$。
$\because$ 1015是大于3的正整数，符合多边形边数的要求，因此存在这样的多边形。
【答案】
填表：$3$，$n-3$，$5$，$9$，$\frac{1}{2}n(n-3)$
(1) 过$n$（$n＞3$）边形的一个顶点有$(n-3)$条对角线，它们把$n$边形分割成了$(n-2)$个三角形，多边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$；
(2) $\boldsymbol{54}$条；
(3) 能，这个多边形的边数为$\boldsymbol{1015}$。
【知识点】
多边形的对角线，规律探究归纳，一元一次方程的应用
【点评】
本题以多边形对角线的规律探究为背景，既考查了从特殊到一般的归纳推理能力，又考查了规律应用和方程求解的能力，熟记多边形对角线的相关结论能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从多边形对角线的基础性质切入思考：①过n边形的一个顶点作对角线时，该顶点不能和自身、相邻的2个顶点连线，因此可连的对角线条数为n-3；②这些对角线将n边形分割出的三角形个数比对角线条数多1，即n-2；③计算总对角线时，每个顶点对应n-3条对角线，n个顶点共得到n(n-3)条，但每条对角线被2个顶点各计算1次，因此总条数要除以2，即$\frac{1}{2}n(n-3)$。
针对各小问的思路：(1)直接根据探究得到的数量关系归纳一般性结论即可；(2)将n=12代入总对角线公式计算即可；(3)先写出过一个顶点的对角线条数、分割出的三角形个数的表达式，令两者的和等于2025列方程求解，若解为大于3的正整数则存在这样的多边形，否则不存在。
【解析】
首先填写表格，结果依次为：3，$n-3$，5，9，$\frac{1}{2}n(n-3)$。
(1) 归纳一般性结论：
过$n$（$n＞3$）边形的一个顶点有$(n-3)$条对角线，这些对角线把$n$边形分割成$(n-2)$个三角形，$n$边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
(2) 计算十二边形的对角线条数：
将$n=12$代入总对角线公式，得
$\frac{1}{2} × 12 × (12-3) = 6 × 9 = 54$（条）
(3) 能，求解过程如下：
设这个多边形的边数为$n$（$n＞3$，且$n$为正整数）。
$\because$ 过$n$边形一个顶点的对角线条数为$n-3$，这些对角线分多边形所得的三角形个数为$n-2$，
$\therefore$ 根据题意列方程：
$(n-3)+(n-2)=2025$
整理得$2n-5=2025$，
解得$n=1015$。
$\because$ 1015是大于3的正整数，符合多边形边数的要求，因此存在这样的多边形。
【答案】
填表：$3$，$n-3$，$5$，$9$，$\frac{1}{2}n(n-3)$
(1) 过$n$（$n＞3$）边形的一个顶点有$(n-3)$条对角线，它们把$n$边形分割成了$(n-2)$个三角形，多边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$；
(2) $\boldsymbol{54}$条；
(3) 能，这个多边形的边数为$\boldsymbol{1015}$。
【知识点】
多边形的对角线，规律探究归纳，一元一次方程的应用
【点评】
本题以多边形对角线的规律探究为背景，既考查了从特殊到一般的归纳推理能力，又考查了规律应用和方程求解的能力，熟记多边形对角线的相关结论能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
