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1. 已知：函数$y=(m^2+m)x^{m^2-2m-1}+(m-3)x+m^2-11$是关于$x$的二次函数。
(1)求$m$的值；
(2)写出该函数的二次项系数、一次项系数及常数项。
(1)求$m$的值；
(2)写出该函数的二次项系数、一次项系数及常数项。
答案
1. (1)根据二次函数的定义得$\begin{cases}m^2-2m-1=2,\\m^2+m≠0.\end{cases}$ 由$m^2-2m-1=2$解得$m_1=-1$，$m_2=3$. 由$m^2+m≠0$解得$m≠-1$且$m≠0$，$\therefore m=3$.
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是$-2$.
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是$-2$.
解析
【分析】
解题首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的函数是二次函数，需同时满足两个条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。
第一问求$m$的值时，先根据$x$的次数为2列方程，再结合二次项系数不为0列不等式，联立两个条件即可筛选出符合要求的$m$；第二问将求得的$m$代入原函数化简，再分别识别对应项的系数即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件组：
$\begin{cases}m^2-2m-1=2 \quad \mathrm{（保证x的最高次数为2）}\\m^2+m≠0 \quad \mathrm{（保证二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2-2m-1=2$，移项整理得$m^2-2m-3=0$，因式分解为$(m-3)(m+1)=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=3$。
再解不等式$m^2+m≠0$，提取公因式得$m(m+1)≠0$，即$m≠-1$且$m≠0$。
联立两个条件，排除不符合的$m=-1$，因此$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数计算各项系数：
二次项系数为$m^2+m=3^2+3=12$；
一次项系数为$m-3=3-3=0$；
常数项为$m^2-11=3^2-11=-2$。
【答案】
(1) $m=3$；
(2) 二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是$-2$。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 函数项系数识别
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，直接将方程的解作为最终结果，牢记定义中的限制要求即可准确解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的函数是二次函数，需同时满足两个条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。
第一问求$m$的值时，先根据$x$的次数为2列方程，再结合二次项系数不为0列不等式，联立两个条件即可筛选出符合要求的$m$；第二问将求得的$m$代入原函数化简，再分别识别对应项的系数即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件组：
$\begin{cases}m^2-2m-1=2 \quad \mathrm{（保证x的最高次数为2）}\\m^2+m≠0 \quad \mathrm{（保证二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2-2m-1=2$，移项整理得$m^2-2m-3=0$，因式分解为$(m-3)(m+1)=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=3$。
再解不等式$m^2+m≠0$，提取公因式得$m(m+1)≠0$，即$m≠-1$且$m≠0$。
联立两个条件，排除不符合的$m=-1$，因此$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数计算各项系数：
二次项系数为$m^2+m=3^2+3=12$；
一次项系数为$m-3=3-3=0$；
常数项为$m^2-11=3^2-11=-2$。
【答案】
(1) $m=3$；
(2) 二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是$-2$。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 函数项系数识别
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，直接将方程的解作为最终结果，牢记定义中的限制要求即可准确解题。
【难度系数】
0.7
2. 圆柱的高为6，底面半径为r，底面周长为C，圆柱的体积为V.
(1)分别写出C关于r，V关于r，V关于C的函数解析式；
(2)以上三个函数中，哪些是二次函数？
(1)分别写出C关于r，V关于r，V关于C的函数解析式；
(2)以上三个函数中，哪些是二次函数？
答案
2. (1)
∵圆柱的底面半径为r，底面周长为C，$\therefore C=2π r$. 又
∵圆柱的高为6，底面半径为r，体积为V，$\therefore V=π r^2×6=6π r^2$. $\therefore V=π ×(\frac{C}{2π})^2×6=\frac{3C^2}{2π}$. 综上所述，C关于r，V关于r，V关于C的函数解析式分别是$C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$.
(2)根据二次函数的定义知，V关于r的函数$V=6π r^2$是二次函数，V关于C的函数$V=\frac{3C^2}{2π}$是二次函数.
∵圆柱的底面半径为r，底面周长为C，$\therefore C=2π r$. 又
∵圆柱的高为6，底面半径为r，体积为V，$\therefore V=π r^2×6=6π r^2$. $\therefore V=π ×(\frac{C}{2π})^2×6=\frac{3C^2}{2π}$. 综上所述，C关于r，V关于r，V关于C的函数解析式分别是$C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$.
(2)根据二次函数的定义知，V关于r的函数$V=6π r^2$是二次函数，V关于C的函数$V=\frac{3C^2}{2π}$是二次函数.
解析
【分析】
解题思路：(1) 推导函数解析式时，先调用基础几何公式：求C关于r的解析式直接使用圆的周长公式即可；求V关于r的解析式，将已知的底面半径r和高6代入圆柱体积公式计算即可；求V关于C的解析式时，先由周长公式用C表示出r，再代入圆柱体积公式消去变量r，整理即可得到对应解析式。(2) 判断二次函数时，对照二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，$a≠0$且a、b、c为常数），逐一验证三个函数即可。
【解析】
(1)
∵圆柱的底面是半径为r的圆，根据圆的周长公式可得：$\therefore C=2π r$。
又
∵圆柱的高为6，底面半径为r，根据圆柱体积=底面积×高，可得：$\therefore V=π r^2×6=6π r^2$。
由$C=2π r$变形得$r=\frac{C}{2π}$，将其代入$V=6π r^2$中可得：$\therefore V=π ×(\frac{C}{2π})^2×6=\frac{3C^2}{2π}$。
综上所述，C关于r，V关于r，V关于C的函数解析式分别是$C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$。
(2) 根据二次函数的定义判断：
$C=2π r$是一次函数；$V=6π r^2$符合二次函数的形式，是二次函数；$V=\frac{3C^2}{2π}$符合二次函数的形式，是二次函数。
【答案】
(1) $C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$；
(2) V关于r的函数$V=6π r^2$、V关于C的函数$V=\frac{3C^2}{2π}$是二次函数。
【知识点】
1. 圆的周长公式
2. 圆柱体积公式
3. 二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查基础几何公式的应用和二次函数的判定，解题的关键是熟练掌握相关公式，在推导V关于C的解析式时要注意变量替换的正确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1) 推导函数解析式时，先调用基础几何公式：求C关于r的解析式直接使用圆的周长公式即可；求V关于r的解析式，将已知的底面半径r和高6代入圆柱体积公式计算即可；求V关于C的解析式时，先由周长公式用C表示出r，再代入圆柱体积公式消去变量r，整理即可得到对应解析式。(2) 判断二次函数时，对照二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，$a≠0$且a、b、c为常数），逐一验证三个函数即可。
【解析】
(1)
∵圆柱的底面是半径为r的圆，根据圆的周长公式可得：$\therefore C=2π r$。
又
∵圆柱的高为6，底面半径为r，根据圆柱体积=底面积×高，可得：$\therefore V=π r^2×6=6π r^2$。
由$C=2π r$变形得$r=\frac{C}{2π}$，将其代入$V=6π r^2$中可得：$\therefore V=π ×(\frac{C}{2π})^2×6=\frac{3C^2}{2π}$。
综上所述，C关于r，V关于r，V关于C的函数解析式分别是$C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$。
(2) 根据二次函数的定义判断：
$C=2π r$是一次函数；$V=6π r^2$符合二次函数的形式，是二次函数；$V=\frac{3C^2}{2π}$符合二次函数的形式，是二次函数。
【答案】
(1) $C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$；
(2) V关于r的函数$V=6π r^2$、V关于C的函数$V=\frac{3C^2}{2π}$是二次函数。
【知识点】
1. 圆的周长公式
2. 圆柱体积公式
3. 二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查基础几何公式的应用和二次函数的判定，解题的关键是熟练掌握相关公式，在推导V关于C的解析式时要注意变量替换的正确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
