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3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，－1)，点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l₁，过点M作x轴的垂线l₂，记l₁，l₂的交点为P，改变点M的位置，可以得到相应的点P. 设点P的坐标是(x，y)，求y关于x的函数解析式. 
第3题
第3题答案
3. 如图，连接AP，过点A作$AN⊥PM$交于点N.
∵线段AM的垂直平分线为$l_1$，$\therefore AP=PM$.
∵点P的坐标是(x，y)，$\therefore PA=PM=-y$，$PN=-1-y$，$AN=x$. 在$\mathrm{Rt}△ APN$中，根据勾股定理得$AP^2=AN^2+PN^2$，$\therefore y^2=x^2+(-1-y)^2$，$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可得$AP=PM$，这是建立等量关系的核心。接下来要把$AP$、$PM$用含$x$、$y$的式子表示，由于$l_2$垂直$x$轴，过$A$作$AN$垂直$PM$可构造直角三角形，利用勾股定理列出关于$x$、$y$的等式，整理后即可得到$y$关于$x$的函数解析式。
【解析】
连接$AP$，过点$A$作$AN⊥PM$，交$PM$于点$N$。
∵$l_1$是线段$AM$的垂直平分线，点$P$在$l_1$上，
∴$AP=PM$。
已知点$P$的坐标为$(x,y)$，$l_2⊥x$轴，因此点$M$坐标为$(x,0)$，$PM$的长度为$0-y=-y$（长度为正，$y＜0$），即$AP=PM=-y$；
点$A$坐标为$(0,-1)$，则$AN=x$，$PN=-1-y$。
在$\mathrm{Rt}△APN$中，由勾股定理得：$AP^2=AN^2+PN^2$，
代入各边表达式得：$(-y)^2=x^2+(-1-y)^2$，
展开整理：$y^2=x^2+y^2+2y+1$，
消去$y^2$后移项得：$2y=-x^2-1$，
即$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$
【知识点】
垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到相等线段，再通过构造直角三角形，借助勾股定理建立变量间的等量关系，较好地考察了数形结合的思想和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可得$AP=PM$，这是建立等量关系的核心。接下来要把$AP$、$PM$用含$x$、$y$的式子表示，由于$l_2$垂直$x$轴，过$A$作$AN$垂直$PM$可构造直角三角形，利用勾股定理列出关于$x$、$y$的等式，整理后即可得到$y$关于$x$的函数解析式。
【解析】
连接$AP$，过点$A$作$AN⊥PM$，交$PM$于点$N$。
∵$l_1$是线段$AM$的垂直平分线，点$P$在$l_1$上，
∴$AP=PM$。
已知点$P$的坐标为$(x,y)$，$l_2⊥x$轴，因此点$M$坐标为$(x,0)$，$PM$的长度为$0-y=-y$（长度为正，$y＜0$），即$AP=PM=-y$；
点$A$坐标为$(0,-1)$，则$AN=x$，$PN=-1-y$。
在$\mathrm{Rt}△APN$中，由勾股定理得：$AP^2=AN^2+PN^2$，
代入各边表达式得：$(-y)^2=x^2+(-1-y)^2$，
展开整理：$y^2=x^2+y^2+2y+1$，
消去$y^2$后移项得：$2y=-x^2-1$，
即$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$
【知识点】
垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到相等线段，再通过构造直角三角形，借助勾股定理建立变量间的等量关系，较好地考察了数形结合的思想和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
