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4.某校图书馆共有8类图书，分别是文学类、科普类、自然科学类、社会科学类、艺术类、教育类、漫画类和哲学类。
(1)本周一、二年级共有85名学生借书，至少有多少人借同一类图书？
(2)本周三、四年级共有163名学生借书，那么一定有一个年级至少有41人在同一天借书。你同意这个观点吗？请说明理由。
(1)本周一、二年级共有85名学生借书，至少有多少人借同一类图书？
(2)本周三、四年级共有163名学生借书，那么一定有一个年级至少有41人在同一天借书。你同意这个观点吗？请说明理由。
答案
(1)85÷8=10(人)……5(人)
10+1=11(人)
(2)同意。理由如下：
163÷2=81(人)……1(人)
81+1=82(人)
82÷2=41(人)
10+1=11(人)
(2)同意。理由如下：
163÷2=81(人)……1(人)
81+1=82(人)
82÷2=41(人)
解析
【分析】
(1) 这是鸽巢原理的基础应用类题目，我们可以把8类图书看作8个“鸽巢”，85名借书的学生看作85个“待分物体”。要求至少有多少人借同一类图书，只需要先把85名学生平均分配到8类图书对应的“鸽巢”中，若计算有余数，那么至少数就等于商加1，按照这个思路计算即可。
(2) 解题首先要从借阅安排表中提取隐藏条件：三、四年级的可借书时间是周二、周五共2天，涉及三、四2个年级。我们先把163名学生分配到2个年级，求出人数较多的年级最少有多少人，再把这个年级的人数分配到2个借书日，就能判断观点是否正确。
【解析】
(1) 将8类图书当作8个鸽巢，85名学生对应85个待分物品：
首先平均分：$ 85÷8=10(\mathrm{人})\dots\dots5(\mathrm{人}) $，也就是平均每类图书有10人借阅时，还剩下5名学生没有分配。剩下的5名学生无论选择借阅哪类图书，对应类别的借阅人数都会增加1，因此至少有$ 10+1=11(\mathrm{人}) $借同一类图书。
(2) 同意这个观点，理由如下：
先将163名学生分配到三、四2个年级：$ 163÷2=81(\mathrm{人})\dots\dots1(\mathrm{人}) $，因此至少有一个年级的借阅人数不少于$ 81+1=82(\mathrm{人}) $。
三、四年级每周共有2天可以借书，将该年级的82人分配到2个借书日：$ 82÷2=41(\mathrm{人}) $，因此一定有一个年级至少有41人在同一天借书，观点成立。
【答案】
(1) 至少有11人借同一类图书。
(2) 同意。理由：$ 163÷2=81(\mathrm{人})\dots\dots1(\mathrm{人}) $，$ 81+1=82(\mathrm{人}) $，$ 82÷2=41(\mathrm{人}) $，因此一定有一个年级至少有41人在同一天借书。
【知识点】
鸽巢原理、有余数除法、逻辑推理
【点评】
本题结合校园借书的实际场景考查鸽巢原理的灵活应用，解题的核心是准确识别“鸽巢”和“待分物体”的数量，第二问需要结合借阅表提取隐藏条件，能有效锻炼学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 这是鸽巢原理的基础应用类题目，我们可以把8类图书看作8个“鸽巢”，85名借书的学生看作85个“待分物体”。要求至少有多少人借同一类图书，只需要先把85名学生平均分配到8类图书对应的“鸽巢”中，若计算有余数，那么至少数就等于商加1，按照这个思路计算即可。
(2) 解题首先要从借阅安排表中提取隐藏条件：三、四年级的可借书时间是周二、周五共2天，涉及三、四2个年级。我们先把163名学生分配到2个年级，求出人数较多的年级最少有多少人，再把这个年级的人数分配到2个借书日，就能判断观点是否正确。
【解析】
(1) 将8类图书当作8个鸽巢，85名学生对应85个待分物品：
首先平均分：$ 85÷8=10(\mathrm{人})\dots\dots5(\mathrm{人}) $，也就是平均每类图书有10人借阅时，还剩下5名学生没有分配。剩下的5名学生无论选择借阅哪类图书，对应类别的借阅人数都会增加1，因此至少有$ 10+1=11(\mathrm{人}) $借同一类图书。
(2) 同意这个观点，理由如下：
先将163名学生分配到三、四2个年级：$ 163÷2=81(\mathrm{人})\dots\dots1(\mathrm{人}) $，因此至少有一个年级的借阅人数不少于$ 81+1=82(\mathrm{人}) $。
三、四年级每周共有2天可以借书，将该年级的82人分配到2个借书日：$ 82÷2=41(\mathrm{人}) $，因此一定有一个年级至少有41人在同一天借书，观点成立。
【答案】
(1) 至少有11人借同一类图书。
(2) 同意。理由：$ 163÷2=81(\mathrm{人})\dots\dots1(\mathrm{人}) $，$ 81+1=82(\mathrm{人}) $，$ 82÷2=41(\mathrm{人}) $，因此一定有一个年级至少有41人在同一天借书。
【知识点】
鸽巢原理、有余数除法、逻辑推理
【点评】
本题结合校园借书的实际场景考查鸽巢原理的灵活应用，解题的核心是准确识别“鸽巢”和“待分物体”的数量，第二问需要结合借阅表提取隐藏条件，能有效锻炼学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
5. 提升题 一个盒子里装有规格完全相同的彩色铅笔，共有红、黄、蓝、绿4种颜色，每种颜色的铅笔各有8支。
(1)一次至少拿出(
(2)一次至少拿出(
(3)一次至少拿出(
(1)一次至少拿出(
5
)支铅笔，才能保证有2支铅笔是同一种颜色。(2)一次至少拿出(
9
)支铅笔，才能保证有3支铅笔是同一种颜色。(3)一次至少拿出(
25
)支铅笔，才能保证4种颜色的铅笔都有。答案
(1)5
(2)9
(3)25
(2)9
(3)25
解析
【分析】
这是典型的鸽巢问题（抽屉原理）题目，解题核心是用“最不利原则”：要保证达成某一结果，先考虑最倒霉、最不符合要求的情况，在此基础上再多拿1支，就一定能满足要求。
我们可以把4种颜色看作4个抽屉，铅笔看作放进抽屉的元素：
(1)要保证有2支同色，最不利的情况是先拿的4支刚好每种颜色各1支，此时再拿1支，不管是什么颜色，都能对应到已有1支的颜色，凑成2支同色；
(2)要保证有3支同色，最不利的情况是先拿的所有铅笔里，每种颜色最多只有2支，4种颜色共拿了4×2=8支，此时再拿1支，就一定能凑出某颜色3支；
(3)要保证4种颜色都有，最不利的情况是先把其中3种颜色的铅笔全部拿完，共拿了3×8=24支，此时剩下的全是第4种颜色，再拿1支就一定能凑齐4种颜色。
【解析】
我们用最不利原则逐一计算：
(1)最不利情况：先拿出4支，每种颜色各1支
至少拿出数量：$4 + 1 = 5$（支）
(2)最不利情况：先拿出8支，每种颜色各2支
至少拿出数量：$4×2 + 1 = 9$（支）
(3)最不利情况：先拿出24支，将3种颜色的8支全部拿完
至少拿出数量：$3×8 + 1 = 25$（支）
【答案】
(1)5
(2)9
(3)25
【知识点】
鸽巢问题（抽屉原理）、最不利原则
【点评】
本题是鸽巢原理的常见应用题型，解题关键是准确找到“最不利情况”，即刚好不满足要求的极端情况，在此基础上加1即可得到符合要求的最少数量，这类题型能有效锻炼逻辑推理和极端情况分析能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的鸽巢问题（抽屉原理）题目，解题核心是用“最不利原则”：要保证达成某一结果，先考虑最倒霉、最不符合要求的情况，在此基础上再多拿1支，就一定能满足要求。
我们可以把4种颜色看作4个抽屉，铅笔看作放进抽屉的元素：
(1)要保证有2支同色，最不利的情况是先拿的4支刚好每种颜色各1支，此时再拿1支，不管是什么颜色，都能对应到已有1支的颜色，凑成2支同色；
(2)要保证有3支同色，最不利的情况是先拿的所有铅笔里，每种颜色最多只有2支，4种颜色共拿了4×2=8支，此时再拿1支，就一定能凑出某颜色3支；
(3)要保证4种颜色都有，最不利的情况是先把其中3种颜色的铅笔全部拿完，共拿了3×8=24支，此时剩下的全是第4种颜色，再拿1支就一定能凑齐4种颜色。
【解析】
我们用最不利原则逐一计算：
(1)最不利情况：先拿出4支，每种颜色各1支
至少拿出数量：$4 + 1 = 5$（支）
(2)最不利情况：先拿出8支，每种颜色各2支
至少拿出数量：$4×2 + 1 = 9$（支）
(3)最不利情况：先拿出24支，将3种颜色的8支全部拿完
至少拿出数量：$3×8 + 1 = 25$（支）
【答案】
(1)5
(2)9
(3)25
【知识点】
鸽巢问题（抽屉原理）、最不利原则
【点评】
本题是鸽巢原理的常见应用题型，解题关键是准确找到“最不利情况”，即刚好不满足要求的极端情况，在此基础上加1即可得到符合要求的最少数量，这类题型能有效锻炼逻辑推理和极端情况分析能力。
【难度系数】
0.7
