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(1)小亮玩掷骰子游戏，掷一个骰子时，要保证这个骰子掷出的点数有2次是相同的，他至少应掷(
A.2
B.3
C.7
D.13
C
)次骰子。A.2
B.3
C.7
D.13
答案
C
解析
【分析】
这道题是鸽巢问题的典型应用，解题时首先要明确对应鸽巢问题里的“抽屉数”：一个骰子的点数有1~6共6种不同结果，就相当于6个抽屉。我们的目标是保证至少有2次点数相同，就要先考虑最不利的情况：前几次掷骰子每次的点数都不一样，也就是每个抽屉各放1个物品，这时再掷1次，不管掷出什么点数，都会出现有一个抽屉里有2个物品，也就是有2次点数相同。
【解析】
第一步：确定骰子的点数总共有6种不同的结果（1、2、3、4、5、6）。
第二步：考虑最不利的情况，前6次掷骰子刚好每个点数各出现1次，没有重复的点数。
第三步：此时再掷1次，得到的点数必然和前6次中的某一个点数重复，就能保证有2次点数相同。
总次数：$6+1=7$（次）
【答案】
C
【知识点】
鸽巢问题；最不利原则
【点评】
本题是鸽巢问题的基础应用，解题核心是先找准所有可能的不同结果数（即抽屉数），再结合最不利原则计算即可，掌握对应方法后很容易作答。
【难度系数】
0.7
这道题是鸽巢问题的典型应用，解题时首先要明确对应鸽巢问题里的“抽屉数”：一个骰子的点数有1~6共6种不同结果，就相当于6个抽屉。我们的目标是保证至少有2次点数相同，就要先考虑最不利的情况：前几次掷骰子每次的点数都不一样，也就是每个抽屉各放1个物品，这时再掷1次，不管掷出什么点数，都会出现有一个抽屉里有2个物品，也就是有2次点数相同。
【解析】
第一步：确定骰子的点数总共有6种不同的结果（1、2、3、4、5、6）。
第二步：考虑最不利的情况，前6次掷骰子刚好每个点数各出现1次，没有重复的点数。
第三步：此时再掷1次，得到的点数必然和前6次中的某一个点数重复，就能保证有2次点数相同。
总次数：$6+1=7$（次）
【答案】
C
【知识点】
鸽巢问题；最不利原则
【点评】
本题是鸽巢问题的基础应用，解题核心是先找准所有可能的不同结果数（即抽屉数），再结合最不利原则计算即可，掌握对应方法后很容易作答。
【难度系数】
0.7
(2)为装饰一个正方体纸盒，小亮准备在它的各个面涂上红色、黄色、绿色或蓝色的颜料(每面只涂一种颜色)，那么这个正方体纸盒至少有(
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
B
)个面的颜色是相同的。A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
这是一道鸽巢原理的基础应用题，解题时首先要明确“待分物体”和“鸽巢”分别是什么：正方体一共有6个面，对应要分配的6个待分物体；共有红、黄、绿、蓝4种颜色，对应4个鸽巢。按照最不利原则思考，我们先尽量让每种颜色涂的面数一样多，先平均分，再处理余下的面，就能得出至少有几个面颜色相同。
【解析】
首先确定已知条件：正方体总面数为6，可用的颜色种类为4种。
把4种颜色看作4个鸽巢，6个面看作6个待分的物品，用除法计算平均分的结果：
$6÷4 = 1$（个）$\dots\dots2$（个）
这说明如果每种颜色先各涂1个面，还剩下2个面没有涂色。剩下的2个面无论选择哪两种颜色涂色，都会让这两种颜色的面数各增加1，因此至少有$1+1=2$个面的颜色是相同的。
【答案】
B
【知识点】
鸽巢原理,正方体的特征
【点评】
本题是鸽巢原理的常见应用题型，解题的核心是准确区分待分配的物品数量和鸽巢数量，结合平均分的思路分析最不利的情况，就能顺利推导出结果。
【难度系数】
0.8
这是一道鸽巢原理的基础应用题，解题时首先要明确“待分物体”和“鸽巢”分别是什么：正方体一共有6个面，对应要分配的6个待分物体；共有红、黄、绿、蓝4种颜色，对应4个鸽巢。按照最不利原则思考，我们先尽量让每种颜色涂的面数一样多，先平均分，再处理余下的面，就能得出至少有几个面颜色相同。
【解析】
首先确定已知条件：正方体总面数为6，可用的颜色种类为4种。
把4种颜色看作4个鸽巢，6个面看作6个待分的物品，用除法计算平均分的结果：
$6÷4 = 1$（个）$\dots\dots2$（个）
这说明如果每种颜色先各涂1个面，还剩下2个面没有涂色。剩下的2个面无论选择哪两种颜色涂色，都会让这两种颜色的面数各增加1，因此至少有$1+1=2$个面的颜色是相同的。
【答案】
B
【知识点】
鸽巢原理,正方体的特征
【点评】
本题是鸽巢原理的常见应用题型，解题的核心是准确区分待分配的物品数量和鸽巢数量，结合平均分的思路分析最不利的情况，就能顺利推导出结果。
【难度系数】
0.8
(3)袋子里装有4个红球和2个蓝球，除颜色外，其余完全相同。如果闭着眼睛摸球，一次必须摸(
A.6
B.5
C.4
D.3
B
)个球，才能保证有2种颜色的球；一次必须摸(C
)个球，才能保证至少有2个红球。A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B、C
解析
【分析】
这道题属于鸽巢问题的应用，解题核心是用“最不利原则”思考：要保证满足某个条件，先考虑最倒霉、最不凑巧的情况，也就是刚好不满足条件的最多情况，在此基础上再多取1个，就一定能满足要求。
第一个问题要保证摸出2种颜色的球，最倒霉的情况是先把数量更多的同色球全部摸出，也就是先摸完所有红球，这时再摸1个就一定是蓝球，就能保证有2种颜色。
第二个问题要保证至少有2个红球，最倒霉的情况是先把所有非红球（蓝球）全部摸出，再只摸出1个红球，这时还是不满足“至少2个红球”的要求，再多摸1个就一定是红球，就能满足条件。
【解析】
1. 计算保证有2种颜色的最少摸球数：
袋子里红球数量更多，共4个，最不利情况是先摸出4个全是红球，此时再摸1个只能是蓝球，总摸球数为：$4+1=5$（个），对应选项B。
2. 计算保证至少有2个红球的最少摸球数：
袋子里蓝球共2个，最不利情况是先摸出2个全是蓝球，接下来最多再摸1个红球还是不满足“至少2个红球”的要求，此时再摸1个就一定是红球，总摸球数为：$2+1+1=4$（个），对应选项C。
【答案】
B、C
【知识点】
鸽巢问题、最不利原则
【点评】
这道题是鸽巢问题的基础典型题，解题关键是牢记“保证”类问题要从最坏情况出发推导，不要仅考虑偶然的幸运情况，掌握最不利原则就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
这道题属于鸽巢问题的应用，解题核心是用“最不利原则”思考：要保证满足某个条件，先考虑最倒霉、最不凑巧的情况，也就是刚好不满足条件的最多情况，在此基础上再多取1个，就一定能满足要求。
第一个问题要保证摸出2种颜色的球，最倒霉的情况是先把数量更多的同色球全部摸出，也就是先摸完所有红球，这时再摸1个就一定是蓝球，就能保证有2种颜色。
第二个问题要保证至少有2个红球，最倒霉的情况是先把所有非红球（蓝球）全部摸出，再只摸出1个红球，这时还是不满足“至少2个红球”的要求，再多摸1个就一定是红球，就能满足条件。
【解析】
1. 计算保证有2种颜色的最少摸球数：
袋子里红球数量更多，共4个，最不利情况是先摸出4个全是红球，此时再摸1个只能是蓝球，总摸球数为：$4+1=5$（个），对应选项B。
2. 计算保证至少有2个红球的最少摸球数：
袋子里蓝球共2个，最不利情况是先摸出2个全是蓝球，接下来最多再摸1个红球还是不满足“至少2个红球”的要求，此时再摸1个就一定是红球，总摸球数为：$2+1+1=4$（个），对应选项C。
【答案】
B、C
【知识点】
鸽巢问题、最不利原则
【点评】
这道题是鸽巢问题的基础典型题，解题关键是牢记“保证”类问题要从最坏情况出发推导，不要仅考虑偶然的幸运情况，掌握最不利原则就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
(4)刘老师把150张明信片分给班上的学生，不管怎么分，总有人至少分到4张。这个班最多有(
A.51
B.48
C.50
D.49
D
)名学生。A.51
B.48
C.50
D.49
答案
D
解析
【分析】
这是鸽巢原理的逆应用题型，解题时要先考虑最不利的分配情况：要保证不管怎么分都有人至少分到4张，最坏的情况是尽可能让所有人都只分到3张，此时如果总明信片数还有剩余，剩余的不管分给谁，都会有人得到4张。我们需要找到最多的学生人数，使得按每人3张分后还有剩余，若人数再多1个，就会出现可以每人分3张刚好分完、没有人得到4张的情况，不符合题目要求。
【解析】
要保证总有人至少分到4张，先按最不利情况，每人先分3张：
每人最多分3张时，若刚好分完150张，学生人数为 $150÷(4-1)=50$（名）
但此时每人都只有3张，不符合“总有人至少分到4张”的要求，因此学生人数要比50少1：
$50-1=49$（名）
验证：49名学生时，每人分3张共需要 $49×3=147$（张），剩余 $150-147=3$（张），这3张不管分给哪几个学生，都会有学生至少分到4张，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
鸽巢原理、最不利原则
【点评】
本题是鸽巢问题的常见逆推题型，解题核心是先从最不利的分配情况入手分析，注意如果总数量除以（最少分得的数量-1）刚好整除时，需要将结果减1才是符合要求的最大人数，避免因忽略整除的特殊情况选错答案。
【难度系数】
0.6
这是鸽巢原理的逆应用题型，解题时要先考虑最不利的分配情况：要保证不管怎么分都有人至少分到4张，最坏的情况是尽可能让所有人都只分到3张，此时如果总明信片数还有剩余，剩余的不管分给谁，都会有人得到4张。我们需要找到最多的学生人数，使得按每人3张分后还有剩余，若人数再多1个，就会出现可以每人分3张刚好分完、没有人得到4张的情况，不符合题目要求。
【解析】
要保证总有人至少分到4张，先按最不利情况，每人先分3张：
每人最多分3张时，若刚好分完150张，学生人数为 $150÷(4-1)=50$（名）
但此时每人都只有3张，不符合“总有人至少分到4张”的要求，因此学生人数要比50少1：
$50-1=49$（名）
验证：49名学生时，每人分3张共需要 $49×3=147$（张），剩余 $150-147=3$（张），这3张不管分给哪几个学生，都会有学生至少分到4张，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
鸽巢原理、最不利原则
【点评】
本题是鸽巢问题的常见逆推题型，解题核心是先从最不利的分配情况入手分析，注意如果总数量除以（最少分得的数量-1）刚好整除时，需要将结果减1才是符合要求的最大人数，避免因忽略整除的特殊情况选错答案。
【难度系数】
0.6
(5)一副扑克牌共54张，去掉大、小王后再抽牌，至少要抽出(
A.5
B.39
C.13
D.40
C
)张牌，才能保证抽出的牌中一定有4张牌的花色相同。A.5
B.39
C.13
D.40
答案
C
解析
【分析】
这是典型的鸽巢问题，需用最不利原则解题：首先明确去掉大小王后扑克牌共有4种花色；要保证抽出的牌一定有4张花色相同，先考虑最倒霉的情况：每种花色都先抽到3张，此时还没满足条件，只要再抽1张，不管抽到的是哪种花色，都会有一种花色的数量达到4张，据此列式计算即可。
【解析】
解：去掉大、小王后，扑克牌共有4种花色。
按照最不利原则，先每种花色各抽3张，一共抽了：$4×3=12$（张）
此时再任意抽1张，必然会有一种花色的牌达到4张，因此至少要抽出：$12+1=13$（张）
故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
鸽巢原理，最不利原则
【点评】
本题是鸽巢问题的常规应用题型，核心考查最不利原则的使用方法，只要掌握“先算最坏情况再加1”的解题逻辑，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
这是典型的鸽巢问题，需用最不利原则解题：首先明确去掉大小王后扑克牌共有4种花色；要保证抽出的牌一定有4张花色相同，先考虑最倒霉的情况：每种花色都先抽到3张，此时还没满足条件，只要再抽1张，不管抽到的是哪种花色，都会有一种花色的数量达到4张，据此列式计算即可。
【解析】
解：去掉大、小王后，扑克牌共有4种花色。
按照最不利原则，先每种花色各抽3张，一共抽了：$4×3=12$（张）
此时再任意抽1张，必然会有一种花色的牌达到4张，因此至少要抽出：$12+1=13$（张）
故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
鸽巢原理，最不利原则
【点评】
本题是鸽巢问题的常规应用题型，核心考查最不利原则的使用方法，只要掌握“先算最坏情况再加1”的解题逻辑，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
2. 不透明的盒子里装有若干个一模一样的小球。要想一次摸出的球一定有2个不同的号码，那么一次至少要摸几个球？连一连。
答案
解析
【分析】
本题应用鸽巢原理的最不利原则解题：要保证一次摸出的球一定有2个不同号码，需先考虑最不利的情况——先把盒子中数量最多的同号码球全部摸出，此时再摸1个球，一定是其他号码，即可满足要求。因此至少摸球个数=盒子内相同号码的最大数量+1。我们逐个分析三个盒子：
1. 第一个盒子内所有号码均不重复，相同号码的最大数量是1；
2. 第二个盒子内相同号码的最大数量是2（号码1、2、3都各有2个）；
3. 第三个盒子内相同号码的最大数量是3（号码4有3个）。
【解析】
根据上述分析计算每个盒子至少摸球的数量：
1. 第一个盒子：$1+1=2$（个），对应“至少要摸2个球”；
2. 第二个盒子：$2+1=3$（个），对应“至少要摸3个球”；
3. 第三个盒子：$3+1=4$（个），对应“至少要摸4个球”。
按照对应关系完成连线即可。
【答案】
【知识点】
鸽巢问题、最不利原则
【点评】
本题属于鸽巢原理的基础应用题型，解题核心是掌握最不利原则的思考逻辑，先明确最坏的情况，再推导满足条件的最少值，解题时需准确统计每个盒子内重复次数最多的号码数量，避免数错重复数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题应用鸽巢原理的最不利原则解题：要保证一次摸出的球一定有2个不同号码，需先考虑最不利的情况——先把盒子中数量最多的同号码球全部摸出，此时再摸1个球，一定是其他号码，即可满足要求。因此至少摸球个数=盒子内相同号码的最大数量+1。我们逐个分析三个盒子：
1. 第一个盒子内所有号码均不重复，相同号码的最大数量是1；
2. 第二个盒子内相同号码的最大数量是2（号码1、2、3都各有2个）；
3. 第三个盒子内相同号码的最大数量是3（号码4有3个）。
【解析】
根据上述分析计算每个盒子至少摸球的数量：
1. 第一个盒子：$1+1=2$（个），对应“至少要摸2个球”；
2. 第二个盒子：$2+1=3$（个），对应“至少要摸3个球”；
3. 第三个盒子：$3+1=4$（个），对应“至少要摸4个球”。
按照对应关系完成连线即可。
【答案】
【知识点】
鸽巢问题、最不利原则
【点评】
本题属于鸽巢原理的基础应用题型，解题核心是掌握最不利原则的思考逻辑，先明确最坏的情况，再推导满足条件的最少值，解题时需准确统计每个盒子内重复次数最多的号码数量，避免数错重复数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3.南昌以其青春活力、烟火气息和深厚的文化底蕴,吸引了众多外地游客。这个周末,小张和他的12名同学一起来到南昌游玩,他们明天上午准备从以下四个景点中选择两个景点游玩。
(1)他们明天上午有几种游玩方案?
(2)如果每个人都选择一个自己最喜欢的方案,那么至少有几人选择的是同一方案?
(1)他们明天上午有几种游玩方案?
(2)如果每个人都选择一个自己最喜欢的方案,那么至少有几人选择的是同一方案?
答案
(1)他们明天上午有以下六种游玩方案：
①滕王阁＋八一起义纪念馆
②滕王阁＋万寿宫历史文化街区
③滕王阁＋南昌舰主题园
④八一起义纪念馆＋万寿宫历史文化街区
⑤八一起义纪念馆＋南昌舰主题园
⑥万寿宫历史文化街区＋南昌舰主题园
(2)(12+1)÷6=2(人)……1(人)
2+1=3(人)
①滕王阁＋八一起义纪念馆
②滕王阁＋万寿宫历史文化街区
③滕王阁＋南昌舰主题园
④八一起义纪念馆＋万寿宫历史文化街区
⑤八一起义纪念馆＋南昌舰主题园
⑥万寿宫历史文化街区＋南昌舰主题园
(2)(12+1)÷6=2(人)……1(人)
2+1=3(人)
解析
【分析】
（1）第一问是求从4个景点中选2个的组合数，因为选择两个景点游玩不考虑先后顺序，所以可以按有序枚举的方式计算，避免重复和遗漏：先固定第一个景点，和剩下3个景点分别组合，再固定第二个景点，和剩下2个未搭配过的景点组合，最后固定第三个景点，和最后1个景点组合，相加可得总方案数。
（2）第二问属于鸽巢问题，首先要先算出总人数：小张加12名同学共13人，把6种游玩方案看作6个“抽屉”，13个人看作13个“物品”，将物品平均放进抽屉，若有余数，则商加1就是至少选择同一方案的人数。
【解析】
（1）按顺序枚举所有两个景点的组合：
先选滕王阁，可搭配另外3个景点，得到3种方案；再选八一起义纪念馆，和除滕王阁外剩下2个景点搭配，得到2种方案；最后选万寿宫历史文化街区，和剩下的南昌舰主题园搭配，得到1种方案。总方案数为3+2+1=6种。
（2）第一步计算总人数：小张和12名同学，总人数为1+12=13人。
第二步运用鸽巢原理计算：把6种方案当作6个抽屉，将13人平均分配到6个抽屉中，$13÷6=2$（人）$\dots\dots1$（人），每个抽屉先放2人，剩余1人无论放入哪个抽屉，该抽屉的人数就为$2+1=3$人。
【答案】
(1)他们明天上午有以下六种游玩方案：
①滕王阁＋八一起义纪念馆
②滕王阁＋万寿宫历史文化街区
③滕王阁＋南昌舰主题园
④八一起义纪念馆＋万寿宫历史文化街区
⑤八一起义纪念馆＋南昌舰主题园
⑥万寿宫历史文化街区＋南昌舰主题园
(2)(12+1)÷6=2(人)……1(人)
2+1=3(人)
【知识点】
组合计数，鸽巢原理
【点评】
本题结合日常出游的真实场景命题，既考查了有序计数、避免重复遗漏的能力，又考查了鸽巢原理的实际应用，能有效锻炼学生用数学知识解决生活实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是求从4个景点中选2个的组合数，因为选择两个景点游玩不考虑先后顺序，所以可以按有序枚举的方式计算，避免重复和遗漏：先固定第一个景点，和剩下3个景点分别组合，再固定第二个景点，和剩下2个未搭配过的景点组合，最后固定第三个景点，和最后1个景点组合，相加可得总方案数。
（2）第二问属于鸽巢问题，首先要先算出总人数：小张加12名同学共13人，把6种游玩方案看作6个“抽屉”，13个人看作13个“物品”，将物品平均放进抽屉，若有余数，则商加1就是至少选择同一方案的人数。
【解析】
（1）按顺序枚举所有两个景点的组合：
先选滕王阁，可搭配另外3个景点，得到3种方案；再选八一起义纪念馆，和除滕王阁外剩下2个景点搭配，得到2种方案；最后选万寿宫历史文化街区，和剩下的南昌舰主题园搭配，得到1种方案。总方案数为3+2+1=6种。
（2）第一步计算总人数：小张和12名同学，总人数为1+12=13人。
第二步运用鸽巢原理计算：把6种方案当作6个抽屉，将13人平均分配到6个抽屉中，$13÷6=2$（人）$\dots\dots1$（人），每个抽屉先放2人，剩余1人无论放入哪个抽屉，该抽屉的人数就为$2+1=3$人。
【答案】
(1)他们明天上午有以下六种游玩方案：
①滕王阁＋八一起义纪念馆
②滕王阁＋万寿宫历史文化街区
③滕王阁＋南昌舰主题园
④八一起义纪念馆＋万寿宫历史文化街区
⑤八一起义纪念馆＋南昌舰主题园
⑥万寿宫历史文化街区＋南昌舰主题园
(2)(12+1)÷6=2(人)……1(人)
2+1=3(人)
【知识点】
组合计数，鸽巢原理
【点评】
本题结合日常出游的真实场景命题，既考查了有序计数、避免重复遗漏的能力，又考查了鸽巢原理的实际应用，能有效锻炼学生用数学知识解决生活实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
