登录
17.美术课上，欣欣在边长是8 cm的正方形中设计了一个图案。求涂色部分的面积。
答案
8÷2=4(cm)
2×3.14×4×4 = 100.48(cm²)
8×8 = 64(cm²)
100.48 - 64 = 36.48(cm²)
答：涂色部分的面积是36.48平方厘米。
2×3.14×4×4 = 100.48(cm²)
8×8 = 64(cm²)
100.48 - 64 = 36.48(cm²)
答：涂色部分的面积是36.48平方厘米。
解析
【分析】
观察图形可知，涂色部分是4个半圆两两重叠形成的花瓣形，直接拆分计算单个花瓣面积较复杂。我们可以用整体法思考：4个直径等于正方形边长的半圆可以拼成2个完整的圆，2个圆的总面积中，空白部分被计算1次，涂色部分被重复计算了2次，用2个圆的总面积减去正方形的面积，刚好可以得到多算的1次涂色部分的面积。
【解析】
首先计算半圆的半径：
8÷2=4(cm)
再计算2个整圆的总面积（即4个半圆的面积和）：
2×3.14×4×4 = 100.48(cm²)
然后计算正方形的面积：
8×8 = 64(cm²)
最后计算涂色部分面积：
100.48 - 64 = 36.48(cm²)
答：涂色部分的面积是36.48平方厘米。
【答案】
36.48平方厘米
【知识点】
圆的面积计算、正方形面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题是典型的利用容斥原理求解组合图形面积的题目，解题关键是观察出不规则阴影与规则图形的面积关系，将复杂的拆分计算转化为简单的规则图形面积差计算，大幅简化解题过程。
【难度系数】
0.6
观察图形可知，涂色部分是4个半圆两两重叠形成的花瓣形，直接拆分计算单个花瓣面积较复杂。我们可以用整体法思考：4个直径等于正方形边长的半圆可以拼成2个完整的圆，2个圆的总面积中，空白部分被计算1次，涂色部分被重复计算了2次，用2个圆的总面积减去正方形的面积，刚好可以得到多算的1次涂色部分的面积。
【解析】
首先计算半圆的半径：
8÷2=4(cm)
再计算2个整圆的总面积（即4个半圆的面积和）：
2×3.14×4×4 = 100.48(cm²)
然后计算正方形的面积：
8×8 = 64(cm²)
最后计算涂色部分面积：
100.48 - 64 = 36.48(cm²)
答：涂色部分的面积是36.48平方厘米。
【答案】
36.48平方厘米
【知识点】
圆的面积计算、正方形面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题是典型的利用容斥原理求解组合图形面积的题目，解题关键是观察出不规则阴影与规则图形的面积关系，将复杂的拆分计算转化为简单的规则图形面积差计算，大幅简化解题过程。
【难度系数】
0.6
三、解决问题
18.六一儿童节这天,正好是亮亮的10岁生日,他请同学们到家里聚餐。他家的餐桌是直径为1.8 m的圆形餐桌,如果每隔0.5 m坐1个人,那么这张圆形餐桌大约能坐多少人?
18.六一儿童节这天,正好是亮亮的10岁生日,他请同学们到家里聚餐。他家的餐桌是直径为1.8 m的圆形餐桌,如果每隔0.5 m坐1个人,那么这张圆形餐桌大约能坐多少人?
答案
3.14×1.8 = 5.652（m）
5.652÷0.5 ≈ 11（人）
答：这张圆形餐桌大约能坐11人。
5.652÷0.5 ≈ 11（人）
答：这张圆形餐桌大约能坐11人。
解析
【分析】
这是结合生活场景的封闭路线间隔类问题，解题思路如下：首先，在圆形餐桌周围坐人属于封闭图形的间隔问题，坐的总人数等于间隔总数；其次，需要先利用圆的周长公式计算出餐桌的周长，也就是总间隔长度；最后用总长度除以每个间隔的距离得到间隔数，结合实际情况，不够一个完整间隔的位置无法坐人，结果要取整数。
【解析】
第一步：计算圆形餐桌的周长，根据圆的周长公式$C=π d$（$π$取3.14，$d$为圆的直径），代入数据得：
$3.14×1.8=5.652(\mathrm{m})$
第二步：计算可坐人数，每隔0.5m坐1人，封闭图形中人数等于间隔数，用周长除以间隔长度：
$5.652÷0.5\approx11(\mathrm{人})$
剩余长度不足0.5m，无法再坐1人，因此直接保留整数部分即可。
【答案】
这张圆形餐桌大约能坐11人
【知识点】
圆的周长计算、封闭图形间隔问题、近似数实际应用
【点评】
本题贴近生活场景，既考查了基础公式的运用，也要求学生结合实际情况判断近似值的取法，不要死板套用四舍五入规则。
【难度系数】
0.7
这是结合生活场景的封闭路线间隔类问题，解题思路如下：首先，在圆形餐桌周围坐人属于封闭图形的间隔问题，坐的总人数等于间隔总数；其次，需要先利用圆的周长公式计算出餐桌的周长，也就是总间隔长度；最后用总长度除以每个间隔的距离得到间隔数，结合实际情况，不够一个完整间隔的位置无法坐人，结果要取整数。
【解析】
第一步：计算圆形餐桌的周长，根据圆的周长公式$C=π d$（$π$取3.14，$d$为圆的直径），代入数据得：
$3.14×1.8=5.652(\mathrm{m})$
第二步：计算可坐人数，每隔0.5m坐1人，封闭图形中人数等于间隔数，用周长除以间隔长度：
$5.652÷0.5\approx11(\mathrm{人})$
剩余长度不足0.5m，无法再坐1人，因此直接保留整数部分即可。
【答案】
这张圆形餐桌大约能坐11人
【知识点】
圆的周长计算、封闭图形间隔问题、近似数实际应用
【点评】
本题贴近生活场景，既考查了基础公式的运用，也要求学生结合实际情况判断近似值的取法，不要死板套用四舍五入规则。
【难度系数】
0.7
19.体育公园的中心有一个直径为10 m的圆形喷水池,现要在喷水池的周围新建宽为3 m的花圃。
(1)花圃的面积是多少平方米?
(2)刘叔叔要沿着花圃的外侧另修一圈栅栏,他每分钟可以修2 m,修完这些栅栏至少需要多长时间?
(得数保留整数)
(1)花圃的面积是多少平方米?
(2)刘叔叔要沿着花圃的外侧另修一圈栅栏,他每分钟可以修2 m,修完这些栅栏至少需要多长时间?
(得数保留整数)
答案
(1)
10÷2=5(m)
5+3=8(m)
3.14×8² - 3.14×5² = 122.46(m²)
(2)
2×3.14×8 = 50.24(m)
50.24÷2 ≈ 26(分钟)
答：花圃的面积是122.46平方米，修完这些栅栏至少需要26分钟。
10÷2=5(m)
5+3=8(m)
3.14×8² - 3.14×5² = 122.46(m²)
(2)
2×3.14×8 = 50.24(m)
50.24÷2 ≈ 26(分钟)
答：花圃的面积是122.46平方米，修完这些栅栏至少需要26分钟。
解析
【分析】
(1) 花圃是围绕喷水池的环形区域，求花圃面积本质是求圆环的面积，圆环面积=外圆面积-内圆面积。首先根据喷水池的直径算出内圆半径，再加花圃的宽度得到外圆半径，最后代入圆环面积公式计算即可。
(2) 沿着花圃外侧修栅栏，栅栏的总长度就是外圆的周长，先根据圆的周长公式算出外圆周长，再用总长度除以每分钟修的长度得到所需时间，结合实际修完栅栏的需求，结果要用进一法保留整数。
【解析】
(1) 计算喷水池的内圆半径：
$10÷2=5(\mathrm{m})$
计算包含花圃的外圆半径：
$5+3=8(\mathrm{m})$
根据圆环面积公式计算花圃面积：
$3.14×8^2 - 3.14×5^2 = 3.14×(64-25) = 3.14×39 = 122.46(\mathrm{m}^2)$
(2) 计算花圃外侧即外圆的周长：
$2×3.14×8 = 50.24(\mathrm{m})$
计算修栅栏需要的时间：
$50.24÷2 ≈ 26(\mathrm{分钟})$
【答案】
(1) 花圃的面积是122.46平方米；(2) 修完这些栅栏至少需要26分钟。
【知识点】
圆环面积计算、圆的周长计算、近似数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景设题，重点考察圆相关公式的灵活运用能力，解题的核心是准确判断所求量对应的圆的参数，同时要注意结合实际需求对计算结果取合适的近似值，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 花圃是围绕喷水池的环形区域，求花圃面积本质是求圆环的面积，圆环面积=外圆面积-内圆面积。首先根据喷水池的直径算出内圆半径，再加花圃的宽度得到外圆半径，最后代入圆环面积公式计算即可。
(2) 沿着花圃外侧修栅栏，栅栏的总长度就是外圆的周长，先根据圆的周长公式算出外圆周长，再用总长度除以每分钟修的长度得到所需时间，结合实际修完栅栏的需求，结果要用进一法保留整数。
【解析】
(1) 计算喷水池的内圆半径：
$10÷2=5(\mathrm{m})$
计算包含花圃的外圆半径：
$5+3=8(\mathrm{m})$
根据圆环面积公式计算花圃面积：
$3.14×8^2 - 3.14×5^2 = 3.14×(64-25) = 3.14×39 = 122.46(\mathrm{m}^2)$
(2) 计算花圃外侧即外圆的周长：
$2×3.14×8 = 50.24(\mathrm{m})$
计算修栅栏需要的时间：
$50.24÷2 ≈ 26(\mathrm{分钟})$
【答案】
(1) 花圃的面积是122.46平方米；(2) 修完这些栅栏至少需要26分钟。
【知识点】
圆环面积计算、圆的周长计算、近似数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景设题，重点考察圆相关公式的灵活运用能力，解题的核心是准确判断所求量对应的圆的参数，同时要注意结合实际需求对计算结果取合适的近似值，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
20.隧道做成拱形顶，能把力比较均匀地传递到相对稳固的侧壁上，使隧道更加坚固和安全。如果做成平顶，就容易造成坍塌。如图所示，某半圆形公路隧道的高度是3.5 m，那么隧道口的周长是多少米？
答案
3.14×3.5×2÷2 + 3.5×2
= 10.99 + 7
= 17.99（m）
答：隧道口的周长是17.99米。
= 10.99 + 7
= 17.99（m）
答：隧道口的周长是17.99米。
解析
【分析】
要计算隧道口的周长，首先观察图形可知隧道口是半圆形，隧道的高度就是这个半圆的半径，即r=3.5m。首先明确：半圆的周长不是单纯的圆周长的一半，而是半圆弧的长度加上底部直径的长度，两部分合起来才是这个封闭图形的周长。解题步骤为：先根据圆的周长公式算出整圆周长的一半得到半圆弧长，再算出半圆的直径长度，最后把两部分长度相加就是隧道口的总周长。
【解析】
解：隧道口的周长为半圆弧长与直径长度之和，代入数据计算：
$3.14×3.5×2÷2 + 3.5×2$
$= 10.99 + 7$
$= 17.99（\mathrm{m}）$
【答案】
17.99米
【知识点】
圆的周长计算，半圆周长计算，直径与半径的关系
【点评】
这道题结合生活场景考查周长的计算，解题的关键是明确半圆周长的组成，易错点是容易遗漏底部的直径部分，仅计算半圆弧的长度导致结果错误，解题时要结合图形理解周长的含义，准确计算各部分长度。
【难度系数】
0.6
要计算隧道口的周长，首先观察图形可知隧道口是半圆形，隧道的高度就是这个半圆的半径，即r=3.5m。首先明确：半圆的周长不是单纯的圆周长的一半，而是半圆弧的长度加上底部直径的长度，两部分合起来才是这个封闭图形的周长。解题步骤为：先根据圆的周长公式算出整圆周长的一半得到半圆弧长，再算出半圆的直径长度，最后把两部分长度相加就是隧道口的总周长。
【解析】
解：隧道口的周长为半圆弧长与直径长度之和，代入数据计算：
$3.14×3.5×2÷2 + 3.5×2$
$= 10.99 + 7$
$= 17.99（\mathrm{m}）$
【答案】
17.99米
【知识点】
圆的周长计算，半圆周长计算，直径与半径的关系
【点评】
这道题结合生活场景考查周长的计算，解题的关键是明确半圆周长的组成，易错点是容易遗漏底部的直径部分，仅计算半圆弧的长度导致结果错误，解题时要结合图形理解周长的含义，准确计算各部分长度。
【难度系数】
0.6
21.圆周率是一个固定的数，它表示圆的周长与直径的比值。请你回忆，数学课上你是如何探究一个圆的周长和它的直径的关系的？把探究过程记录下来。(可以通过画图或文字描述的方式记录)
(1)探究过程：
(2)小结：一个圆的周长总是它的直径的()倍多一些，通过学习，我们知道了这个固定的数叫作圆周率，用字母π表示。如果用C表示圆的周长，d表示圆的直径，那么C=()。
(1)探究过程：
(2)小结：一个圆的周长总是它的直径的()倍多一些，通过学习，我们知道了这个固定的数叫作圆周率，用字母π表示。如果用C表示圆的周长，d表示圆的直径，那么C=()。
答案
(1) 探究过程：
准备3个大小不同的圆形物体、无弹性的细线、直尺。
① 测量圆的周长：将细线紧贴圆形物体的边缘绕完整一圈，在细线和起点重合的位置做好标记，把细线拉直，用直尺测量细线起点到标记处的长度，得到这个圆的周长。
② 测量圆的直径：用直尺直接量出该圆形物体的直径，记录下对应的周长和直径数据。
③ 更换另外两个不同大小的圆，重复上述测量操作，得到三组不同的周长、直径数据。
④ 分别用每个圆的周长除以对应的直径，计算出各组的比值，对比所有得到的比值。
(2) 3；πd
准备3个大小不同的圆形物体、无弹性的细线、直尺。
① 测量圆的周长：将细线紧贴圆形物体的边缘绕完整一圈，在细线和起点重合的位置做好标记，把细线拉直，用直尺测量细线起点到标记处的长度，得到这个圆的周长。
② 测量圆的直径：用直尺直接量出该圆形物体的直径，记录下对应的周长和直径数据。
③ 更换另外两个不同大小的圆，重复上述测量操作，得到三组不同的周长、直径数据。
④ 分别用每个圆的周长除以对应的直径，计算出各组的比值，对比所有得到的比值。
(2) 3；πd
解析
【分析】
这道题考查圆周长与直径关系的探究过程及圆周率相关基础知识。解题时首先要明确探究两个变量的倍数关系，需要先准确测量对应的数据：圆的周长是曲线，需用化曲为直的方法测量，直径可直接用直尺测量；为了保证结论的普遍性，需要选取多个大小不同的圆重复测量，再通过计算每组周长与直径的比值，就能总结出共性规律。第二问结合探究结论直接填写圆周率的相关结论和周长公式即可。
【解析】
(1) 探究过程：
准备3个大小不同的圆形物体、无弹性的细线、直尺。
① 测量圆的周长：将细线紧贴圆形物体的边缘绕完整一圈，在细线和起点重合的位置做好标记，把细线拉直，用直尺测量细线起点到标记处的长度，得到这个圆的周长。
② 测量圆的直径：用直尺直接量出该圆形物体的直径，记录下对应的周长和直径数据。
③ 更换另外两个不同大小的圆，重复上述测量操作，得到三组不同的周长、直径数据。
④ 分别用每个圆的周长除以对应的直径，计算出各组的比值，对比所有得到的比值。
(2) 观察计算得到的各组比值，可发现一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值就是圆周率，用字母π表示。根据“周长÷直径=π”，可推导得到圆的周长公式为C=πd。
【答案】
(1) 探究过程：
准备3个大小不同的圆形物体、无弹性的细线、直尺。
① 测量圆的周长：将细线紧贴圆形物体的边缘绕完整一圈，在细线和起点重合的位置做好标记，把细线拉直，用直尺测量细线起点到标记处的长度，得到这个圆的周长。
② 测量圆的直径：用直尺直接量出该圆形物体的直径，记录下对应的周长和直径数据。
③ 更换另外两个不同大小的圆，重复上述测量操作，得到三组不同的周长、直径数据。
④ 分别用每个圆的周长除以对应的直径，计算出各组的比值，对比所有得到的比值。
(2) 3；πd
【知识点】
圆周率的定义；圆周长的测量方法；圆的周长公式
【点评】
本题重视实践探究过程的考查，引导学生亲历知识的推导过程，既考查了“化曲为直”的测量思想，也能加深对圆周率本质和圆周长公式的理解，为后续圆相关的计算打好基础。
【难度系数】
0.7
这道题考查圆周长与直径关系的探究过程及圆周率相关基础知识。解题时首先要明确探究两个变量的倍数关系，需要先准确测量对应的数据：圆的周长是曲线，需用化曲为直的方法测量，直径可直接用直尺测量；为了保证结论的普遍性，需要选取多个大小不同的圆重复测量，再通过计算每组周长与直径的比值，就能总结出共性规律。第二问结合探究结论直接填写圆周率的相关结论和周长公式即可。
【解析】
(1) 探究过程：
准备3个大小不同的圆形物体、无弹性的细线、直尺。
① 测量圆的周长：将细线紧贴圆形物体的边缘绕完整一圈，在细线和起点重合的位置做好标记，把细线拉直，用直尺测量细线起点到标记处的长度，得到这个圆的周长。
② 测量圆的直径：用直尺直接量出该圆形物体的直径，记录下对应的周长和直径数据。
③ 更换另外两个不同大小的圆，重复上述测量操作，得到三组不同的周长、直径数据。
④ 分别用每个圆的周长除以对应的直径，计算出各组的比值，对比所有得到的比值。
(2) 观察计算得到的各组比值，可发现一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值就是圆周率，用字母π表示。根据“周长÷直径=π”，可推导得到圆的周长公式为C=πd。
【答案】
(1) 探究过程：
准备3个大小不同的圆形物体、无弹性的细线、直尺。
① 测量圆的周长：将细线紧贴圆形物体的边缘绕完整一圈，在细线和起点重合的位置做好标记，把细线拉直，用直尺测量细线起点到标记处的长度，得到这个圆的周长。
② 测量圆的直径：用直尺直接量出该圆形物体的直径，记录下对应的周长和直径数据。
③ 更换另外两个不同大小的圆，重复上述测量操作，得到三组不同的周长、直径数据。
④ 分别用每个圆的周长除以对应的直径，计算出各组的比值，对比所有得到的比值。
(2) 3；πd
【知识点】
圆周率的定义；圆周长的测量方法；圆的周长公式
【点评】
本题重视实践探究过程的考查，引导学生亲历知识的推导过程，既考查了“化曲为直”的测量思想，也能加深对圆周率本质和圆周长公式的理解，为后续圆相关的计算打好基础。
【难度系数】
0.7
