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22.妈妈买来一个长方体收纳箱，想要把厨房内一些底面是圆形的瓶子放进收纳箱中。如图所示，收纳箱的底面长20 cm，宽8 cm，现在有两个底面直径是8 cm和两个底面直径是4 cm的瓶子。
(1)应该如何摆放这四个瓶子才能使它们全部放入收纳箱中？请你画一画。
(2)所有瓶子的底面积之和是多少平方厘米？
(3)收纳箱底面的空余面积是多少平方厘米？
(1)应该如何摆放这四个瓶子才能使它们全部放入收纳箱中？请你画一画。
(2)所有瓶子的底面积之和是多少平方厘米？
(3)收纳箱底面的空余面积是多少平方厘米？
答案
(1) 摆放方法：
在长20cm、宽8cm的长方形内：
① 最左侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的左边界、上边界、下边界相切；
② 最右侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的右边界、上边界、下边界相切；
③ 中间长4cm、宽8cm的区域内，上下各画1个直径为4cm的圆，上方小圆与长方形上边界相切，下方小圆与长方形下边界相切，两个小圆彼此外切，且分别和左右两个大圆外切。
（按上述描述在给定长方形中绘制即可）
(2)
$8÷2=4\ (\mathrm{cm})$
$4÷2=2\ (\mathrm{cm})$
$2×3.14×4^2 + 2×3.14×2^2$
$= 100.48 + 25.12$
$= 125.6\ (\mathrm{平方厘米})$
答：所有瓶子的底面积之和是125.6平方厘米。
(3)
$20×8 - 125.6$
$= 160 - 125.6$
$= 34.4\ (\mathrm{平方厘米})$
答：收纳箱底面的空余面积是34.4平方厘米。
在长20cm、宽8cm的长方形内：
① 最左侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的左边界、上边界、下边界相切；
② 最右侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的右边界、上边界、下边界相切；
③ 中间长4cm、宽8cm的区域内，上下各画1个直径为4cm的圆，上方小圆与长方形上边界相切，下方小圆与长方形下边界相切，两个小圆彼此外切，且分别和左右两个大圆外切。
（按上述描述在给定长方形中绘制即可）
(2)
$8÷2=4\ (\mathrm{cm})$
$4÷2=2\ (\mathrm{cm})$
$2×3.14×4^2 + 2×3.14×2^2$
$= 100.48 + 25.12$
$= 125.6\ (\mathrm{平方厘米})$
答：所有瓶子的底面积之和是125.6平方厘米。
(3)
$20×8 - 125.6$
$= 160 - 125.6$
$= 34.4\ (\mathrm{平方厘米})$
答：收纳箱底面的空余面积是34.4平方厘米。
解析
【分析】
(1) 先对比尺寸：收纳箱宽8cm和大瓶底面直径相等，所以大瓶沿宽方向只能放1排，2个大瓶总长度为8×2=16cm，收纳箱长20cm，剩余空隙长20-16=4cm，刚好等于小瓶直径，2个小瓶上下叠放总高度为4×2=8cm，刚好匹配收纳箱宽度，按这个思路摆放即可。
(2) 求所有瓶子底面积之和，先根据直径算出大小瓶的底面半径，再用圆的面积公式分别计算2个大瓶和2个小瓶的底面积，相加即可。
(3) 收纳箱底面空余面积=收纳箱底面长方形的面积-所有瓶子的底面积之和，先算长方形面积，再做减法即可。
【解析】
(1) 摆放步骤：
① 收纳箱底面左侧放置1个直径8cm的大瓶，瓶底同时贴紧收纳箱左、上、下内壁；
② 收纳箱底面右侧放置1个直径8cm的大瓶，瓶底同时贴紧收纳箱右、上、下内壁；
③ 两个大瓶中间的空隙区域，上下各放1个直径4cm的小瓶，上方小瓶贴紧收纳箱上壁，下方小瓶贴紧收纳箱下壁，两个小瓶互相贴紧，同时和左右大瓶贴紧。按该描述画图即可。
(2) 计算半径：
大瓶底面半径：$8÷2=4\ (\mathrm{cm})$
小瓶底面半径：$4÷2=2\ (\mathrm{cm})$
底面积总和：
$2×3.14×4^2 + 2×3.14×2^2$
$= 100.48 + 25.12$
$= 125.6\ (\mathrm{平方厘米})$
(3) 收纳箱底面面积：$20×8=160\ (\mathrm{平方厘米})$
空余面积：
$160 - 125.6=34.4\ (\mathrm{平方厘米})$
【答案】
(1) 摆放方法：
在长20cm、宽8cm的长方形内：
① 最左侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的左边界、上边界、下边界相切；
② 最右侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的右边界、上边界、下边界相切；
③ 中间长4cm、宽8cm的区域内，上下各画1个直径为4cm的圆，上方小圆与长方形上边界相切，下方小圆与长方形下边界相切，两个小圆彼此外切，且分别和左右两个大圆外切。
（按上述描述在给定长方形中绘制即可）
(2) 所有瓶子的底面积之和是125.6平方厘米。
(3) 收纳箱底面的空余面积是34.4平方厘米。
【知识点】
圆的面积计算，长方形面积计算，平面图形摆放
【点评】
本题结合生活收纳场景命题，既考察了圆、长方形面积的基础计算能力，也锻炼了学生的空间规划能力，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 先对比尺寸：收纳箱宽8cm和大瓶底面直径相等，所以大瓶沿宽方向只能放1排，2个大瓶总长度为8×2=16cm，收纳箱长20cm，剩余空隙长20-16=4cm，刚好等于小瓶直径，2个小瓶上下叠放总高度为4×2=8cm，刚好匹配收纳箱宽度，按这个思路摆放即可。
(2) 求所有瓶子底面积之和，先根据直径算出大小瓶的底面半径，再用圆的面积公式分别计算2个大瓶和2个小瓶的底面积，相加即可。
(3) 收纳箱底面空余面积=收纳箱底面长方形的面积-所有瓶子的底面积之和，先算长方形面积，再做减法即可。
【解析】
(1) 摆放步骤：
① 收纳箱底面左侧放置1个直径8cm的大瓶，瓶底同时贴紧收纳箱左、上、下内壁；
② 收纳箱底面右侧放置1个直径8cm的大瓶，瓶底同时贴紧收纳箱右、上、下内壁；
③ 两个大瓶中间的空隙区域，上下各放1个直径4cm的小瓶，上方小瓶贴紧收纳箱上壁，下方小瓶贴紧收纳箱下壁，两个小瓶互相贴紧，同时和左右大瓶贴紧。按该描述画图即可。
(2) 计算半径：
大瓶底面半径：$8÷2=4\ (\mathrm{cm})$
小瓶底面半径：$4÷2=2\ (\mathrm{cm})$
底面积总和：
$2×3.14×4^2 + 2×3.14×2^2$
$= 100.48 + 25.12$
$= 125.6\ (\mathrm{平方厘米})$
(3) 收纳箱底面面积：$20×8=160\ (\mathrm{平方厘米})$
空余面积：
$160 - 125.6=34.4\ (\mathrm{平方厘米})$
【答案】
(1) 摆放方法：
在长20cm、宽8cm的长方形内：
① 最左侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的左边界、上边界、下边界相切；
② 最右侧画1个直径为8cm的圆，圆同时与长方形的右边界、上边界、下边界相切；
③ 中间长4cm、宽8cm的区域内，上下各画1个直径为4cm的圆，上方小圆与长方形上边界相切，下方小圆与长方形下边界相切，两个小圆彼此外切，且分别和左右两个大圆外切。
（按上述描述在给定长方形中绘制即可）
(2) 所有瓶子的底面积之和是125.6平方厘米。
(3) 收纳箱底面的空余面积是34.4平方厘米。
【知识点】
圆的面积计算，长方形面积计算，平面图形摆放
【点评】
本题结合生活收纳场景命题，既考察了圆、长方形面积的基础计算能力，也锻炼了学生的空间规划能力，实用性较强。
【难度系数】
0.7
23.雷达广泛应用于军事、气象、交通等领域。下图是屏幕上显示的雷达影像，最外圈是一个直径为60 cm的圆。
(1)它的周长是多少？
(2)它所涉及的面积是多少？
(3)若图中相邻两圆圈的间距相等，求从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积之差。
(1)它的周长是多少？
(2)它所涉及的面积是多少？
(3)若图中相邻两圆圈的间距相等，求从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积之差。
答案
(1)
$3.14×60=188.4\ (\mathrm{cm})$
(2)
$60÷2=30\ (\mathrm{cm})$
$3.14×30×30=2826\ (\mathrm{cm}^2)$
(3)
$30÷8=3.75\ (\mathrm{cm})$
$3.75×2=7.5\ (\mathrm{cm})$
$3.14×30×30 - 3.14×7.5×7.5=2649.375\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1)它的周长是188.4 cm；(2)它所涉及的面积是2826 cm²；(3)从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积之差是2649.375 cm²。
$3.14×60=188.4\ (\mathrm{cm})$
(2)
$60÷2=30\ (\mathrm{cm})$
$3.14×30×30=2826\ (\mathrm{cm}^2)$
(3)
$30÷8=3.75\ (\mathrm{cm})$
$3.75×2=7.5\ (\mathrm{cm})$
$3.14×30×30 - 3.14×7.5×7.5=2649.375\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1)它的周长是188.4 cm；(2)它所涉及的面积是2826 cm²；(3)从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积之差是2649.375 cm²。
解析
【分析】
这道题结合雷达影像的生活场景考查圆的相关计算，解题思路如下：
(1) 第一问求最外圈圆的周长，已知圆的直径，直接代入圆的周长公式$C=π d$（$π$取3.14）计算即可；
(2) 第二问求最外圈圆的面积，先根据直径求出半径$r=d÷2$，再代入圆的面积公式$S=π r^2$计算；
(3) 第三问求两圆的面积差，首先观察图形可知，圆心到最外圈共有8个相等的间距，先算出单个间距的长度，再求出从内向外第二圈的半径（等于2个间距的长度），最后用最外圈面积减去第二圈面积即可得到差值。
【解析】
(1) 已知最外圈圆直径为60cm，代入周长公式：
$3.14×60=188.4\ (\mathrm{cm})$
(2) 先计算最外圈圆的半径：
$60÷2=30\ (\mathrm{cm})$
代入面积公式：
$3.14×30×30=2826\ (\mathrm{cm}^2)$
(3) 先计算单个间距的长度：
$30÷8=3.75\ (\mathrm{cm})$
从内向外第二圈的半径为2个间距的长度：
$3.75×2=7.5\ (\mathrm{cm})$
计算两圆面积差：
$3.14×30×30 - 3.14×7.5×7.5=2649.375\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1)它的周长是188.4 cm；(2)它所涉及的面积是2826 cm²；(3)从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积之差是2649.375 cm²。
【答案】
(1)188.4 cm；(2)2826 cm²；(3)2649.375 cm²
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、面积差计算
【点评】
本题侧重基础公式的实际应用，前两问考查圆周长、面积公式的直接运用，第三问需要结合图形提取间隔数量的信息，同时考查了学生的读图能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.7
这道题结合雷达影像的生活场景考查圆的相关计算，解题思路如下：
(1) 第一问求最外圈圆的周长，已知圆的直径，直接代入圆的周长公式$C=π d$（$π$取3.14）计算即可；
(2) 第二问求最外圈圆的面积，先根据直径求出半径$r=d÷2$，再代入圆的面积公式$S=π r^2$计算；
(3) 第三问求两圆的面积差，首先观察图形可知，圆心到最外圈共有8个相等的间距，先算出单个间距的长度，再求出从内向外第二圈的半径（等于2个间距的长度），最后用最外圈面积减去第二圈面积即可得到差值。
【解析】
(1) 已知最外圈圆直径为60cm，代入周长公式：
$3.14×60=188.4\ (\mathrm{cm})$
(2) 先计算最外圈圆的半径：
$60÷2=30\ (\mathrm{cm})$
代入面积公式：
$3.14×30×30=2826\ (\mathrm{cm}^2)$
(3) 先计算单个间距的长度：
$30÷8=3.75\ (\mathrm{cm})$
从内向外第二圈的半径为2个间距的长度：
$3.75×2=7.5\ (\mathrm{cm})$
计算两圆面积差：
$3.14×30×30 - 3.14×7.5×7.5=2649.375\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1)它的周长是188.4 cm；(2)它所涉及的面积是2826 cm²；(3)从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积之差是2649.375 cm²。
【答案】
(1)188.4 cm；(2)2826 cm²；(3)2649.375 cm²
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、面积差计算
【点评】
本题侧重基础公式的实际应用，前两问考查圆周长、面积公式的直接运用，第三问需要结合图形提取间隔数量的信息，同时考查了学生的读图能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.7
