1.如图，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$AE⊥ CE$于点$E$，$BD⊥ CE$于点$D$.若$AE=5\ \mathrm{cm}$，$BD=2\ \mathrm{cm}$，则$DE$的长是（）

A.8 cm
B.5 cm
C.3 cm
D.2 cm

1.C

【分析】
解题时先观察已知条件：有多个垂直关系可得多组直角，又已知AC=BC，首先考虑证明三角形全等。第一步利用同角的余角相等推出一组对应角相等，第二步结合直角相等和已知等边，用AAS判定△AEC和△CDB全等，第三步利用全等三角形对应边相等得到CD、CE的长度，最后作差求出DE的长。
【解析】
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = 90°$，
∵ $AE⊥ CE$，$BD⊥ CE$，
∴ $∠ AEC=∠ CDB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE=∠ BCD$（同角的余角相等）。
在$△ AEC$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ CDB \\∠ CAE=∠ BCD \\AC=BC\end{cases}$
∴ $△ AEC≌△ CDB$（AAS），
∴ $CD=AE=5\ \mathrm{cm}$，$CE=BD=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=CD - CE=5 - 2=3(\mathrm{cm})$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的AAS判定；同角的余角相等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过垂直关系推导相等的角，进而证明三角形全等，再借助全等的性质计算线段长度，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AE是∠BAD的平分线,且AE⊥DE.若AD=a,BC=b,则四边形ABCD的周长为（）

A.$2a+b$
B.$\frac{3}{2}(a+b)$
C.$3a-b$
D.$a+2b$

2.A

【分析】
解题思路如下：遇到角平分线+高线的组合时，我们可以通过延长DE交AB的延长线于点F，构造全等三角形简化计算。第一步先利用角平分线性质、公共边和垂直条件证明△ADE和△AFE全等，得到AD=AF、DE=EF；第二步利用AB平行CD的内错角相等、对顶角相等和已证的DE=EF，证明△DCE和△FBE全等，得到DC=BF；最后把四边形ABCD的周长转化为AF+AD+BC即可算出结果。
【解析】
解：延长DE交AB的延长线于点F。
1. 证明$△ ADE ≌ △ AFE$：
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ DAE=∠ FAE$，
∵$AE⊥ DE$，
∴$∠ AED=∠ AEF=90°$，
又
∵$AE=AE$，
∴$△ ADE ≌ △ AFE$（ASA），
∴$AD=AF=a$，$DE=EF$。
2. 证明$△ DCE ≌ △ FBE$：
∵$AB// CD$，
∴$∠ C=∠ EBF$，$∠ CDE=∠ F$，
又
∵$DE=EF$，
∴$△ DCE ≌ △ FBE$（AAS），
∴$DC=BF$。
3. 计算四边形ABCD的周长：
$\begin{aligned}周长&=AB+BC+CD+AD\\&=AB+BF+BC+AD\\&=AF+BC+AD\\&=a + b + a\\&=2a+b\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上，实现周长计算的简化，是全等三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$∠ BAC = ∠ DAE$，$B$，$D$，$E$ 三点在同一条直线上.若$∠ 1 = 26°$，$∠ 3 = 56°$，则$∠ 2$ 的度数为________.

3. 30°

【分析】
解题时首先从已知的等角∠BAC=∠DAE入手，通过减去公共角∠DAC得到一组相等的夹角∠BAD=∠CAE，结合已知的两组等边AB=AC、AD=AE，用SAS判定△ABD和△ACE全等，将∠2转化为△ABD的内角∠ABD；再利用三角形外角的性质，即外角等于不相邻两个内角的和，结合已知的∠1和∠3的度数，即可求出∠2的大小。
【解析】
1. 推导全等所需的等角：
∵ ∠BAC = ∠DAE
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE
2. 证明三角形全等：
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ ∠BAD=∠CAE(已证)\\ AD=AE(已知)\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）
3. 利用全等性质转化角：
由全等三角形对应角相等，得∠ABD = ∠2
4. 结合外角性质计算角度：
∵ ∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质：∠3 = ∠1 + ∠ABD
代入∠1=26°，∠3=56°，得：
∠ABD = ∠3 - ∠1 = 56° - 26° = 30°
∴ ∠2 = 30°
【答案】
30°
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形角度计算的综合基础题，解题关键是先通过角的和差关系构造全等三角形的判定条件，利用全等实现角的转化，再结合外角性质计算，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

4. [2024·六安金安区期末]如图，C，E分别为$△ ABD$的边$BD$，$AB$上的点，$AE = AD$，$CE = CD$，$∠ D = 75°$，$∠ ECD = 140°$，则$∠ B$的度数为°.

4. 35

【分析】
首先观察已知条件，存在两组相等的边：$AE=AD$，$CE=CD$，连接公共边$AC$后，可通过SSS判定证明$△ AEC$和$△ ADC$全等，得到$∠ AEC$的度数；再利用邻补角的性质分别求出$∠ BEC$和$∠ ECB$的度数，最后结合三角形内角和定理即可计算出$∠ B$的度数。
【解析】
连接$AC$，
在$△ AEC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AE=AD(\mathrm{已知})\\CE=CD(\mathrm{已知})\\AC=AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ AEC=∠ D=75°$（全等三角形对应角相等）
$\therefore ∠ BEC=180°-∠ AEC=180°-75°=105°$
$\because ∠ ECD=140°$，$∠ ECD$与$∠ ECB$互为邻补角
$\therefore ∠ ECB=180°-∠ ECD=180°-140°=40°$
在$△ BEC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ B=180°-∠ BEC-∠ ECB=180°-105°-40°=35°$
【答案】
$35$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（SSS）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，将已知角度进行转化，再结合三角形内角和计算未知角，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
$0.7$

5.如图，AC平分$∠ BAD$，CM⊥AB，且AB+AD=2AM，则$∠ ADC$与$∠ ABC$的关系是 （）

A.相等
B.互补
C.和为$150°$
D.和为$165°$

5.B

【分析】
已知条件包含角平分线、角一边的垂线，还有线段和的关系，要探究两个角的数量关系，我们可以按以下思路解题：①利用角平分线的性质，过C作AD延长线的垂线，构造第一组全等三角形，得到对应边AM=AE；②将已知AB+AD=2AM用AM、MB、AE、DE代换，推导得到MB=DE；③证明第二组全等三角形，将∠ABC转化为与∠ADC互补的角，即可得到两者的关系。
【解析】
过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E。
1. 由角平分线的性质：
∵AC平分∠BAD，CM⊥AB，CE⊥AD，
∴CM=CE，且∠CMB=∠CED=90°。
2. 证Rt△ACM≌Rt△ACE：在Rt△ACM和Rt△ACE中，$\{\begin{array}{l}AC=AC\\CM=CE\end{array} $，
∴Rt△ACM≌Rt△ACE（HL），得AM=AE。
3. 推导MB=DE：已知AB+AD=2AM，又AB=AM+MB，AD=AE-DE=AM-DE，代入得：
$AM+MB + AM - DE = 2AM$，化简得MB=DE。
4. 证△CMB≌△CED：在△CMB和△CED中，$\{\begin{array}{l}CM=CE\\∠CMB=∠CED=90°\\MB=DE\end{array} $，
∴△CMB≌△CED（SAS），得∠ABC=∠CDE。
5. 推导角的关系：
∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，即两角互补。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的定义
【点评】
本题核心考查构造全等三角形解决几何问题的能力，作辅助线是角平分线相关题型的常用技巧，对已知线段关系的合理转化是解题的重要环节，属于几何基础提升类题型。
【难度系数】
0.6

6.如图,在AB,AC上各取一点E,D,使AE=AD,连接BD,CE相交于点O,连接AO,BC.若∠1=∠2,则图中的全等三角形共有对.

6.5

【分析】
解题时从已知条件入手，首先观察包含已知边AE=AD、角∠1=∠2和公共边AO的三角形，先证第一组全等，再利用全等三角形得到的边相等、角相等的结论，作为新的判定条件，依次推导其他全等三角形，按顺序推导可避免漏找、错找。
【解析】
我们逐组找出全等三角形：
1. 证$△ AEO ≌ △ ADO$：
已知$AE=AD$，$∠ 1=∠ 2$，$AO$为公共边，根据SAS判定定理，可得$△ AEO ≌ △ ADO$。
由全等性质得：$OE=OD$，$∠ AEO=∠ ADO$，因此$∠ BEO=180°-∠ AEO=180°-∠ ADO=∠ CDO$。
2. 证$△ BEO ≌ △ CDO$：
$∠ BEO=∠ CDO$，$OE=OD$，$∠ BOE=∠ COD$（对顶角相等），根据ASA判定定理，可得$△ BEO ≌ △ CDO$。
由全等性质得：$BE=CD$，$BO=CO$。
3. 证$△ ABO ≌ △ ACO$：
由$AE=AD$，$BE=CD$，得$AB=AE+BE=AD+CD=AC$；又$∠ 1=∠ 2$，$AO$为公共边，根据SAS判定定理，可得$△ ABO ≌ △ ACO$。
4. 证$△ ABD ≌ △ ACE$：
$AB=AC$，$∠ BAD$为公共角，$AD=AE$，根据SAS判定定理，可得$△ ABD ≌ △ ACE$。
由全等性质得：$BD=CE$。
5. 证$△ BCD ≌ △ CBE$：
$BE=CD$，$BD=CE$，$BC$为公共边，根据SSS判定定理，可得$△ BCD ≌ △ CBE$。
综上，全等三角形共有5对。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合运用，需要由浅入深逐步推导，利用每次全等得到的边、角相等结论作为下一次判定全等的条件，按顺序梳理可以避免遗漏全等三角形。
【难度系数】
0.6

7.[新课标—探究题]如图，点A，E，F，C在同一条直线上，$AE=CF$，过点E，F分别作$DE⊥AC$，$BF⊥AC$，垂足分别为点E，F。

(1)若$AB=CD$，连接BD交EF于点G，G是EF的中点吗？请证明你的结论。
(2)若将$△ DEC$的边EC沿AC方向移动到的位置，其他条件不变，则上述结论仍成立吗？请说明理由。

7.(1)G是EF的中点.证明略.
(2)仍成立.理由略.

【分析】
(1)要判断G是否为EF中点，即需证明EG=FG，可通过证明△BFG与△DEG全等来推导。首先根据已知AE=CF，可推导出AF=CE，结合垂直条件得到直角，再利用AB=CD证明Rt△ABF≌Rt△CDE，得到BF=DE，为后续证明三角形全等提供边的条件，最后结合对顶角、直角证明两小三角形全等即可得到结论。
(2)图形平移后，已知条件的数量关系未发生变化，AE=CF仍然可以推导出AF=CE，其余垂直、AB=CD的条件保持不变，可沿用(1)的证明思路推导结论是否成立。
【解析】
(1)G是EF的中点，证明如下：
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AF=CE\end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE
在△BFG和△DEG中：
$\{\begin{array}{l}∠ BFG=∠ DEG=90°\\ ∠ BGF=∠ DGE（对顶角相等）\\ BF=DE\end{array} $
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，即G是EF的中点。
(2)上述结论仍成立，理由如下：
∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AF=CE\end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE
在△BFG和△DEG中：
$\{\begin{array}{l}∠ BFG=∠ DEG=90°\\ ∠ BGF=∠ DGE（对顶角相等）\\ BF=DE\end{array} $
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，即G仍是EF的中点。
【答案】
(1)G是EF的中点，证明见解析；
(2)结论仍成立，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定、垂直的性质
【点评】
本题是典型的动态探究类几何题，核心考查全等三角形的应用，解题时需抓住图形变换过程中不变的边、角关系，通过两次全等推导线段相等的结论，有助于培养逻辑推理能力和动态几何分析能力。
【难度系数】
0.6