登录
14.对于任意式子$A,B$,定义$A☆B=2A-3B$.
(1)求$(-4)☆3$的值；
(2)先化简式子$(\dfrac{1}{2}a - 3)☆(-a^2 + 2a + 1)$,再求当$a=-2$时,$(\dfrac{1}{2}a - 3)☆(-a^2 + 2a + 1)$的值.
(1)求$(-4)☆3$的值；
(2)先化简式子$(\dfrac{1}{2}a - 3)☆(-a^2 + 2a + 1)$,再求当$a=-2$时,$(\dfrac{1}{2}a - 3)☆(-a^2 + 2a + 1)$的值.
答案
14.解：(1)$(-4)☆3=2×(-4)-3×3=-8-9=-17$.
(2)$(\frac{1}{2}a -3)☆(-a^2 +2a +1)=2×(\frac{1}{2}a -3)-3×(-a^2 +2a +1)=a-6+3a^2-6a-3=3a^2-5a-9$.
当$a=-2$时，
原式$=3×(-2)^2-5×(-2)-9=12+10-9=13$.
(2)$(\frac{1}{2}a -3)☆(-a^2 +2a +1)=2×(\frac{1}{2}a -3)-3×(-a^2 +2a +1)=a-6+3a^2-6a-3=3a^2-5a-9$.
当$a=-2$时，
原式$=3×(-2)^2-5×(-2)-9=12+10-9=13$.
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“☆”的规则：$A☆B=2A-3B$，即运算结果等于第一个运算对象的2倍减去第二个运算对象的3倍。
(1) 求解第一问时，直接把$A=-4$、$B=3$代入新运算公式，按照有理数运算法则计算即可。
(2) 求解第二问时，先把$A=\frac{1}{2}a-3$、$B=-a^2+2a+1$代入新运算公式，按照整式加减的步骤先去括号、再合并同类项完成化简；最后把$a=-2$代入化简后的式子，按有理数运算顺序计算出结果即可，计算时注意去括号的符号变化和负数乘方的运算规则。
【解析】
(1) 根据新定义$A☆B=2A-3B$，代入$A=-4$，$B=3$得：
$(-4)☆3=2×(-4)-3×3=-8-9=-17$
(2) 先化简式子，代入$A=\frac{1}{2}a-3$，$B=-a^2+2a+1$得：
$\begin{split}&(\frac{1}{2}a - 3)☆(-a^2 + 2a + 1)\\=&2×(\frac{1}{2}a - 3)-3×(-a^2 + 2a + 1)\\=&a - 6 + 3a^2 - 6a - 3\\=&3a^2 - 5a - 9\end{split}$
将$a=-2$代入化简后的式子：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=3×(-2)^2 - 5×(-2) - 9\\&=3×4 + 10 - 9\\&=12 + 10 - 9\\&=13\end{split}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-17}$；(2) 化简结果为$\boldsymbol{3a^2 - 5a - 9}$，当$a=-2$时的值为$\boldsymbol{13}$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题考查新运算规则的理解应用、整式运算及代数式求值的能力，解题关键是准确对应新运算中A、B的替换内容，去括号时注意符号变化，代入求值时遵循有理数运算顺序，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“☆”的规则：$A☆B=2A-3B$，即运算结果等于第一个运算对象的2倍减去第二个运算对象的3倍。
(1) 求解第一问时，直接把$A=-4$、$B=3$代入新运算公式，按照有理数运算法则计算即可。
(2) 求解第二问时，先把$A=\frac{1}{2}a-3$、$B=-a^2+2a+1$代入新运算公式，按照整式加减的步骤先去括号、再合并同类项完成化简；最后把$a=-2$代入化简后的式子，按有理数运算顺序计算出结果即可，计算时注意去括号的符号变化和负数乘方的运算规则。
【解析】
(1) 根据新定义$A☆B=2A-3B$，代入$A=-4$，$B=3$得：
$(-4)☆3=2×(-4)-3×3=-8-9=-17$
(2) 先化简式子，代入$A=\frac{1}{2}a-3$，$B=-a^2+2a+1$得：
$\begin{split}&(\frac{1}{2}a - 3)☆(-a^2 + 2a + 1)\\=&2×(\frac{1}{2}a - 3)-3×(-a^2 + 2a + 1)\\=&a - 6 + 3a^2 - 6a - 3\\=&3a^2 - 5a - 9\end{split}$
将$a=-2$代入化简后的式子：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=3×(-2)^2 - 5×(-2) - 9\\&=3×4 + 10 - 9\\&=12 + 10 - 9\\&=13\end{split}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-17}$；(2) 化简结果为$\boldsymbol{3a^2 - 5a - 9}$，当$a=-2$时的值为$\boldsymbol{13}$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题考查新运算规则的理解应用、整式运算及代数式求值的能力，解题关键是准确对应新运算中A、B的替换内容，去括号时注意符号变化，代入求值时遵循有理数运算顺序，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
15.A,B两仓库分别有水泥20 t和30 t,C,D两工地分别需要水泥15 t和35 t.从A,B仓库到C,D工地的运费如表所示.
(1)若从A仓库运到C工地的水泥为x t,则从A仓库运到D工地的水泥为
(2)求把全部水泥从A,B两仓库运到C,D两工地的总运费;
(3)若从A仓库运到C工地的水泥为10 t,求总运费为多少元.
(1)若从A仓库运到C工地的水泥为x t,则从A仓库运到D工地的水泥为
$(20-x)$
t,从B仓库将水泥运到D工地的运费为$(9x+135)$
元;(2)求把全部水泥从A,B两仓库运到C,D两工地的总运费;
(3)若从A仓库运到C工地的水泥为10 t,求总运费为多少元.
答案
15.解：(1)$(20-x)$;$(9x+135)$
(2)$15x+12(20-x)+10(15-x)+(9x+135)=15x+240-12x+150-10x+9x+135=2x+525$(元).
(3)当$x=10$时，$2x+525=2×10+525=545$.
答：总运费为545元.
(2)$15x+12(20-x)+10(15-x)+(9x+135)=15x+240-12x+150-10x+9x+135=2x+525$(元).
(3)当$x=10$时，$2x+525=2×10+525=545$.
答：总运费为545元.
解析
【分析】
（1）已知A仓库共有水泥20t，运到C工地的水泥为x t，用A仓库总水泥量减去运往C工地的量，即可得到运往D工地的量；C工地共需15t水泥，A运往C工地x t，因此B运往C工地的水泥为$(15-x)$t，结合B仓库总储量30t可算出B运往D工地的水泥量，再乘对应运费单价就能求出该部分运费。（2）总运费为A到C、A到D、B到C、B到D四部分运费之和，分别列出每部分运费的代数式，再通过合并同类项化简，即可得到总运费的表达式。（3）将$x=10$直接代入第二问得到的总运费代数式中计算，即可求出具体运费。
【解析】
(1) A仓库总水泥20t，运到C工地x t，因此运到D工地的水泥为$(20-x)$t；
B运往C工地的水泥为$(15-x)$t，因此B运往D工地的水泥为$30-(15-x)=(15+x)$t，计算得该部分运费为$9(15+x)=(9x+135)$元。
(2) 四部分运费分别为：A到C$15x$元，A到D$12(20-x)$元，B到C$10(15-x)$元，B到D$(9x+135)$元。
总运费计算如下：
$\begin{aligned}&15x+12(20-x)+10(15-x)+(9x+135)\\=&15x+240-12x+150-10x+9x+135\\=&2x+525\end{aligned}$
即总运费为$(2x+525)$元。
(3) 当$x=10$时，代入总运费表达式：
$2x+525=2×10+525=545$
【答案】
(1) $(20-x)$；$(9x+135)$
(2) 总运费为$(2x+525)$元
(3) 总运费为545元
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式加减在实际运输问题中的应用，解题的关键是理清各运输路径的运输量关系，正确列出对应运费的代数式，按整式加减规则化简，代入求值时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.7
（1）已知A仓库共有水泥20t，运到C工地的水泥为x t，用A仓库总水泥量减去运往C工地的量，即可得到运往D工地的量；C工地共需15t水泥，A运往C工地x t，因此B运往C工地的水泥为$(15-x)$t，结合B仓库总储量30t可算出B运往D工地的水泥量，再乘对应运费单价就能求出该部分运费。（2）总运费为A到C、A到D、B到C、B到D四部分运费之和，分别列出每部分运费的代数式，再通过合并同类项化简，即可得到总运费的表达式。（3）将$x=10$直接代入第二问得到的总运费代数式中计算，即可求出具体运费。
【解析】
(1) A仓库总水泥20t，运到C工地x t，因此运到D工地的水泥为$(20-x)$t；
B运往C工地的水泥为$(15-x)$t，因此B运往D工地的水泥为$30-(15-x)=(15+x)$t，计算得该部分运费为$9(15+x)=(9x+135)$元。
(2) 四部分运费分别为：A到C$15x$元，A到D$12(20-x)$元，B到C$10(15-x)$元，B到D$(9x+135)$元。
总运费计算如下：
$\begin{aligned}&15x+12(20-x)+10(15-x)+(9x+135)\\=&15x+240-12x+150-10x+9x+135\\=&2x+525\end{aligned}$
即总运费为$(2x+525)$元。
(3) 当$x=10$时，代入总运费表达式：
$2x+525=2×10+525=545$
【答案】
(1) $(20-x)$；$(9x+135)$
(2) 总运费为$(2x+525)$元
(3) 总运费为545元
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式加减在实际运输问题中的应用，解题的关键是理清各运输路径的运输量关系，正确列出对应运费的代数式，按整式加减规则化简，代入求值时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.7
16.一个四位自然数 $ N=\overline{abcd} $ 满足各个数位上的数字均不为0，若 $ a+d=2(b+c) $，则称这个四位数为“内部关联数”.
(1)若 $ \overline{a438} $ 为“内部关联数”，则这个数为
(2)对于“内部关联数”N，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为 $ G(N) $.若“内部关联数”N千位上的数字与个位上的数字之和为8，且 $ G(N) $ 能被4整除，则所有满足条件的“内部关联数”N的最大值与最小值的和为
(1)若 $ \overline{a438} $ 为“内部关联数”，则这个数为
6438
；(2)对于“内部关联数”N，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为 $ G(N) $.若“内部关联数”N千位上的数字与个位上的数字之和为8，且 $ G(N) $ 能被4整除，则所有满足条件的“内部关联数”N的最大值与最小值的和为
8448
.答案
16.(1)6 438 (2)8 448
解析
【分析】
(1) 先根据“内部关联数”的定义，明确四位数$\overline{a438}$各数位的数值，代入定义式$a+d=2(b+c)$，直接求解$a$即可得到该四位数。
(2) 首先结合“内部关联数”定义和$a+d=8$的条件，推出$b+c=4$；再写出去掉四个数位得到的四个三位数，通过整式加减化简得到$G(N)$的表达式；根据$G(N)$能被4整除的要求，结合各数位数字不为0的限制，枚举所有符合条件的四位数，最后求出最大值和最小值的和即可。
【解析】
(1) 已知$\overline{a438}$是“内部关联数”，根据定义有$a+d=2(b+c)$，其中$b=4$，$c=3$，$d=8$，代入得：
$a + 8 = 2×(4+3)$
$a + 8 = 14$
解得$a=6$，因此这个四位数是6438。
(2) ① 由N是“内部关联数”得$a+d=2(b+c)$，又已知$a+d=8$，因此$2(b+c)=8$，即$b+c=4$。
② 计算$G(N)$：
去掉千位$a$得到的三位数为$\overline{bcd}=100b+10c+d$，
去掉百位$b$得到的三位数为$\overline{acd}=100a+10c+d$，
去掉十位$c$得到的三位数为$\overline{abd}=100a+10b+d$，
去掉个位$d$得到的三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，
因此：
$\begin{aligned}G(N)&=(100b+10c+d)+(100a+10c+d)+(100a+10b+d)+(100a+10b+c)\\&=300a+120b+21c+3d\end{aligned}$
③ 代入$d=8-a$、$c=4-b$化简：
$\begin{aligned}G(N)&=300a+120b+21(4-b)+3(8-a)\\&=297a+99b+108\end{aligned}$
④ 由$G(N)$能被4整除：$297÷4$余1，$99÷4$余3，$108÷4$余0，因此$a+3b$需是4的倍数。
⑤ 枚举符合条件的数：各数位不为0，故$1≤ a≤7$，$1≤ b≤3$：
$b=1$时，$a+3$是4的倍数，$a=1$或5，对应N为1137、5133；
$b=2$时，$a+6$是4的倍数，$a=2$或6，对应N为2226、6222；
$b=3$时，$a+9$是4的倍数，$a=3$或7，对应N为3315、7311。
其中最大值为7311，最小值为1137，和为$7311+1137=8448$。
【答案】
(1) $\boxed{6438}$；(2) $\boxed{8448}$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、数的整除
【点评】
本题属于新定义类综合题，解题核心是准确理解新定义的运算规则，通过整式加减化简目标式，再结合整除性质和数位限制枚举所有可能结果，主要考察逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据“内部关联数”的定义，明确四位数$\overline{a438}$各数位的数值，代入定义式$a+d=2(b+c)$，直接求解$a$即可得到该四位数。
(2) 首先结合“内部关联数”定义和$a+d=8$的条件，推出$b+c=4$；再写出去掉四个数位得到的四个三位数，通过整式加减化简得到$G(N)$的表达式；根据$G(N)$能被4整除的要求，结合各数位数字不为0的限制，枚举所有符合条件的四位数，最后求出最大值和最小值的和即可。
【解析】
(1) 已知$\overline{a438}$是“内部关联数”，根据定义有$a+d=2(b+c)$，其中$b=4$，$c=3$，$d=8$，代入得：
$a + 8 = 2×(4+3)$
$a + 8 = 14$
解得$a=6$，因此这个四位数是6438。
(2) ① 由N是“内部关联数”得$a+d=2(b+c)$，又已知$a+d=8$，因此$2(b+c)=8$，即$b+c=4$。
② 计算$G(N)$：
去掉千位$a$得到的三位数为$\overline{bcd}=100b+10c+d$，
去掉百位$b$得到的三位数为$\overline{acd}=100a+10c+d$，
去掉十位$c$得到的三位数为$\overline{abd}=100a+10b+d$，
去掉个位$d$得到的三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，
因此：
$\begin{aligned}G(N)&=(100b+10c+d)+(100a+10c+d)+(100a+10b+d)+(100a+10b+c)\\&=300a+120b+21c+3d\end{aligned}$
③ 代入$d=8-a$、$c=4-b$化简：
$\begin{aligned}G(N)&=300a+120b+21(4-b)+3(8-a)\\&=297a+99b+108\end{aligned}$
④ 由$G(N)$能被4整除：$297÷4$余1，$99÷4$余3，$108÷4$余0，因此$a+3b$需是4的倍数。
⑤ 枚举符合条件的数：各数位不为0，故$1≤ a≤7$，$1≤ b≤3$：
$b=1$时，$a+3$是4的倍数，$a=1$或5，对应N为1137、5133；
$b=2$时，$a+6$是4的倍数，$a=2$或6，对应N为2226、6222；
$b=3$时，$a+9$是4的倍数，$a=3$或7，对应N为3315、7311。
其中最大值为7311，最小值为1137，和为$7311+1137=8448$。
【答案】
(1) $\boxed{6438}$；(2) $\boxed{8448}$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、数的整除
【点评】
本题属于新定义类综合题，解题核心是准确理解新定义的运算规则，通过整式加减化简目标式，再结合整除性质和数位限制枚举所有可能结果，主要考察逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
17. [2026 安庆期末] 小东同学用若干张长为$x$ cm、宽为$y$ cm的长方形纸片(如图①)拼图，图②是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形$ABCD$，图③是在长方形$EFGH$中摆放9张长方形纸片.请你仔细观察所拼图形，解答下列问题.
(1)观察图②，写出$x$与$y$之间满足的关系式为
(2)观察图③，请你用含$x$的代数式表示长方形$EFGH$的周长；
(3)观察图③，若已知$x=10$，求图③中5个阴影图形的周长和.
(1)观察图②，写出$x$与$y$之间满足的关系式为
$y=3x$
(用含$x$的代数式表示$y$)；(2)观察图③，请你用含$x$的代数式表示长方形$EFGH$的周长；
(3)观察图③，若已知$x=10$，求图③中5个阴影图形的周长和.
答案
17.解：(1)$y=3x$
(2)根据题图③可知 $EF=y+2x=3x+2x=5x(cm)$，
$EH=2y+3x=6x+3x=9x(cm)$，
所以长方形$EFGH$的周长为 $2(5x+9x)=28x(cm)$.
(3)题图③中5个阴影图形的周长和为
$2×2(3x+3x-x)+2(2x+x)+2(x+x)+2(2x+2x)=20x+6x+4x+8x=38x(cm)$，
把$x=10$代入，得$38×10=380(cm)$.
答：5个阴影图形的周长和为380 cm.
(2)根据题图③可知 $EF=y+2x=3x+2x=5x(cm)$，
$EH=2y+3x=6x+3x=9x(cm)$，
所以长方形$EFGH$的周长为 $2(5x+9x)=28x(cm)$.
(3)题图③中5个阴影图形的周长和为
$2×2(3x+3x-x)+2(2x+x)+2(x+x)+2(2x+2x)=20x+6x+4x+8x=38x(cm)$，
把$x=10$代入，得$38×10=380(cm)$.
答：5个阴影图形的周长和为380 cm.
解析
【分析】
（1）观察图②的拼接特征，根据大长方形对边相等的性质，找到x与y对应的等量关系，整理为用x表示y的形式即可。
（2）先观察图③中长方形EFGH的长和宽的线段构成，代入（1）中得到的y与x的关系式，将长和宽都用含x的代数式表示，再根据长方形周长公式计算即可。
（3）先分别分析每个阴影图形的边长，分别计算各阴影的周长后求和，化简得到仅含x的代数式，最后将x=10代入求值即可。
【解析】
(1) 观察图②的拼接，可得线段等量关系：$y=3x$。
(2) 由图③可知：
长方形EFGH的长$EF = y + 2x$，将$y=3x$代入，得$EF=3x+2x=5x(\mathrm{cm})$；
长方形EFGH的宽$EH = 2y + 3x$，将$y=3x$代入，得$EH=2×3x + 3x = 9x(\mathrm{cm})$；
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得长方形EFGH的周长为：
$2×(5x + 9x) = 2×14x = 28x(\mathrm{cm})$。
(3) 计算5个阴影图形的周长和：
$\begin{aligned}&2×2(3x+3x-x)+2(2x+x)+2(x+x)+2(2x+2x)\\=&20x + 6x + 4x + 8x\\=&38x(\mathrm{cm})\end{aligned}$
将$x=10$代入$38x$，得$38×10 = 380(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)$y=3x$；(2)$28x$ cm；(3)$380$ cm
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题结合拼图情境考查整式的相关应用，解题核心是通过观察图形找到线段间的数量关系，再结合周长公式列式计算，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
（1）观察图②的拼接特征，根据大长方形对边相等的性质，找到x与y对应的等量关系，整理为用x表示y的形式即可。
（2）先观察图③中长方形EFGH的长和宽的线段构成，代入（1）中得到的y与x的关系式，将长和宽都用含x的代数式表示，再根据长方形周长公式计算即可。
（3）先分别分析每个阴影图形的边长，分别计算各阴影的周长后求和，化简得到仅含x的代数式，最后将x=10代入求值即可。
【解析】
(1) 观察图②的拼接，可得线段等量关系：$y=3x$。
(2) 由图③可知：
长方形EFGH的长$EF = y + 2x$，将$y=3x$代入，得$EF=3x+2x=5x(\mathrm{cm})$；
长方形EFGH的宽$EH = 2y + 3x$，将$y=3x$代入，得$EH=2×3x + 3x = 9x(\mathrm{cm})$；
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得长方形EFGH的周长为：
$2×(5x + 9x) = 2×14x = 28x(\mathrm{cm})$。
(3) 计算5个阴影图形的周长和：
$\begin{aligned}&2×2(3x+3x-x)+2(2x+x)+2(x+x)+2(2x+2x)\\=&20x + 6x + 4x + 8x\\=&38x(\mathrm{cm})\end{aligned}$
将$x=10$代入$38x$，得$38×10 = 380(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)$y=3x$；(2)$28x$ cm；(3)$380$ cm
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题结合拼图情境考查整式的相关应用，解题核心是通过观察图形找到线段间的数量关系，再结合周长公式列式计算，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
