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24. 阅读材料：对于任意实数，规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$. 例如：$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 × 4 - 2 × 3 = -2$.
（1）按照规定，请你计算$\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -2 & 8 \end{vmatrix}$的值；
（2）按照规定，请你计算当$\begin{vmatrix} x+\dfrac{1}{2} \end{vmatrix} + (y - 2)^2 = 0$时，$\begin{vmatrix} 2x^2 - y & x^2 + y \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$的值.
（1）按照规定，请你计算$\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -2 & 8 \end{vmatrix}$的值；
（2）按照规定，请你计算当$\begin{vmatrix} x+\dfrac{1}{2} \end{vmatrix} + (y - 2)^2 = 0$时，$\begin{vmatrix} 2x^2 - y & x^2 + y \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$的值.
答案
24. 解 (1) 原式$=5×8-6×(-2)=52.$
(2)根据题意，得 $x+\frac{1}{2}=0$，且 $y-2=0.$
解得 $x=-\frac{1}{2}$，$y=2.$
$\begin{vmatrix} 2x^2 - y & x^2 + y \\ 3 & -1 \end{vmatrix}=(2x^2-y)×(-1)-3(x^2+y)=-5x^2-2y.$
当 $x=-\frac{1}{2}$，$y=2$ 时，$-5x^2-2y=-5×(-\frac{1}{2})^2-2×2=-\frac{21}{4}.$
(2)根据题意，得 $x+\frac{1}{2}=0$，且 $y-2=0.$
解得 $x=-\frac{1}{2}$，$y=2.$
$\begin{vmatrix} 2x^2 - y & x^2 + y \\ 3 & -1 \end{vmatrix}=(2x^2-y)×(-1)-3(x^2+y)=-5x^2-2y.$
当 $x=-\frac{1}{2}$，$y=2$ 时，$-5x^2-2y=-5×(-\frac{1}{2})^2-2×2=-\frac{21}{4}.$
解析
【分析】
（1）本题第一问属于新定义运算的基础应用，只需直接套用题目给出的行列式运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，把对应数值代入后按照有理数混合运算法则计算即可。
（2）第二问首先根据非负数的性质：绝对值和平方数均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，先求出x、y的取值；再套用新定义运算规则将行列式展开，合并同类项化简为最简整式，最后代入x、y的值计算结果即可。
【解析】
（1）根据新定义的运算规则：
$\begin{vmatrix}5&6\\-2&8\end{vmatrix}=5×8 - 6×(-2)=40+12=52$
（2）$\because \left|x+\frac{1}{2}\right|≥0$，$(y-2)^2≥0$，且$\left|x+\frac{1}{2}\right|+(y-2)^2=0$
$\therefore \begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\y-2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=2\end{cases}$
根据新定义展开所求行列式：
$\begin{vmatrix}2x^2 - y&x^2 + y\\3&-1\end{vmatrix}=(2x^2 - y)×(-1) - 3(x^2 + y)$
去括号得：$-2x^2 + y - 3x^2 - 3y$
合并同类项得：$-5x^2 - 2y$
将$x=-\frac{1}{2}$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=-5×(-\frac{1}{2})^2 - 2×2=-5×\frac{1}{4} - 4=-\frac{21}{4}$
【答案】
（1）$\boxed{52}$；（2）$\boxed{-\dfrac{21}{4}}$
【知识点】
新定义运算，非负数的性质，整式化简求值
【点评】
本题是新定义类的常规题型，重点考查对新运算规则的理解和迁移应用能力，同时结合了非负数性质和整式运算的基础知识点，解题关键是准确套用新定义公式，按照运算规则逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
（1）本题第一问属于新定义运算的基础应用，只需直接套用题目给出的行列式运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，把对应数值代入后按照有理数混合运算法则计算即可。
（2）第二问首先根据非负数的性质：绝对值和平方数均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，先求出x、y的取值；再套用新定义运算规则将行列式展开，合并同类项化简为最简整式，最后代入x、y的值计算结果即可。
【解析】
（1）根据新定义的运算规则：
$\begin{vmatrix}5&6\\-2&8\end{vmatrix}=5×8 - 6×(-2)=40+12=52$
（2）$\because \left|x+\frac{1}{2}\right|≥0$，$(y-2)^2≥0$，且$\left|x+\frac{1}{2}\right|+(y-2)^2=0$
$\therefore \begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\y-2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=2\end{cases}$
根据新定义展开所求行列式：
$\begin{vmatrix}2x^2 - y&x^2 + y\\3&-1\end{vmatrix}=(2x^2 - y)×(-1) - 3(x^2 + y)$
去括号得：$-2x^2 + y - 3x^2 - 3y$
合并同类项得：$-5x^2 - 2y$
将$x=-\frac{1}{2}$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=-5×(-\frac{1}{2})^2 - 2×2=-5×\frac{1}{4} - 4=-\frac{21}{4}$
【答案】
（1）$\boxed{52}$；（2）$\boxed{-\dfrac{21}{4}}$
【知识点】
新定义运算，非负数的性质，整式化简求值
【点评】
本题是新定义类的常规题型，重点考查对新运算规则的理解和迁移应用能力，同时结合了非负数性质和整式运算的基础知识点，解题关键是准确套用新定义公式，按照运算规则逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
25. 为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场. 已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个.
(1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？
(2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了$m\%$，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出$m$的值.
(1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？
(2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了$m\%$，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出$m$的值.
答案
25. 解 (1)设 A 公司买了彩灯 $x$ 个，则买了射灯$(50-x)$个，
根据题意，得 $8x+12(50-x)=540$，
解得 $x=15$，所以 $50-x=35.$
答：A 公司买了彩灯 15 个，射灯 35 个.
(2)由题意可知 $8×50×(1-m\%)+12×80\%×30=608$，解得 $m=20.$
答：$m$ 的值为 20.
根据题意，得 $8x+12(50-x)=540$，
解得 $x=15$，所以 $50-x=35.$
答：A 公司买了彩灯 15 个，射灯 35 个.
(2)由题意可知 $8×50×(1-m\%)+12×80\%×30=608$，解得 $m=20.$
答：$m$ 的值为 20.
解析
【分析】
(1) 本题是一元一次方程的实际购买类问题，核心是抓住“总花费=彩灯总费用+射灯总费用”的等量关系。先设彩灯数量为x个，结合总购买数量为50个，可推出射灯数量为(50-x)个，再用各自数量乘单价求和等于总花费540元，列方程求解即可。
(2) 第二问先明确促销后的单价：彩灯降价m%后单价为$8×(1-m\%)$，射灯打八折后单价为$12×80\%$，再根据“50个彩灯的费用+30个射灯的费用=608元”的等量关系列方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设A公司买了彩灯$x$个，则买了射灯$(50-x)$个。
根据题意列方程：
$8x+12(50-x)=540$
展开得：$8x+600-12x=540$
移项合并同类项得：$-4x=-60$
解得：$x=15$
射灯数量为$50-15=35$（个）
(2) 根据题意列方程：
$8×50×(1-m\%)+12×80\%×30=608$
计算得：$400(1-m\%)+288=608$
移项得：$400(1-m\%)=320$
两边同除以400得：$1-m\%=0.8$
解得：$m=20$
【答案】
(1) A公司买了彩灯15个，射灯35个；(2) $m$的值为20
【知识点】
一元一次方程的应用；商品打折计算
【点评】
本题结合生活中的购物场景考查方程的实际应用，解题关键是准确梳理单价、数量、总价三者的关系，找到正确的等量关系列方程，整体计算量小，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是一元一次方程的实际购买类问题，核心是抓住“总花费=彩灯总费用+射灯总费用”的等量关系。先设彩灯数量为x个，结合总购买数量为50个，可推出射灯数量为(50-x)个，再用各自数量乘单价求和等于总花费540元，列方程求解即可。
(2) 第二问先明确促销后的单价：彩灯降价m%后单价为$8×(1-m\%)$，射灯打八折后单价为$12×80\%$，再根据“50个彩灯的费用+30个射灯的费用=608元”的等量关系列方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设A公司买了彩灯$x$个，则买了射灯$(50-x)$个。
根据题意列方程：
$8x+12(50-x)=540$
展开得：$8x+600-12x=540$
移项合并同类项得：$-4x=-60$
解得：$x=15$
射灯数量为$50-15=35$（个）
(2) 根据题意列方程：
$8×50×(1-m\%)+12×80\%×30=608$
计算得：$400(1-m\%)+288=608$
移项得：$400(1-m\%)=320$
两边同除以400得：$1-m\%=0.8$
解得：$m=20$
【答案】
(1) A公司买了彩灯15个，射灯35个；(2) $m$的值为20
【知识点】
一元一次方程的应用；商品打折计算
【点评】
本题结合生活中的购物场景考查方程的实际应用，解题关键是准确梳理单价、数量、总价三者的关系，找到正确的等量关系列方程，整体计算量小，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8
