8. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，$∠ BOC=150°$，将$△ BOC$绕点C按顺时针方向旋转得到$△ ADC$，连接OD，OA。
(1)求$∠ ODC$的度数；
(2)若$OB=2$，$OC=3$，求AO的长。

8.解:(1)由旋转的性质得
$CD=CO,∠ACD=∠BCO$。
$\because ∠ACB=60°$,
$\therefore ∠DCO=60°$,
$\therefore △OCD$为等边三角形，
$\therefore ∠ODC=60°$。
(2)由旋转的性质得$AD=OB=2$。
$\because △OCD$为等边三角形，
$\therefore OD=OC=3$。
$\because ∠BOC=∠ADC=150°,∠ODC=60°$,
$\therefore ∠ADO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AOD$中,由勾股定理得
$AO= \sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{13}$。

【分析】
(1) 求∠ODC的度数时，先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，结合等边三角形ABC的内角度数，推导出△OCD的顶角为60°，即可判定△OCD是等边三角形，进而得到∠ODC的度数。
(2) 求AO的长时，先通过旋转性质得到AD与OB相等，再结合(1)的结论得到OD与OC相等，接着通过角度计算得出△AOD是直角三角形，最后用勾股定理计算AO的长度即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质得：$CD=CO$，$∠ACD=∠BCO$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ACB=60°$，
$\therefore ∠DCO=∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=60°$，
$\therefore △ OCD$为等边三角形，
$\therefore ∠ODC=60°$。
(2) 由旋转的性质得：$AD=OB=2$，$∠ADC=∠BOC=150°$。
∵ $△ OCD$为等边三角形，$\therefore OD=OC=3$，
$\therefore ∠ADO=∠ADC - ∠ODC=150°-60°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△AOD$中，由勾股定理得：
$AO= \sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{13}}$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转类几何典型题，解题关键是利用旋转的性质实现边角关系的转化，结合等边三角形的性质构造直角三角形，最终用勾股定理求解线段长度，对几何转化思想有一定的考察。
【难度系数】
0.7

9.如图,在四边形ABCD中,已知∠DAB=60°,AB=AD,线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE,连接AC,ED。

(1)求证:$AC=DE$;
(2)若$DC=4$,$BC=6$,$∠DCB=30°$,求AC的长。

9.(1)证明:如图,连接 BD。
$\because ∠DAB=60°,AB=AD$,
$\therefore △ABD$是等边三角形，
$\therefore AB=DB,∠ABD=60°$。
$\because$线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BE，
$\therefore CB=EB,∠CBE=60°$,
$\therefore ∠ABC=∠DBE$。
在$△ABC$和$△DBE$中，
$\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ABC=∠DBE, \\ CB=EB, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DBE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AC=DE$。

(2)解:如图,连接 CE。
由$CB=EB,∠CBE=60°$,可得$△BCE$是等边三角形，
$\therefore ∠BCE=60°$。
又$\because ∠DCB=30°$,
$\therefore ∠DCE=90°$。
$\because DC=4,BC=6=CE$,
$\therefore \mathrm{Rt}△DCE$中,$DE=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$,
$\therefore AC=2\sqrt{13}$。

【分析】
（1）要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据已知∠DAB=60°且AB=AD，连接BD可得到等边△ABD，得出AB=DB、∠ABD=60°；再结合旋转的性质可得CB=EB、∠CBE=60°，进而推出∠ABC=∠DBE，满足SAS全等判定条件，证明△ABC≌△DBE即可得到AC=DE的结论。
（2）由（1）的结论可知AC=DE，因此只需计算DE的长度即可。根据旋转的性质，连接CE可得△BCE为等边三角形，因此CE=BC=6，且∠BCE=60°，结合已知∠DCB=30°可推出∠DCE=90°，即△DCE是直角三角形，利用勾股定理计算DE的长度，即为AC的长度。
【解析】
(1) 证明：如图，连接 BD。
$\because ∠DAB=60°,AB=AD$,
$\therefore △ABD$是等边三角形，
$\therefore AB=DB,∠ABD=60°$。
$\because$线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BE，
$\therefore CB=EB,∠CBE=60°$,
$\therefore ∠ABC=∠DBE$。
在$△ABC$和$△DBE$中，
$\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ABC=∠DBE, \\ CB=EB, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DBE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AC=DE$。

(2) 解：如图，连接 CE。
由$CB=EB,∠CBE=60°$,可得$△BCE$是等边三角形，
$\therefore ∠BCE=60°$。
又$\because ∠DCB=30°$,
$\therefore ∠DCE=90°$。
$\because DC=4,BC=6=CE$,
$\therefore \mathrm{Rt}△DCE$中,$DE=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$,
$\therefore AC=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明如上，$AC=DE$得证；
(2) $AC=2\sqrt{13}$

【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形和直角三角形，将待求线段转化为易求的线段，能够有效考查学生对几何核心知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$△ ACD$中,已知$∠ ACD=120°$,将$△ ACD$绕点$C$按逆时针方向旋转得到$△ BCE$,且$B,C,D$三点在一条直线上,$AC$与$BE$交于点$M$,$AD$与$CE$交于点$N$,连接$AB$,$DE$。求证:$CM=CN$。

10.证明:由旋转知$△ACD≌△BCE$,
$\therefore ∠CAD=∠CBE,AC=BC$。
$\because B,C,D$在一条直线上,$∠ACD=120°$,
$\therefore ∠ACB=∠ACE=∠DCE=60°$。
在$△CAN$与$△CBM$中，
$\begin{cases} ∠CAD=∠CBE, \\ AC=BC, \\ ∠ACN=∠BCM, \end{cases}$
$\therefore △CAN≌△CBM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CM=CN$。

【分析】
要证明CM=CN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等解决。首先结合旋转的性质，可得旋转前后的△ACD与△BCE全等，从而得到对应角、对应边相等的关系；再根据B、C、D共线和已知的∠ACD=120°，计算得出∠ACB、∠ACE的度数，得到一组相等的角；最后结合已得的边、角相等条件，利用ASA判定△CAN和△CBM全等，即可推出CM=CN。
【解析】
证明：由旋转的性质可知△ACD≌△BCE，
$\therefore ∠CAD=∠CBE,AC=BC$。
$\because B,C,D$三点在同一条直线上，$∠ ACD=120°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ ACD=60°$，又$\because ∠ BCE=∠ ACD=120°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE-∠ ACB=60°$，即$∠ ACN=∠ BCM=60°$。
在$△ CAN$与$△ CBM$中，
$\begin{cases} ∠CAD=∠CBE, \\ AC=BC, \\ ∠ACN=∠BCM, \end{cases}$
$\therefore △ CAN≌△ CBM(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CM=CN$。
【答案】
$CM=CN$
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形ASA判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的常规题型，解题核心是利用旋转的性质得到全等关系，进而挖掘出相等的边和角，再结合角度计算得到全等判定的条件，对基础逻辑推理能力有一定考察。
【难度系数】
0.7