11.将两块全等的三角尺按图(1)所示的方式摆放,其中$∠ A_1CB_1=∠ ACB=90°,∠ A_1=∠ A=30°$。
(1)将图(1)中的$△ A_1B_1C$绕点C顺时针旋转$45°$得图(2),点$P_1$是$A_1C$与AB的交点,点Q是$A_1B_1$与BC的交点,求证:$CP_1=CQ$;
(2)在图(2)中,若$AP_1=2$,则CQ等于多少?

11.(1)证明:$\because △A_1CB_1≌△ACB$,
$\therefore CA_1=CA$。
$\because$图(1)中的$△A_1B_1C$顺时针旋转 45°得图(2),
$\therefore ∠B_1CB=∠A_1CA=45°$,
$\therefore ∠BCA_1=45°$。
在$△CQA_1$和$△CP_1A$中，
$\begin{cases} ∠QCA_1=∠P_1CA, \\ CA_1=CA, \\ ∠A_1=∠A, \end{cases}$
$\therefore △CQA_1≌△CP_1A(\mathrm{ASA})$。
$\therefore CP_1=CQ$。
(2)解:如图,过点$P_1$作$P_1P⊥AC$于点 P。

在$\mathrm{Rt}△AP_1P$中，
$\because ∠A=30°$,
$\therefore P_1P=\frac{1}{2}AP_1=\frac{1}{2}×2=1$。
在$\mathrm{Rt}△CP_1P$中，
$\because ∠P_1CP=45°$,
$\therefore CP=P_1P=1$。
$\therefore CP_1=\sqrt{2}P_1P=\sqrt{2}$。
$\therefore CQ=CP_1=\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 要证$CP_1=CQ$，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先由两块三角尺全等可得$CA_1=CA$，再结合旋转的性质得到对应角相等，结合已知$∠ A_1=∠ A$，即可用ASA证明$△ CQA_1≌△ CP_1A$，从而得到对应边相等。
(2) 由(1)的结论可知$CQ=CP_1$，因此只需计算$CP_1$的长度即可。过$P_1$作$AC$的垂线构造直角三角形，先利用30°角直角三角形的性质求出$P_1P$的长度，再结合45°角等腰直角三角形的三边关系求出$CP_1$，即可得到$CQ$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ A_1CB_1≌△ ACB$，
$\therefore CA_1=CA$。
$\because$图(1)中的$△ A_1B_1C$绕点C顺时针旋转$45°$得到图(2)，
$\therefore ∠ B_1CB=∠ A_1CA=45°$，
$\therefore ∠ BCA_1=90°-45°=45°$，即$∠ QCA_1=∠ P_1CA$。
在$△ CQA_1$和$△ CP_1A$中：
$\begin{cases}∠ QCA_1=∠ P_1CA \\CA_1=CA \\∠ A_1=∠ A\end{cases}$
$\therefore △ CQA_1≌△ CP_1A(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CP_1=CQ$。
(2) 解：
过点$P_1$作$P_1P⊥ AC$于点P，如图所示：

在$\mathrm{Rt}△ AP_1P$中，$∠ A=30°$，
$\therefore P_1P=\frac{1}{2}AP_1=\frac{1}{2}×2=1$。
在$\mathrm{Rt}△ CP_1P$中，$∠ P_1CP=45°$，
$\therefore △ CP_1P$是等腰直角三角形，$CP=P_1P=1$，
由勾股定理得$CP_1=\sqrt{P_1P^2+CP^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
结合(1)的结论$CP_1=CQ$，可得$CQ=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $CP_1=CQ$，证明成立；
(2) $CQ=\sqrt{2}$，辅助线如图：

【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 旋转的性质
3. 特殊直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础知识点的应用，第一问是常规的全等证明题，难度较低；第二问的解题关键是通过作垂线构造特殊直角三角形，将已知条件和待求线段建立关联，能够锻炼学生的几何辅助线构造能力和推理计算能力。
【难度系数】
0.65

知识点 中心对称的概念
在平面内,如果把一个图形绕着某一点旋转,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称,这个点叫作它们的。

180°；对称中心

【分析】
本题考查中心对称的基础定义，属于概念识记类题目，解题时只需回忆中心对称概念的核心要素即可：首先明确两个图形成中心对称时的旋转角度，其次明确旋转所绕的点的名称，直接对应定义内容填空即可。
【解析】
根据中心对称的定义：在平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。因此第一个空填180°，第二个空填对称中心。
【答案】
180°；对称中心
【知识点】
中心对称的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对中心对称定义的记忆程度，熟练掌握基础概念是解决此类问题的关键，也是后续学习中心对称性质、中心对称图形等相关知识的基础。
【难度系数】
0.9

例1 如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上。
(1)写出点A,B,C的坐标;
(2)以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁,并写出点A₁,B₁,C₁的坐标。

[点拨] 此题主要考查点的坐标以及关于原点对称的点的坐标,关键是掌握关于原点对称的点的坐标的特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反。
[解] (1)A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1)。
(2)△A₁B₁C₁如图所示,A₁(-1,4),B₁(-5,4),C₁(-4,1)。

解：
(1) $A(1,-4)$，$B(5,-4)$，$C(4,-1)$。
(2) 分别描出点A、B、C关于原点O对称的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ ABC$关于原点O对称的$△ A_1B_1C_1$。
$A_1(-1,4)$，$B_1(-5,4)$，$C_1(-4,1)$。

【分析】
（1）求格点坐标时，先明确平面直角坐标系的坐标规则：横坐标是点对应x轴的数值，右正左负；纵坐标是点对应y轴的数值，上正下负，结合各点的格点位置就能直接写出坐标。
（2）绘制关于原点对称的三角形时，首先回忆原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数。先根据该规律求出三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接三个点就能得到对称图形，同时写出对称点的坐标即可。
【解析】
（1）观察坐标系中各点的位置：
点A对应x轴的数值为1，对应y轴的数值为-4，故A(1,-4)；
点B对应x轴的数值为5，对应y轴的数值为-4，故B(5,-4)；
点C对应x轴的数值为4，对应y轴的数值为-1，故C(4,-1)。
（2）根据原点对称的坐标特征，横、纵坐标均取原坐标的相反数，可得A、B、C的对称点坐标：
A₁(-1,4)，B₁(-5,4)，C₁(-4,1)。
在坐标系中分别描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得三角形即为所求的对称图形。
【答案】
(1) $A(1,-4)$，$B(5,-4)$，$C(4,-1)$。
(2) 分别描出点A、B、C关于原点O对称的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ ABC$关于原点O对称的$△ A_1B_1C_1$。
$A_1(-1,4)$，$B_1(-5,4)$，$C_1(-4,1)$。
【知识点】
1. 格点坐标确定
2. 原点对称的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，重点考查坐标识别和中心对称的坐标变换规律，牢记关于原点对称的点横纵坐标均变号的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9