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8. (★)如图,已知阴影部分图形是以点O为对称中心的中心对称图形,且OA=3,△ABC的高OB=2,则△ABC的面积为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题第一步先回忆中心对称图形的性质：中心对称图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。已知O是对称中心，A和C是对应点，因此可推出OC=OA，先算出底边AC的长度；题目已经明确给出OB是△ABC的高，长度为2，最后代入三角形面积公式就能算出△ABC的面积。
【解析】
∵ 阴影部分图形是以点O为对称中心的中心对称图形，
∴ 点A与点C关于点O中心对称，
∴ $OC = OA = 3$，
∴ $AC = OA + OC = 3 + 3 = 6$，
又
∵ OB是△ABC的高，且$OB=2$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × OB = \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查中心对称性质的简单应用，解题的关键是利用中心对称的性质求出三角形底边的长度，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题第一步先回忆中心对称图形的性质：中心对称图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。已知O是对称中心，A和C是对应点，因此可推出OC=OA，先算出底边AC的长度；题目已经明确给出OB是△ABC的高，长度为2，最后代入三角形面积公式就能算出△ABC的面积。
【解析】
∵ 阴影部分图形是以点O为对称中心的中心对称图形，
∴ 点A与点C关于点O中心对称，
∴ $OC = OA = 3$，
∴ $AC = OA + OC = 3 + 3 = 6$，
又
∵ OB是△ABC的高，且$OB=2$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × OB = \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查中心对称性质的简单应用，解题的关键是利用中心对称的性质求出三角形底边的长度，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
9. (★)下列图形属于中心对称图形的是 【 】
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确中心对称图形的判定标准：平面内一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。接下来依次对四个选项的图形进行验证，逐一判断各图形旋转180°后是否和原图一致，即可选出正确答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合的，就是中心对称图形。
对各选项逐一判断：
A. 赵爽弦图绕其中心旋转180°后，所有部分都能和原图形对应重合，属于中心对称图形；
B. 七巧板旋转180°后，内部小三角形等板块的位置与原图形不符，无法重合，不属于中心对称图形；
C. 洛书的黑白圆点位置分布有特定规律，旋转180°后圆点的排布和原图案不一致，不属于中心对称图形；
D. 三角图案整体尖端朝上，旋转180°后尖端朝下，和原图形不重合，不属于中心对称图形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形识别
【点评】
本题是基础题型，主要考查中心对称图形的判定，解题核心是抓住“旋转180°后与原图形重合”这一关键判定依据，平时学习中要熟记常见特色图形的对称性。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确中心对称图形的判定标准：平面内一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。接下来依次对四个选项的图形进行验证，逐一判断各图形旋转180°后是否和原图一致，即可选出正确答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合的，就是中心对称图形。
对各选项逐一判断：
A. 赵爽弦图绕其中心旋转180°后，所有部分都能和原图形对应重合，属于中心对称图形；
B. 七巧板旋转180°后，内部小三角形等板块的位置与原图形不符，无法重合，不属于中心对称图形；
C. 洛书的黑白圆点位置分布有特定规律，旋转180°后圆点的排布和原图案不一致，不属于中心对称图形；
D. 三角图案整体尖端朝上，旋转180°后尖端朝下，和原图形不重合，不属于中心对称图形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形识别
【点评】
本题是基础题型，主要考查中心对称图形的判定，解题核心是抓住“旋转180°后与原图形重合”这一关键判定依据，平时学习中要熟记常见特色图形的对称性。
【难度系数】
0.8
10. (★★)如图,在$4×4$的正方形网格中选择一个空白小正方形,使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的有【 】
A.①②
B.①③
C.①④
D.①②③
A.①②
B.①③
C.①④
D.①②③
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一定点旋转180°，如果旋转后的图形能和自身完全重合，这个图形就是中心对称图形。解题时我们以4×4网格的中心为旋转中心，逐个判断将四个空白小正方形涂黑后，整体图形旋转180°是否能与原图形重合即可。
【解析】
1. 验证①：将位置①的空白正方形涂黑，把整个阴影图形绕网格中心旋转180°，旋转后的图形与涂黑后的图形完全重合，符合中心对称图形要求。
2. 验证②：将位置②的空白正方形涂黑，旋转180°后，②的对应位置没有阴影，图形无法重合，不符合要求。
3. 验证③：将位置③的空白正方形涂黑，把整个阴影图形绕网格中心旋转180°，旋转后的图形与涂黑后的图形完全重合，符合中心对称图形要求。
4. 验证④：将位置④的空白正方形涂黑，旋转180°后，④的对应位置没有阴影，图形无法重合，不符合要求。
综上，符合要求的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题考查中心对称图形的判定，解题关键是牢记中心对称图形的定义，掌握“绕中心旋转180°后与自身重合”的判断方法，做题时也可以直接将试卷倒置，观察倒置后的阴影是否和原阴影一致来快速判断。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一定点旋转180°，如果旋转后的图形能和自身完全重合，这个图形就是中心对称图形。解题时我们以4×4网格的中心为旋转中心，逐个判断将四个空白小正方形涂黑后，整体图形旋转180°是否能与原图形重合即可。
【解析】
1. 验证①：将位置①的空白正方形涂黑，把整个阴影图形绕网格中心旋转180°，旋转后的图形与涂黑后的图形完全重合，符合中心对称图形要求。
2. 验证②：将位置②的空白正方形涂黑，旋转180°后，②的对应位置没有阴影，图形无法重合，不符合要求。
3. 验证③：将位置③的空白正方形涂黑，把整个阴影图形绕网格中心旋转180°，旋转后的图形与涂黑后的图形完全重合，符合中心对称图形要求。
4. 验证④：将位置④的空白正方形涂黑，旋转180°后，④的对应位置没有阴影，图形无法重合，不符合要求。
综上，符合要求的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题考查中心对称图形的判定，解题关键是牢记中心对称图形的定义，掌握“绕中心旋转180°后与自身重合”的判断方法，做题时也可以直接将试卷倒置，观察倒置后的阴影是否和原阴影一致来快速判断。
【难度系数】
0.7
11.(★★)如图,在由边长为1的小正方形组成的6×6网格中,A,B,C都是格点(网格线的交点).若点D也在格点上,且由A,B,C,D组成的四边形是中心对称图形,则点D的位置有
【 】
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
【 】
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
答案
C
解析
【分析】
首先回忆中心对称图形的性质：平行四边形是典型的中心对称图形，因此本题可转化为以A、B、C为顶点构造平行四边形，寻找第四个格点D的个数。已知三个顶点构造平行四边形时，我们可以分类讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，根据中心对称的性质，将第三个顶点绕对角线中点旋转180°就能得到对应的D点，最后验证D点是否为格点即可。
【解析】
要使A、B、C、D组成的四边形为中心对称图形，该四边形为平行四边形（平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点），分三种情况讨论：
1. 以AB为平行四边形的对角线：取AB的中点，将点C绕该中点旋转180°，得到的格点为符合要求的D₁；
2. 以AC为平行四边形的对角线：取AC的中点，将点B绕该中点旋转180°，得到的格点为符合要求的D₂；
3. 以BC为平行四边形的对角线：取BC的中点，将点A绕该中点旋转180°，得到的格点为符合要求的D₃。
综上，符合条件的点D共有3处。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形的判定；平行四边形的性质；格点作图
【点评】
本题解题的核心是将中心对称四边形的构造转化为平行四边形的构造，通过分类讨论三条边分别作为对角线的情况，避免漏解，能较好考查学生的分类讨论思想和作图能力。
【难度系数】
0.6
首先回忆中心对称图形的性质：平行四边形是典型的中心对称图形，因此本题可转化为以A、B、C为顶点构造平行四边形，寻找第四个格点D的个数。已知三个顶点构造平行四边形时，我们可以分类讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，根据中心对称的性质，将第三个顶点绕对角线中点旋转180°就能得到对应的D点，最后验证D点是否为格点即可。
【解析】
要使A、B、C、D组成的四边形为中心对称图形，该四边形为平行四边形（平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点），分三种情况讨论：
1. 以AB为平行四边形的对角线：取AB的中点，将点C绕该中点旋转180°，得到的格点为符合要求的D₁；
2. 以AC为平行四边形的对角线：取AC的中点，将点B绕该中点旋转180°，得到的格点为符合要求的D₂；
3. 以BC为平行四边形的对角线：取BC的中点，将点A绕该中点旋转180°，得到的格点为符合要求的D₃。
综上，符合条件的点D共有3处。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形的判定；平行四边形的性质；格点作图
【点评】
本题解题的核心是将中心对称四边形的构造转化为平行四边形的构造，通过分类讨论三条边分别作为对角线的情况，避免漏解，能较好考查学生的分类讨论思想和作图能力。
【难度系数】
0.6
12. (★★)如图，O是正方形ABCD的中心，M是正方形ABCD内一点，∠DMC=90°，将△DMC绕点O旋转180°后得到△BNA.若MD=3，CM=4，则MN的长为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路进行：①先利用旋转180°（中心对称）的性质，得到△BNA与△DMC全等，对应边、对应角相等，且M与N关于O对称，即O是MN中点，M、O、N共线；②在Rt△DMC中用勾股定理求出正方形的边长CD=5；③通过建立平面直角坐标系，求出M点坐标，再利用中心对称的坐标规律求出N点坐标，最后用两点间距离公式计算MN的长度即可。
【解析】
1. 由旋转180°的性质可得：△BNA≌△DMC，因此AN=CM=4，BN=MD=3，∠ANB=∠DMC=90°，且点M、O、N共线，O为MN的中点。
2. 在Rt△DMC中，MD=3，CM=4，根据勾股定理得：$CD=\sqrt{MD^2+CM^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即正方形ABCD的边长为5。
3. 建立平面直角坐标系：设B(0,0)，C(5,0)，D(5,5)，A(0,5)，则正方形中心O的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$。
4. 求点M坐标：过M作MH⊥CD于点H，在Rt△DMC中，由射影定理得$CH=\frac{CM^2}{CD}=\frac{16}{5}$，$MH=\frac{CM· MD}{CD}=\frac{12}{5}$，因M在正方形内部，故M的横坐标为$5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$，纵坐标为$CH=\frac{16}{5}$，即$M(\frac{13}{5},\frac{16}{5})$。
5. 因N是M关于O的对称点，由中点坐标规律：若点$(x,y)$关于$(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$的对称点为$(5-x,5-y)$，得N的坐标为$(5-\frac{13}{5},5-\frac{16}{5})=(\frac{12}{5},\frac{9}{5})$。
6. 由两点间距离公式计算MN：
$MN=\sqrt{(\frac{13}{5}-\frac{12}{5})^2+(\frac{16}{5}-\frac{9}{5})^2}=\sqrt{(\frac{1}{5})^2+(\frac{7}{5})^2}=\sqrt{\frac{1+49}{25}}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，中心对称的性质
【点评】
本题综合考查了旋转、中心对称的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用中心对称的特征找到对应点的关系，通过建立坐标系的方法可以将几何计算转化为代数运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路进行：①先利用旋转180°（中心对称）的性质，得到△BNA与△DMC全等，对应边、对应角相等，且M与N关于O对称，即O是MN中点，M、O、N共线；②在Rt△DMC中用勾股定理求出正方形的边长CD=5；③通过建立平面直角坐标系，求出M点坐标，再利用中心对称的坐标规律求出N点坐标，最后用两点间距离公式计算MN的长度即可。
【解析】
1. 由旋转180°的性质可得：△BNA≌△DMC，因此AN=CM=4，BN=MD=3，∠ANB=∠DMC=90°，且点M、O、N共线，O为MN的中点。
2. 在Rt△DMC中，MD=3，CM=4，根据勾股定理得：$CD=\sqrt{MD^2+CM^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即正方形ABCD的边长为5。
3. 建立平面直角坐标系：设B(0,0)，C(5,0)，D(5,5)，A(0,5)，则正方形中心O的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$。
4. 求点M坐标：过M作MH⊥CD于点H，在Rt△DMC中，由射影定理得$CH=\frac{CM^2}{CD}=\frac{16}{5}$，$MH=\frac{CM· MD}{CD}=\frac{12}{5}$，因M在正方形内部，故M的横坐标为$5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$，纵坐标为$CH=\frac{16}{5}$，即$M(\frac{13}{5},\frac{16}{5})$。
5. 因N是M关于O的对称点，由中点坐标规律：若点$(x,y)$关于$(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$的对称点为$(5-x,5-y)$，得N的坐标为$(5-\frac{13}{5},5-\frac{16}{5})=(\frac{12}{5},\frac{9}{5})$。
6. 由两点间距离公式计算MN：
$MN=\sqrt{(\frac{13}{5}-\frac{12}{5})^2+(\frac{16}{5}-\frac{9}{5})^2}=\sqrt{(\frac{1}{5})^2+(\frac{7}{5})^2}=\sqrt{\frac{1+49}{25}}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，中心对称的性质
【点评】
本题综合考查了旋转、中心对称的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用中心对称的特征找到对应点的关系，通过建立坐标系的方法可以将几何计算转化为代数运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
13. (★★)如图是由边长为1的小正三角形构成的网格,图中有3个小正三角形已涂上阴影. 请在余下的空白小正三角形中,选取1个涂上阴影,使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形. (只需画出符合条件的一种情形即可)
答案
解：
选取位于已有的下方阴影小正三角形的右上方、与其相邻的尖朝上的空白小正三角形涂上阴影，所得的4个阴影小正三角形组成的图形绕正六边形网格的中心旋转180°后与自身完全重合，是符合要求的中心对称图形。
（注：该涂法为符合条件的任意一种，其余满足中心对称要求的涂法也正确。）
选取位于已有的下方阴影小正三角形的右上方、与其相邻的尖朝上的空白小正三角形涂上阴影，所得的4个阴影小正三角形组成的图形绕正六边形网格的中心旋转180°后与自身完全重合，是符合要求的中心对称图形。
（注：该涂法为符合条件的任意一种，其余满足中心对称要求的涂法也正确。）
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。解题思路如下：第一步，先确定整个正六边形网格的对称中心，即正六边形的几何中心；第二步，观察已有的3个阴影小正三角形，寻找一个空白小正三角形，涂色后4个阴影组成的整体绕该中心旋转180°能与自身重合，可通过找阴影三角形旋转180°后的对应位置判断符合要求的空白位置。
【解析】
首先确定正六边形网格的中心为对称中心。观察现有3个阴影小正三角形，选取位于已有的下方阴影小正三角形的右上方、与其相邻的尖朝上的空白小正三角形涂上阴影。将得到的4个阴影小正三角形组成的图形绕网格中心旋转180°，可发现旋转后的图形与原图形完全重合，符合中心对称图形的要求。其余满足旋转180°后与自身重合的涂法均正确。
【答案】
选取位于已有的下方阴影小正三角形的右上方、与其相邻的尖朝上的空白小正三角形涂上阴影即可（其余符合中心对称要求的涂法也正确）
【知识点】
1. 中心对称图形的判定
2. 网格作图
【点评】
本题结合正三角形网格考查中心对称图形的相关知识，需要学生灵活运用中心对称的特征找到合适的作图位置，有助于提升学生的图形观察能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。解题思路如下：第一步，先确定整个正六边形网格的对称中心，即正六边形的几何中心；第二步，观察已有的3个阴影小正三角形，寻找一个空白小正三角形，涂色后4个阴影组成的整体绕该中心旋转180°能与自身重合，可通过找阴影三角形旋转180°后的对应位置判断符合要求的空白位置。
【解析】
首先确定正六边形网格的中心为对称中心。观察现有3个阴影小正三角形，选取位于已有的下方阴影小正三角形的右上方、与其相邻的尖朝上的空白小正三角形涂上阴影。将得到的4个阴影小正三角形组成的图形绕网格中心旋转180°，可发现旋转后的图形与原图形完全重合，符合中心对称图形的要求。其余满足旋转180°后与自身重合的涂法均正确。
【答案】
选取位于已有的下方阴影小正三角形的右上方、与其相邻的尖朝上的空白小正三角形涂上阴影即可（其余符合中心对称要求的涂法也正确）
【知识点】
1. 中心对称图形的判定
2. 网格作图
【点评】
本题结合正三角形网格考查中心对称图形的相关知识，需要学生灵活运用中心对称的特征找到合适的作图位置，有助于提升学生的图形观察能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
