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14. (★★)请仅用无刻度直尺按要求作图(保留作图痕迹,不写作法,题目要求画的线画实线,其他的线画虚线):
(1)如图①,在▱ABCD中,E为AB边上一点,在CD上找点F,使得CF=AE;
(2)如图②,在▱ABCD中挖去一个矩形,准确作出一条直线将剩下图形的面积平分.
(1)如图①,在▱ABCD中,E为AB边上一点,在CD上找点F,使得CF=AE;
(2)如图②,在▱ABCD中挖去一个矩形,准确作出一条直线将剩下图形的面积平分.
答案
解：
(1) 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两线交于点O，连接EO并延长交CD于点F，点F即为所求，其中AC、BD为虚线，EF为实线。
(2) 作平行四边形ABCD的两条对角线，得到平行四边形的对称中心$O_1$；作挖去的小矩形的两条对角线，得到小矩形的对称中心$O_2$，过$O_1$、$O_2$作直线，该直线即为所求的平分剩余图形面积的直线，其中两个图形的对角线为虚线，过$O_1O_2$的直线为实线。
(1) 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两线交于点O，连接EO并延长交CD于点F，点F即为所求，其中AC、BD为虚线，EF为实线。
(2) 作平行四边形ABCD的两条对角线，得到平行四边形的对称中心$O_1$；作挖去的小矩形的两条对角线，得到小矩形的对称中心$O_2$，过$O_1$、$O_2$作直线，该直线即为所求的平分剩余图形面积的直线，其中两个图形的对角线为虚线，过$O_1O_2$的直线为实线。
解析
【分析】
(1) 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，经过对称中心的直线与一组对边相交得到的对应线段相等。要得到CF=AE，先找到平行四边形的对称中心，再连接E与对称中心并延长交CD，所得交点即为所求的F。
(2) 过中心对称图形对称中心的直线可平分该图形的面积。剩余图形是平行四边形挖去矩形得到的，二者均为中心对称图形，因此只需作出两个图形的对称中心，过两个对称中心作直线，该直线可同时平分平行四边形和矩形的面积，即可平分剩余部分的面积。
【解析】
(1) 首先用虚线连接▱ABCD的对角线AC、BD，两线互相平分，交点O是平行四边形的对称中心；再用实线连接EO并延长，交CD于点F，根据中心对称的性质，对应线段AE=CF，点F即为所求。
(2) 先用虚线作▱ABCD的两条对角线，交点$O_1$是平行四边形的对称中心；再用虚线作挖去的小矩形的两条对角线，交点$O_2$是矩形的对称中心；最后用实线过$O_1$、$O_2$作直线，这条直线同时平分平行四边形和矩形的面积，因此可平分剩余图形的面积，即为所求直线。
【答案】
(1) 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，点F即为所求（AC、BD画虚线，EF画实线）；
(2) 分别作平行四边形ABCD的对角线得对称中心$O_1$，作挖去的小矩形的对角线得对称中心$O_2$，过$O_1$、$O_2$作直线，该直线即为所求（两个图形的对角线画虚线，过$O_1O_2$的直线画实线）。
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，侧重考查对图形对称性的理解与灵活应用，解题核心是掌握“过中心对称图形对称中心的直线平分其面积”的规律，能有效锻炼几何逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
(1) 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，经过对称中心的直线与一组对边相交得到的对应线段相等。要得到CF=AE，先找到平行四边形的对称中心，再连接E与对称中心并延长交CD，所得交点即为所求的F。
(2) 过中心对称图形对称中心的直线可平分该图形的面积。剩余图形是平行四边形挖去矩形得到的，二者均为中心对称图形，因此只需作出两个图形的对称中心，过两个对称中心作直线，该直线可同时平分平行四边形和矩形的面积，即可平分剩余部分的面积。
【解析】
(1) 首先用虚线连接▱ABCD的对角线AC、BD，两线互相平分，交点O是平行四边形的对称中心；再用实线连接EO并延长，交CD于点F，根据中心对称的性质，对应线段AE=CF，点F即为所求。
(2) 先用虚线作▱ABCD的两条对角线，交点$O_1$是平行四边形的对称中心；再用虚线作挖去的小矩形的两条对角线，交点$O_2$是矩形的对称中心；最后用实线过$O_1$、$O_2$作直线，这条直线同时平分平行四边形和矩形的面积，因此可平分剩余图形的面积，即为所求直线。
【答案】
(1) 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，点F即为所求（AC、BD画虚线，EF画实线）；
(2) 分别作平行四边形ABCD的对角线得对称中心$O_1$，作挖去的小矩形的对角线得对称中心$O_2$，过$O_1$、$O_2$作直线，该直线即为所求（两个图形的对角线画虚线，过$O_1O_2$的直线画实线）。
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，侧重考查对图形对称性的理解与灵活应用，解题核心是掌握“过中心对称图形对称中心的直线平分其面积”的规律，能有效锻炼几何逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
15. (★★★)如图是由五个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中四个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度为。
答案
解：
该图形由5个边长为1的小正方形组成，总面积为$5$，因此剪成的两部分每部分面积为$\frac{5}{2}$。
过点$P$作满足平分面积要求的直线，可得剪痕两端点的水平距离为$3$，竖直距离为$1$。
根据勾股定理，剪痕的长度为$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$
该图形由5个边长为1的小正方形组成，总面积为$5$，因此剪成的两部分每部分面积为$\frac{5}{2}$。
过点$P$作满足平分面积要求的直线，可得剪痕两端点的水平距离为$3$，竖直距离为$1$。
根据勾股定理，剪痕的长度为$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时首先从面积平分的要求入手：第一步先计算整个图形的总面积，即可得到平分后每部分需要达到的面积；接下来找过点P且满足平分面积要求的直线，确定这条直线与图形边界的两个交点的位置，得到两个交点在水平、竖直方向的距离差，最后利用勾股定理就能算出剪痕的长度。
【解析】
1. 计算总面积：图形由5个边长为1的小正方形拼成，每个小正方形面积为1，因此总面积为$5×1=5$。要剪成面积相等的两部分，每部分的面积为$\frac{5}{2}$。
2. 确定剪痕端点的位置：过点P作平分面积的直线，观察可得剪痕两个端点的水平距离为3，竖直距离为1。
3. 用勾股定理计算剪痕长度：$\mathrm{剪痕长度}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
面积平分，勾股定理，图形裁剪
【点评】
本题结合图形裁剪问题，考查了面积平分的性质和勾股定理的实际应用，解题的关键是准确找到满足面积平分要求的剪痕的端点位置，需要一定的空间观察能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从面积平分的要求入手：第一步先计算整个图形的总面积，即可得到平分后每部分需要达到的面积；接下来找过点P且满足平分面积要求的直线，确定这条直线与图形边界的两个交点的位置，得到两个交点在水平、竖直方向的距离差，最后利用勾股定理就能算出剪痕的长度。
【解析】
1. 计算总面积：图形由5个边长为1的小正方形拼成，每个小正方形面积为1，因此总面积为$5×1=5$。要剪成面积相等的两部分，每部分的面积为$\frac{5}{2}$。
2. 确定剪痕端点的位置：过点P作平分面积的直线，观察可得剪痕两个端点的水平距离为3，竖直距离为1。
3. 用勾股定理计算剪痕长度：$\mathrm{剪痕长度}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
面积平分，勾股定理，图形裁剪
【点评】
本题结合图形裁剪问题，考查了面积平分的性质和勾股定理的实际应用，解题的关键是准确找到满足面积平分要求的剪痕的端点位置，需要一定的空间观察能力。
【难度系数】
0.6
16. (★★★)下面是三名同学在4×4的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分,请将图①中的图案补成既是轴对称图形,又是中心对称图形;将图②中的图案补成中心对称图形;在图③中设计一个图案,使其是中心对称图形,但不是轴对称图形.
①
②
③
①
②
③
答案
解：
本题答案不唯一，以下为符合要求的一种设计方案：
1. 补全图①：以4×4网格的左上顶点到右下顶点的对角线为对称轴，画出已知阴影叶片的轴对称图形并填充为阴影，所得图案沿该对角线折叠后完全重合，同时绕网格中心旋转180°后也与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形。
2. 补全图②：找到4×4网格的几何中心，将已知的阴影三角形绕该中心旋转180°，将旋转后得到的对应三角形区域填充为阴影，所得图形绕网格中心旋转180°后与原图形完全重合，是中心对称图形。
3. 设计图③：将第1行第1格、第1行第2格、第2行第4格、第3行第1格、第4行第3格、第4行第4格填充为阴影，该图形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，且不存在任何一条直线使图形沿其折叠后两侧完全重合，满足是中心对称图形但不是轴对称图形的要求。
本题答案不唯一，以下为符合要求的一种设计方案：
1. 补全图①：以4×4网格的左上顶点到右下顶点的对角线为对称轴，画出已知阴影叶片的轴对称图形并填充为阴影，所得图案沿该对角线折叠后完全重合，同时绕网格中心旋转180°后也与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形。
2. 补全图②：找到4×4网格的几何中心，将已知的阴影三角形绕该中心旋转180°，将旋转后得到的对应三角形区域填充为阴影，所得图形绕网格中心旋转180°后与原图形完全重合，是中心对称图形。
3. 设计图③：将第1行第1格、第1行第2格、第2行第4格、第3行第1格、第4行第3格、第4行第4格填充为阴影，该图形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，且不存在任何一条直线使图形沿其折叠后两侧完全重合，满足是中心对称图形但不是轴对称图形的要求。
解析
【分析】
解题前先明确两类对称图形的定义：1.轴对称图形：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；2.中心对称图形：绕某一定点旋转180°后能与自身重合。再按要求分别处理三幅图：①要同时满足两种对称，可先确定4×4网格的对称轴与对称中心，先画出已知阴影的轴对称图形，再验证旋转180°后与自身重合即可；②仅要求中心对称，找到网格的对称中心，将已知阴影三角形绕中心旋转180°，画出对应图形填充即可；③要求是中心对称但不是轴对称，设计图案时保证旋转180°与自身重合，且不存在可使图形对折重合的直线即可，答案不唯一。
【解析】
本题为开放性作图题，以下为符合要求的参考设计方案：
1. 补全图①：以4×4网格左上顶点到右下顶点的对角线为对称轴，画出已知阴影叶片的轴对称图形并填充阴影，所得图案沿该对角线折叠后完全重合，同时绕网格中心旋转180°也与自身重合，满足既是轴对称图形又是中心对称图形的要求。
2. 补全图②：找到4×4网格的几何中心（网格两条对角线的交点），将已知的阴影三角形绕该中心旋转180°，将旋转后得到的对应三角形区域填充为阴影，所得图形绕网格中心旋转180°后与原图形完全重合，是中心对称图形。
3. 设计图③：示例：将第1行第1格、第1行第2格、第2行第4格、第3行第1格、第4行第3格、第4行第4格填充为阴影，该图形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，且不存在任何一条直线使图形沿其折叠后两侧完全重合，满足是中心对称图形但不是轴对称图形的要求。
【答案】
答案不唯一，符合对应对称要求即可，参考设计见解析。
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称、中心对称图形概念的理解与应用能力，以及动手作图能力，解题时紧扣两类对称图形的本质特征作图即可，无需局限于固定答案。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两类对称图形的定义：1.轴对称图形：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；2.中心对称图形：绕某一定点旋转180°后能与自身重合。再按要求分别处理三幅图：①要同时满足两种对称，可先确定4×4网格的对称轴与对称中心，先画出已知阴影的轴对称图形，再验证旋转180°后与自身重合即可；②仅要求中心对称，找到网格的对称中心，将已知阴影三角形绕中心旋转180°，画出对应图形填充即可；③要求是中心对称但不是轴对称，设计图案时保证旋转180°与自身重合，且不存在可使图形对折重合的直线即可，答案不唯一。
【解析】
本题为开放性作图题，以下为符合要求的参考设计方案：
1. 补全图①：以4×4网格左上顶点到右下顶点的对角线为对称轴，画出已知阴影叶片的轴对称图形并填充阴影，所得图案沿该对角线折叠后完全重合，同时绕网格中心旋转180°也与自身重合，满足既是轴对称图形又是中心对称图形的要求。
2. 补全图②：找到4×4网格的几何中心（网格两条对角线的交点），将已知的阴影三角形绕该中心旋转180°，将旋转后得到的对应三角形区域填充为阴影，所得图形绕网格中心旋转180°后与原图形完全重合，是中心对称图形。
3. 设计图③：示例：将第1行第1格、第1行第2格、第2行第4格、第3行第1格、第4行第3格、第4行第4格填充为阴影，该图形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，且不存在任何一条直线使图形沿其折叠后两侧完全重合，满足是中心对称图形但不是轴对称图形的要求。
【答案】
答案不唯一，符合对应对称要求即可，参考设计见解析。
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称、中心对称图形概念的理解与应用能力，以及动手作图能力，解题时紧扣两类对称图形的本质特征作图即可，无需局限于固定答案。
【难度系数】
0.7
