9. 如图是一个长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）.有一正方形的周长与该长方形的周长相等，用含m的代数式表示正方形的边长a.

9. 解:(1)因为长方形的周长为$2(m+4+m+6)=4m+20$,
所以$a=\frac{1}{4}(4m+20)=m+5$.
答:正方形的边长为$m+5$.

【分析】
解题时先明确等量关系：正方形周长=长方形周长。要得到正方形边长，需先计算长方形的周长：第一步根据长方形周长公式“长方形周长=2×(长+宽)”，代入图中给出的长和宽的代数式计算出长方形周长；第二步根据正方形周长公式“正方形周长=4×边长”，可得边长=周长÷4，将求得的长方形周长代入化简，即可得到a的表达式。
【解析】
首先计算长方形的周长：
已知长方形的长为$m+6$，宽为$m+4$，根据长方形周长公式可得：
$C_{\mathrm{长方形}}=2×(长+宽)=2[(m+6)+(m+4)]=2(2m+10)=4m+20$
因为正方形周长与长方形周长相等，即$C_{\mathrm{正方形}}=4a=4m+20$，
等式两边同时除以4，得：
$a=\frac{4m+20}{4}=m+5$
【答案】
正方形的边长$a$为$m+5$
【知识点】
长方形周长计算、正方形周长计算、整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，核心是抓住“正方形周长与长方形周长相等”这一等量关系，结合周长公式列式计算即可，解题时要注意整式加减运算的准确性。
【难度系数】
0.9

10.如图，小明和小美在做数学游戏.

(1)若小美给出的数是421，则得到的结果是；
(2)假设小美给出的三位数的百位数字为a，个位数字为b，请解释其中的原因.

10.(1)180
(2)解:由百位数字为a,个位数字是b,得
十位数字是$(a-2)$,
所以这个三位数是:$100a+10(a-2)+b=110a+b-20$.
则百位数字与十位数字交换后的三位数为:$100(a-2)+10a+b=110a+b-200$.
又$(110a+b-20)-(110a+b-200)=180$,
所以无论小美写的三位数是几,最后的结果都是180.

【分析】
（1）第一问按照游戏规则操作即可：先交换给定三位数百位和十位数字得到新数，再用较大数减去较小数就能算出结果；
（2）第二问先根据“百位数字比十位数字大2”推出十位数字的表达式，再依据三位数的构成规律（百位数字×100+十位数字×10+个位数字），用含a、b的代数式分别表示出原三位数和交换百位、十位后的三位数，最后将两个数作差，通过整式加减化简，若结果为常数，就能说明最终结果和选取的三位数无关。
【解析】
(1) 小美给出的数是421，交换百位数字4和十位数字2，得到新三位数241，计算两数的差：
$421-241=180$
(2) 设原三位数百位数字为$a$，个位数字为$b$：
∵ 百位数字比十位数字大2，
∴ 十位数字为$a-2$，
原三位数可表示为：$100a+10(a-2)+b=110a+b-20$，
交换百位和十位数字后的三位数可表示为：$100(a-2)+10a+b=110a+b-200$，
两数作差得：
$\begin{split}&(110a+b-20)-(110a+b-200)\\=&110a+b-20-110a-b+200\\=&180\end{split}$
因此无论小美写的三位数是多少，最终计算结果都是固定值。
【答案】
(1) $\boxed{180}$
(2) 最终结果恒为180，与选取的三位数无关，原因见上述解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；数的表示
【点评】
本题结合趣味游戏考查整式加减的应用，解题关键是掌握多位数的代数式表示方法，通过作差化简即可验证定值结论，能锻炼学生的代数推理能力。
【难度系数】
0.7

11.小明用火柴棒按图中的方式搭图形，会产生若干个正方形：

(1)按图示规律填空：

(2)小明若使用2027根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？

11.(1)22 $5n+2$ 8 11 $3n-1$
(2)解:根据题意,得$2+5n=2027$,
解得$n=405$.
因为图n中正方形的个数为$3n-1$,
所以第405个图形中,正方形的个数为$3×405-1=1214$(个).

【分析】
本题属于图形规律探究结合一元一次方程应用的题型，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，先分别观察相邻两个图形的火柴棒数量、正方形个数的变化规律：观察可发现每增加1个基础图形，火柴棒数量增加5根，正方形个数增加3个，结合第1个图形的火柴棒数、正方形个数，即可推导出第n个图形对应的火柴棒数量、正方形个数的代数式，再代入对应n的值计算填空即可。
2. 解决第(2)问时，先根据火柴棒总数量为2027，结合第(1)问得到的火柴棒数量的代数式列一元一次方程，求出图形的序号n，再将n代入正方形个数的代数式计算，即可得到最终正方形的总数。
【解析】
(1) 观察图形规律：
① 火柴棒数量：第1个图形火柴棒数为$5×1+2=7$，第2个为$5×2+2=12$，第3个为$5×3+2=17$，因此第n个图形火柴棒数为$\boldsymbol{5n+2}$，则第4个图形火柴棒数为$5×4+2=22$；
② 正方形个数：第1个图形正方形个数为$3×1-1=2$，第2个为$3×2-1=5$，因此第n个图形正方形个数为$\boldsymbol{3n-1}$，则第3个图形正方形个数为$3×3-1=8$，第4个为$3×4-1=11$。
故(1)的填空依次为22、$5n+2$、8、11、$3n-1$。
(2) 已知火柴棒总数量为2027，结合火柴棒数量的规律列方程：
$5n+2=2027$
移项得：$5n=2027-2=2025$
解得：$n=405$
将$n=405$代入正方形个数公式$3n-1$得：
$3×405-1=1215-1=1214$（个）
【答案】
(1) $22$；$5n+2$；$8$；$11$；$3n-1$
(2) $1214$个
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型考题，需要先通过观察找到图形变化的固定增量，进而推导通用表达式，再结合方程求解对应问题，既考查了观察归纳能力，也考查了方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

12. 问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题:
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}.$
(1)第5个式子为________，第n个式子为________；
(2)计算:$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}$；
(3)计算:$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\frac{1}{1+2+3+4+5}+…+\frac{1}{1+2+3+…+2025}.$

12.(1)$\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)解:$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{253}{1013}.$
(3)解:因为$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3},\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$;
$\frac{1}{1+2+3}=\frac{1}{6},\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$;
$\frac{1}{1+2+3+4}=\frac{1}{10},\frac{1}{10}×\frac{1}{2}=\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$;
$\frac{1}{1+2+3+4+5}=\frac{1}{15},\frac{1}{15}×\frac{1}{2}=\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$;
……
$\frac{1}{1+2+3+…+2025}=\frac{1}{1013×2025},\frac{1}{1013×2025}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$,
所以原式$=2×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{2025×2026})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})$
$=1-\frac{1}{1013}$
$=\frac{1012}{1013}.$

【分析】
(1) 观察给出的前4个式子，可发现规律：等式左边分母是两个连续正整数的乘积，第一个因数等于式子的序号，第二个因数比第一个大1，等式右边是分别以这两个连续正整数为分母、分子为1的分数的差，按照该规律即可写出第5个和第n个式子。
(2) 算式中每个分数的分母是两个相差2的偶数相乘，无法直接套用(1)的裂项规律，先对每个分数变形：$\frac{1}{2k×(2k+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k+2})$，提取公因式$\frac{1}{2}$后，中间分数会两两抵消，仅剩首尾两项，再计算即可。
(3) 先处理每个分数的分母：连续正整数和$1+2+3+…+k=\frac{k(k+1)}{2}$，因此$\frac{1}{1+2+…+k}=\frac{2}{k(k+1)}=2×(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$，代入原式后转化为裂项相消形式，中间项抵消后计算剩余项即可。
【解析】
(1) 第5个式子对应序号为5，左边为$\frac{1}{5×6}$，右边为$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；
第n个式子中两个连续正整数为n和n+1，因此通用规律为$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）。
(2) 计算$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}$：
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×\frac{1012}{2026}$
$=\frac{253}{1013}$
(3) 先推导通用形式：当k≥2时，$1+2+…+k=\frac{k(k+1)}{2}$，因此$\frac{1}{1+2+…+k}=\frac{2}{k(k+1)}=2×(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$
原式第一项对应k=2，最后一项对应k=2025，代入得：
原式$=2×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{2025×2026})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})$
$=1-\frac{1}{1013}$
$=\frac{1012}{1013}$
【答案】
(1) $\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）
(2) $\frac{253}{1013}$
(3) $\frac{1012}{1013}$
【知识点】
数字规律探究；裂项相消法；有理数混合运算
【点评】
本题从基础规律探究出发，逐步考查裂项相消法在分数巧算中的应用，需要熟练掌握裂项的基本形式，学会将陌生的分数结构转化为可裂项的标准形式，计算时要注意裂项的系数不要出错，抵消后需明确剩余的首尾项，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6