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1.填一填。
(1)一个圆环的内圆半径是1cm，外圆半径是3cm，这个圆环的面积是(
(2)一个圆环的面积是62.8cm²，外圆半径是6cm，内圆半径是(
(3)一个圆形花坛的半径是5m，在它周围有一条宽1m的环形小路，这条小路的面积是(
(4)一个圆环的外圆半径扩大到原来的3倍，内圆半径也扩大到原来的3倍，圆环面积扩大到原来的(
(1)一个圆环的内圆半径是1cm，外圆半径是3cm，这个圆环的面积是(
25.12
)cm²。(2)一个圆环的面积是62.8cm²，外圆半径是6cm，内圆半径是(
4
)cm。(3)一个圆形花坛的半径是5m，在它周围有一条宽1m的环形小路，这条小路的面积是(
34.54
)m²。(4)一个圆环的外圆半径扩大到原来的3倍，内圆半径也扩大到原来的3倍，圆环面积扩大到原来的(
9
)倍。答案
(1)25.12
(2)4
(3)34.54
(4)9
(2)4
(3)34.54
(4)9
解析
【分析】
解题核心是掌握圆环面积公式：圆环面积=外圆面积-内圆面积，用字母表示为$S_{环}=π(R^2 - r^2)$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径，小学阶段$π$取3.14）。(1)直接代入已知的内外半径计算即可；(2)已知圆环面积和外圆半径，先算外圆面积，再推导内圆面积，进而求出内圆半径；(3)环形小路属于圆环实际应用，花坛半径是内圆半径，小路宽是内外半径差，先算出外圆半径再代入公式；(4)将扩大后的半径代入公式，和原面积对比即可得到倍数。
【解析】
(1) 代入圆环面积公式计算：
$S_{环}=3.14×(3^2 - 1^2)=3.14×(9-1)=3.14×8=25.12(\mathrm{cm}^2)$
(2) 先计算外圆面积：
外圆面积$=3.14×6^2=3.14×36=113.04(\mathrm{cm}^2)$
内圆面积=外圆面积-圆环面积$=113.04 - 62.8=50.24(\mathrm{cm}^2)$
内圆半径的平方$=50.24÷3.14=16$，因为$4^2=16$，所以内圆半径是4cm。
(3) 先求外圆半径：外圆半径=花坛半径+小路宽$=5+1=6(\mathrm{m})$
代入公式计算小路面积：
$S_{路}=3.14×(6^2 - 5^2)=3.14×(36-25)=3.14×11=34.54(\mathrm{m}^2)$
(4) 设原外圆半径为$R$，内圆半径为$r$，原圆环面积为$π(R^2 - r^2)$；
半径扩大后外圆半径为$3R$，内圆半径为$3r$，新圆环面积为$π[(3R)^2 - (3r)^2]=π(9R^2 - 9r^2)=9×π(R^2 - r^2)$，因此圆环面积扩大到原来的9倍。
【答案】
(1)25.12 (2)4 (3)34.54 (4)9
【知识点】
圆环面积计算、圆的面积计算、倍数变化规律
【点评】
本题围绕圆环面积公式设置不同考法，涵盖基础公式应用、公式逆推、实际场景解题和规律探究，能有效考查学生对公式的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是掌握圆环面积公式：圆环面积=外圆面积-内圆面积，用字母表示为$S_{环}=π(R^2 - r^2)$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径，小学阶段$π$取3.14）。(1)直接代入已知的内外半径计算即可；(2)已知圆环面积和外圆半径，先算外圆面积，再推导内圆面积，进而求出内圆半径；(3)环形小路属于圆环实际应用，花坛半径是内圆半径，小路宽是内外半径差，先算出外圆半径再代入公式；(4)将扩大后的半径代入公式，和原面积对比即可得到倍数。
【解析】
(1) 代入圆环面积公式计算：
$S_{环}=3.14×(3^2 - 1^2)=3.14×(9-1)=3.14×8=25.12(\mathrm{cm}^2)$
(2) 先计算外圆面积：
外圆面积$=3.14×6^2=3.14×36=113.04(\mathrm{cm}^2)$
内圆面积=外圆面积-圆环面积$=113.04 - 62.8=50.24(\mathrm{cm}^2)$
内圆半径的平方$=50.24÷3.14=16$，因为$4^2=16$，所以内圆半径是4cm。
(3) 先求外圆半径：外圆半径=花坛半径+小路宽$=5+1=6(\mathrm{m})$
代入公式计算小路面积：
$S_{路}=3.14×(6^2 - 5^2)=3.14×(36-25)=3.14×11=34.54(\mathrm{m}^2)$
(4) 设原外圆半径为$R$，内圆半径为$r$，原圆环面积为$π(R^2 - r^2)$；
半径扩大后外圆半径为$3R$，内圆半径为$3r$，新圆环面积为$π[(3R)^2 - (3r)^2]=π(9R^2 - 9r^2)=9×π(R^2 - r^2)$，因此圆环面积扩大到原来的9倍。
【答案】
(1)25.12 (2)4 (3)34.54 (4)9
【知识点】
圆环面积计算、圆的面积计算、倍数变化规律
【点评】
本题围绕圆环面积公式设置不同考法，涵盖基础公式应用、公式逆推、实际场景解题和规律探究，能有效考查学生对公式的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 求下面各图形中涂色部分的面积。
（1）
（2）
（1）
（2）
答案
(1)$3.14×(3÷2+2)^2 - 3.14×(3÷2)^2 = 31.4(dm^2)$ $31.4÷2=15.7(dm^2)$
(2)$3.14×(3×2)^2 - 3.14×3^2 = 84.78(cm^2)$
(2)$3.14×(3×2)^2 - 3.14×3^2 = 84.78(cm^2)$
解析
【分析】
这两道题均考查圆环相关的面积计算，解题思路如下：
1. 先判断涂色部分的形状：（1）是半圆环，（2）是完整圆环；
2. 回忆圆环面积公式：圆环面积=外圆面积-内圆面积，即$S_{环}=π R^2-π r^2$（R为外圆半径，r为内圆半径）；
3. 分别找准两个图形的内外圆半径：
（1）已知内圆直径为3dm，可得内半径$r=3÷2=1.5dm$，环宽为2dm，因此外半径$R=1.5+2=3.5dm$，算出完整圆环面积后除以2，即可得到半圆环的涂色面积；
（2）已知内圆半径$r=3cm$，外半径是内半径的2倍，即$R=3×2=6cm$，直接代入圆环面积公式计算即可得到涂色面积。
【解析】
（1）首先计算完整圆环的面积：
$3.14×(3÷2+2)^2 - 3.14×(3÷2)^2$
$=3.14×3.5^2 - 3.14×1.5^2$
$=3.14×(12.25-2.25)$
$=3.14×10=31.4(dm^2)$
因为涂色部分是半圆环，所以涂色面积为：
$31.4÷2=15.7(dm^2)$
（2）涂色部分为完整圆环，直接代入公式计算：
$3.14×(3×2)^2 - 3.14×3^2$
$=3.14×6^2 - 3.14×3^2$
$=3.14×(36-9)$
$=3.14×27=84.78(cm^2)$
【答案】
(1) $15.7\ \mathrm{dm}^2$
(2) $84.78\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环的面积、圆的面积、半圆环面积计算
【点评】
这两道题是圆环面积公式的典型基础应用题，解题核心是准确识别图形形状、找准内外圆的半径，计算时可以利用乘法分配律简化运算，注意半圆环需要将完整圆环面积除以2，避免漏算出错。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查圆环相关的面积计算，解题思路如下：
1. 先判断涂色部分的形状：（1）是半圆环，（2）是完整圆环；
2. 回忆圆环面积公式：圆环面积=外圆面积-内圆面积，即$S_{环}=π R^2-π r^2$（R为外圆半径，r为内圆半径）；
3. 分别找准两个图形的内外圆半径：
（1）已知内圆直径为3dm，可得内半径$r=3÷2=1.5dm$，环宽为2dm，因此外半径$R=1.5+2=3.5dm$，算出完整圆环面积后除以2，即可得到半圆环的涂色面积；
（2）已知内圆半径$r=3cm$，外半径是内半径的2倍，即$R=3×2=6cm$，直接代入圆环面积公式计算即可得到涂色面积。
【解析】
（1）首先计算完整圆环的面积：
$3.14×(3÷2+2)^2 - 3.14×(3÷2)^2$
$=3.14×3.5^2 - 3.14×1.5^2$
$=3.14×(12.25-2.25)$
$=3.14×10=31.4(dm^2)$
因为涂色部分是半圆环，所以涂色面积为：
$31.4÷2=15.7(dm^2)$
（2）涂色部分为完整圆环，直接代入公式计算：
$3.14×(3×2)^2 - 3.14×3^2$
$=3.14×6^2 - 3.14×3^2$
$=3.14×(36-9)$
$=3.14×27=84.78(cm^2)$
【答案】
(1) $15.7\ \mathrm{dm}^2$
(2) $84.78\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环的面积、圆的面积、半圆环面积计算
【点评】
这两道题是圆环面积公式的典型基础应用题，解题核心是准确识别图形形状、找准内外圆的半径，计算时可以利用乘法分配律简化运算，注意半圆环需要将完整圆环面积除以2，避免漏算出错。
【难度系数】
0.7
3.一块圆环形铁片的外圆直径是20cm，内圆直径是12cm。如果每平方厘米铁片重0.5g，这块铁片重多少克？
答案
$[3.14×(20÷2)^2 - 3.14×(12÷2)^2] × 0.5 = 100.48(g)$
解析
【分析】
要计算这块圆环形铁片的重量，首先需要求出圆环的面积，再用面积乘每平方厘米铁片的重量即可得到总重量。首先回忆圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积。题目给出的是外圆和内圆的直径，所以第一步要先分别算出外圆、内圆的半径，再根据圆的面积公式$S=π r^2$分别计算外圆和内圆的面积，相减得到圆环面积后，最后乘0.5就能算出铁片总重量。
【解析】
步骤1：计算外圆和内圆的半径
外圆半径：$20÷2=10(\mathrm{cm})$
内圆半径：$12÷2=6(\mathrm{cm})$
步骤2：计算圆环的面积
$\begin{split}&3.14×10^2 - 3.14×6^2\\=&3.14×100 - 3.14×36\\=&314 - 113.04\\=&200.96(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
步骤3：计算铁片总重量
$200.96×0.5=100.48(\mathrm{g})$
也可列综合算式计算：$[3.14×(20÷2)^2 - 3.14×(12÷2)^2] × 0.5 = 100.48(\mathrm{g})$
【答案】
$\boxed{100.48\mathrm{g}}$
【知识点】
圆环的面积计算、圆的面积计算、小数四则混合运算
【点评】
本题属于圆环面积公式的实际应用题目，解题核心是掌握圆环面积的计算方法，要注意计算圆的面积时必须先将直径换算为半径，避免直接代入直径计算导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要计算这块圆环形铁片的重量，首先需要求出圆环的面积，再用面积乘每平方厘米铁片的重量即可得到总重量。首先回忆圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积。题目给出的是外圆和内圆的直径，所以第一步要先分别算出外圆、内圆的半径，再根据圆的面积公式$S=π r^2$分别计算外圆和内圆的面积，相减得到圆环面积后，最后乘0.5就能算出铁片总重量。
【解析】
步骤1：计算外圆和内圆的半径
外圆半径：$20÷2=10(\mathrm{cm})$
内圆半径：$12÷2=6(\mathrm{cm})$
步骤2：计算圆环的面积
$\begin{split}&3.14×10^2 - 3.14×6^2\\=&3.14×100 - 3.14×36\\=&314 - 113.04\\=&200.96(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
步骤3：计算铁片总重量
$200.96×0.5=100.48(\mathrm{g})$
也可列综合算式计算：$[3.14×(20÷2)^2 - 3.14×(12÷2)^2] × 0.5 = 100.48(\mathrm{g})$
【答案】
$\boxed{100.48\mathrm{g}}$
【知识点】
圆环的面积计算、圆的面积计算、小数四则混合运算
【点评】
本题属于圆环面积公式的实际应用题目，解题核心是掌握圆环面积的计算方法，要注意计算圆的面积时必须先将直径换算为半径，避免直接代入直径计算导致结果错误。
【难度系数】
0.8
4.莲莲的爸爸做了一张“围炉煮茶”的圆形桌子，外围大圆的周长是251.2cm，里面小圆的直径是40cm。圆环部分的面积是多少平方厘米？
答案
$3.14×(251.2÷3.14÷2)^2 - 3.14×(40÷2)^2 = 3768(cm^2)$
解析
【分析】
要计算圆环部分的面积，首先明确圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积。解题时需要先求出外圆和内圆的半径：已知外圆周长，可根据圆的周长公式C=2πr，推导得出外圆半径r=C÷π÷2；已知内圆直径，用直径除以2即可得到内圆半径。再分别代入圆的面积公式S=πr²求出外圆、内圆的面积，最后作差就能得到结果。
【解析】
1. 求外圆的半径：
外圆周长为251.2cm，根据周长公式可得半径为：
251.2÷3.14÷2 = 40（cm）
2. 求内圆的半径：
内圆直径为40cm，半径为：
40÷2 = 20（cm）
3. 计算圆环面积：
圆环面积=外圆面积-内圆面积，代入数值计算：
$3.14×40^2 - 3.14×20^2$
$=3.14×1600 - 3.14×400$
$=5024 - 1256$
$=3768(cm^2)$
【答案】
$3768cm^2$
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、圆环的面积计算
【点评】
本题是圆环面积在实际生活中的应用问题，解题关键是熟练掌握圆的周长、面积计算公式，准确获取内外圆的半径后代入公式计算即可，计算时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
要计算圆环部分的面积，首先明确圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积。解题时需要先求出外圆和内圆的半径：已知外圆周长，可根据圆的周长公式C=2πr，推导得出外圆半径r=C÷π÷2；已知内圆直径，用直径除以2即可得到内圆半径。再分别代入圆的面积公式S=πr²求出外圆、内圆的面积，最后作差就能得到结果。
【解析】
1. 求外圆的半径：
外圆周长为251.2cm，根据周长公式可得半径为：
251.2÷3.14÷2 = 40（cm）
2. 求内圆的半径：
内圆直径为40cm，半径为：
40÷2 = 20（cm）
3. 计算圆环面积：
圆环面积=外圆面积-内圆面积，代入数值计算：
$3.14×40^2 - 3.14×20^2$
$=3.14×1600 - 3.14×400$
$=5024 - 1256$
$=3768(cm^2)$
【答案】
$3768cm^2$
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、圆环的面积计算
【点评】
本题是圆环面积在实际生活中的应用问题，解题关键是熟练掌握圆的周长、面积计算公式，准确获取内外圆的半径后代入公式计算即可，计算时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
一个直径为3cm的小圆绕着一个半径为5cm的大圆滚动一周，小圆扫过的面积是多少平方厘米？
答案
$3.14×(5+3)^2 - 3.14×5^2 = 122.46(cm^2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先判断小圆绕大圆滚动一周扫过的图形形状：小圆在大圆外侧滚动时，扫过的区域是一个圆环。接下来确定圆环的内外半径：内圆半径就是大圆本身的半径5cm；外圆半径是大圆半径加上小圆的直径（因为小圆最外侧的点到大圆圆心的距离=大圆半径+小圆直径，代入数值为5+3=8cm），最后套用圆环的面积公式就能算出扫过的面积。
【解析】
首先明确小圆扫过的图形为圆环：
外圆半径 $ R = 5 + 3 = 8(\mathrm{cm}) $
内圆半径 $ r = 5(\mathrm{cm}) $
根据圆环面积公式 $ S = π R^2 - π r^2 $，代入数值计算：
$ S = 3.14×8^2 - 3.14×5^2 $
$ = 3.14×64 - 3.14×25 $
$ = 3.14×(64-25) $
$ = 3.14×39 $
$ = 122.46(\mathrm{cm}^2) $
【答案】
122.46 $ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆环的面积计算；圆的基本特征；图形滚动轨迹判断
【点评】
本题解题关键是正确判断小圆滚动后扫过的图形为圆环，易错点是容易误将外圆半径算成大圆半径加小圆半径，需要结合滚动的实际情况明确外边缘的位置，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先判断小圆绕大圆滚动一周扫过的图形形状：小圆在大圆外侧滚动时，扫过的区域是一个圆环。接下来确定圆环的内外半径：内圆半径就是大圆本身的半径5cm；外圆半径是大圆半径加上小圆的直径（因为小圆最外侧的点到大圆圆心的距离=大圆半径+小圆直径，代入数值为5+3=8cm），最后套用圆环的面积公式就能算出扫过的面积。
【解析】
首先明确小圆扫过的图形为圆环：
外圆半径 $ R = 5 + 3 = 8(\mathrm{cm}) $
内圆半径 $ r = 5(\mathrm{cm}) $
根据圆环面积公式 $ S = π R^2 - π r^2 $，代入数值计算：
$ S = 3.14×8^2 - 3.14×5^2 $
$ = 3.14×64 - 3.14×25 $
$ = 3.14×(64-25) $
$ = 3.14×39 $
$ = 122.46(\mathrm{cm}^2) $
【答案】
122.46 $ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆环的面积计算；圆的基本特征；图形滚动轨迹判断
【点评】
本题解题关键是正确判断小圆滚动后扫过的图形为圆环，易错点是容易误将外圆半径算成大圆半径加小圆半径，需要结合滚动的实际情况明确外边缘的位置，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
