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1. 求下面各图形中涂色部分的面积。
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
答案
(1)$3.14×4^2-3.14×(4÷2)^2=37.68(\mathrm{m}^2)$
(2)$6×6÷2=18(\mathrm{cm}^2)$
(3)$8×6-3.14×(6÷2)^2=19.74(\mathrm{dm}^2)$
(4)$\frac{1}{4}×3.14×[(6÷2)+1]^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
(2)$6×6÷2=18(\mathrm{cm}^2)$
(3)$8×6-3.14×(6÷2)^2=19.74(\mathrm{dm}^2)$
(4)$\frac{1}{4}×3.14×[(6÷2)+1]^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
求解组合图形涂色部分面积的核心思路是转化法，通过割补、和差等方式把不规则的涂色部分转化为规则图形的面积和或差计算：
(1) 涂色部分为圆环，用外圆面积减内圆面积即可，先确定外圆半径为4m，内圆直径等于外圆半径，算出内圆半径后代入圆面积公式求差值。
(2) 涂色部分可拼接为直角边为6cm的等腰直角三角形，直接用三角形面积公式计算。
(3) 涂色部分是长方形减去内部圆形的剩余部分，先算长方形面积，再减去直径为6dm的圆的面积即可。
(4) 涂色部分是圆心角为90°的扇形（即1/4圆），先算出扇形半径为(6÷2+1)cm，再代入扇形面积公式计算。
【解析】
(1) 外圆半径$R=4\mathrm{m}$，内圆半径$r=4÷2=2\mathrm{m}$
涂色面积=外圆面积-内圆面积
$=3.14×4^2-3.14×2^2$
$=50.24-12.56$
$=37.68(\mathrm{m}^2)$
(2) 涂色部分转化为直角边为6cm的等腰直角三角形
涂色面积=底×高÷2
$=6×6÷2$
$=18(\mathrm{cm}^2)$
(3) 长方形长8dm、宽6dm，内部圆半径$r=6÷2=3\mathrm{dm}$
涂色面积=长方形面积-圆的面积
$=8×6-3.14×3^2$
$=48-28.26$
$=19.74(\mathrm{dm}^2)$
(4) 扇形半径$r=(6÷2)+1=4\mathrm{cm}$，扇形面积为对应圆面积的$\frac{1}{4}$
涂色面积$=\frac{1}{4}×$圆的面积
$=\frac{1}{4}×3.14×4^2$
$=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$3.14×4^2-3.14×(4÷2)^2=37.68(\mathrm{m}^2)$
(2)$6×6÷2=18(\mathrm{cm}^2)$
(3)$8×6-3.14×(6÷2)^2=19.74(\mathrm{dm}^2)$
(4)$\frac{1}{4}×3.14×[(6÷2)+1]^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
组合图形面积计算，圆的面积计算，多边形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解能力，解题关键是灵活运用割补、和差法将不规则图形转化为熟悉的规则图形计算，需要熟练掌握常见平面图形的面积公式。
【难度系数】
0.7
求解组合图形涂色部分面积的核心思路是转化法，通过割补、和差等方式把不规则的涂色部分转化为规则图形的面积和或差计算：
(1) 涂色部分为圆环，用外圆面积减内圆面积即可，先确定外圆半径为4m，内圆直径等于外圆半径，算出内圆半径后代入圆面积公式求差值。
(2) 涂色部分可拼接为直角边为6cm的等腰直角三角形，直接用三角形面积公式计算。
(3) 涂色部分是长方形减去内部圆形的剩余部分，先算长方形面积，再减去直径为6dm的圆的面积即可。
(4) 涂色部分是圆心角为90°的扇形（即1/4圆），先算出扇形半径为(6÷2+1)cm，再代入扇形面积公式计算。
【解析】
(1) 外圆半径$R=4\mathrm{m}$，内圆半径$r=4÷2=2\mathrm{m}$
涂色面积=外圆面积-内圆面积
$=3.14×4^2-3.14×2^2$
$=50.24-12.56$
$=37.68(\mathrm{m}^2)$
(2) 涂色部分转化为直角边为6cm的等腰直角三角形
涂色面积=底×高÷2
$=6×6÷2$
$=18(\mathrm{cm}^2)$
(3) 长方形长8dm、宽6dm，内部圆半径$r=6÷2=3\mathrm{dm}$
涂色面积=长方形面积-圆的面积
$=8×6-3.14×3^2$
$=48-28.26$
$=19.74(\mathrm{dm}^2)$
(4) 扇形半径$r=(6÷2)+1=4\mathrm{cm}$，扇形面积为对应圆面积的$\frac{1}{4}$
涂色面积$=\frac{1}{4}×$圆的面积
$=\frac{1}{4}×3.14×4^2$
$=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$3.14×4^2-3.14×(4÷2)^2=37.68(\mathrm{m}^2)$
(2)$6×6÷2=18(\mathrm{cm}^2)$
(3)$8×6-3.14×(6÷2)^2=19.74(\mathrm{dm}^2)$
(4)$\frac{1}{4}×3.14×[(6÷2)+1]^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
组合图形面积计算，圆的面积计算，多边形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解能力，解题关键是灵活运用割补、和差法将不规则图形转化为熟悉的规则图形计算，需要熟练掌握常见平面图形的面积公式。
【难度系数】
0.7
2. 下图中，圆环部分是一个机器零件的横截面，涂色部分的面积是$20cm^2$。这个机器零件的横截面面积是多少平方厘米？
答案
$R^2-r^2=20×2=40(\mathrm{cm}^2)$
圆环面积：$3.14×(R^2-r^2)=3.14×40=125.6(\mathrm{cm}^2)$
圆环面积：$3.14×(R^2-r^2)=3.14×40=125.6(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
首先观察图形可知，涂色部分是直角边为外圆半径$R$的大等腰直角三角形，减去直角边为内圆半径$r$的小等腰直角三角形得到的。我们可以先根据三角形面积公式写出涂色部分面积的表达式，推导出$R^2$与$r^2$的差值，再结合圆环面积公式$S=π(R^2-r^2)$，整体代入数值计算即可求出横截面（圆环）的面积，不需要单独计算$R$和$r$的具体数值。
【解析】
解：设外圆半径为$R\ \mathrm{cm}$，内圆半径为$r\ \mathrm{cm}$。
涂色部分面积 = 大直角三角形面积 - 小直角三角形面积，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = 20$
等式两边同时乘2，得：
$R^2 - r^2 = 20×2=40(\mathrm{cm}^2)$
根据圆环面积公式$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2-r^2)$，代入数值计算：
$3.14×40=125.6(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$125.6$平方厘米
【知识点】
圆环面积计算、三角形面积计算、整体代入求值
【点评】
本题解题核心是通过涂色部分的面积关系得到外、内圆半径平方的差，利用整体代入的思想直接代入圆环面积公式计算，避免了单独求解半径的繁琐过程，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可知，涂色部分是直角边为外圆半径$R$的大等腰直角三角形，减去直角边为内圆半径$r$的小等腰直角三角形得到的。我们可以先根据三角形面积公式写出涂色部分面积的表达式，推导出$R^2$与$r^2$的差值，再结合圆环面积公式$S=π(R^2-r^2)$，整体代入数值计算即可求出横截面（圆环）的面积，不需要单独计算$R$和$r$的具体数值。
【解析】
解：设外圆半径为$R\ \mathrm{cm}$，内圆半径为$r\ \mathrm{cm}$。
涂色部分面积 = 大直角三角形面积 - 小直角三角形面积，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = 20$
等式两边同时乘2，得：
$R^2 - r^2 = 20×2=40(\mathrm{cm}^2)$
根据圆环面积公式$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2-r^2)$，代入数值计算：
$3.14×40=125.6(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$125.6$平方厘米
【知识点】
圆环面积计算、三角形面积计算、整体代入求值
【点评】
本题解题核心是通过涂色部分的面积关系得到外、内圆半径平方的差，利用整体代入的思想直接代入圆环面积公式计算，避免了单独求解半径的繁琐过程，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
3.康康所住小区有一条如右图所示的转角小道，这条小道的面积是多少平方米？
答案
$\frac{1}{4}×3.14×[(4+1)^2-4^2]+4×1=11.065(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
我们可以把这条转角小道拆成两个规则图形来计算面积：一部分是弯曲的$\frac{1}{4}$圆环（扇环），另一部分是直的长方形。首先确定扇环的内外半径：内半径是4m，外半径是内半径加小道的宽度1m，也就是5m；再确定长方形的长和宽：长是4m，宽是1m。先分别计算这两部分的面积，再相加就能得到小道的总面积。
【解析】
第一步：计算$\frac{1}{4}$圆环的面积
圆环面积公式为$S_{圆环}=π(R^2-r^2)$，其中外半径$R=4+1=5\mathrm{m}$，内半径$r=4\mathrm{m}$，$\frac{1}{4}$圆环的面积为：
$\frac{1}{4}×3.14×(5^2-4^2)$
$=\frac{1}{4}×3.14×(25-16)$
$=\frac{1}{4}×3.14×9$
$=7.065(\mathrm{m}^2)$
第二步：计算长方形的面积
长方形面积公式为$S_{长方形}=长×宽$，代入数值：
$4×1=4(\mathrm{m}^2)$
第三步：求和得到小道总面积
$7.065+4=11.065(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$11.065\mathrm{m}^2$
【知识点】
圆环面积计算，长方形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则的组合图形拆解成熟悉的规则图形，分别计算面积后求和，解题时要注意准确识别各规则图形的相关参数（如扇环的内外半径、长方形的长宽），避免参数代入错误。
【难度系数】
0.7
我们可以把这条转角小道拆成两个规则图形来计算面积：一部分是弯曲的$\frac{1}{4}$圆环（扇环），另一部分是直的长方形。首先确定扇环的内外半径：内半径是4m，外半径是内半径加小道的宽度1m，也就是5m；再确定长方形的长和宽：长是4m，宽是1m。先分别计算这两部分的面积，再相加就能得到小道的总面积。
【解析】
第一步：计算$\frac{1}{4}$圆环的面积
圆环面积公式为$S_{圆环}=π(R^2-r^2)$，其中外半径$R=4+1=5\mathrm{m}$，内半径$r=4\mathrm{m}$，$\frac{1}{4}$圆环的面积为：
$\frac{1}{4}×3.14×(5^2-4^2)$
$=\frac{1}{4}×3.14×(25-16)$
$=\frac{1}{4}×3.14×9$
$=7.065(\mathrm{m}^2)$
第二步：计算长方形的面积
长方形面积公式为$S_{长方形}=长×宽$，代入数值：
$4×1=4(\mathrm{m}^2)$
第三步：求和得到小道总面积
$7.065+4=11.065(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$11.065\mathrm{m}^2$
【知识点】
圆环面积计算，长方形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则的组合图形拆解成熟悉的规则图形，分别计算面积后求和，解题时要注意准确识别各规则图形的相关参数（如扇环的内外半径、长方形的长宽），避免参数代入错误。
【难度系数】
0.7
一座长方形房子的周围是草地，墙角处有一根木桩，木桩上拴着一只羊（如下示意图）。拴羊的绳子长10m，羊能吃到草的最大面积是多少平方米？（打结处忽略不计）
答案
$\frac{3}{4}×3.14×10^2+\frac{1}{4}×3.14×(10-8)^2=238.64(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
解题时首先要明确羊的活动范围：羊被拴在长方形墙角，绳子长10m，长方形宽8m、长20m。首先羊在没有被房子遮挡的区域，可活动出半径10m的$\frac{3}{4}$个圆的范围，因为长方形的两条相邻边挡住了$\frac{1}{4}$的圆；当羊沿着长方形宽为8m的边活动时，绳子剩余长度为$10-8=2\mathrm{m}$，此时剩余绳子可活动出半径为2m的$\frac{1}{4}$个圆的范围（长方形长20m远大于2m，不会再被遮挡）。最后把两部分面积相加，就是羊能吃到草的最大面积。
【解析】
第一步：计算半径为10m的$\frac{3}{4}$圆的面积：
$\frac{3}{4}×3.14×10^2=\frac{3}{4}×3.14×100=235.5(\mathrm{m}^2)$
第二步：计算绳子剩余部分对应的$\frac{1}{4}$圆的面积，剩余绳长：$10-8=2(\mathrm{m})$
$\frac{1}{4}×3.14×2^2=\frac{1}{4}×3.14×4=3.14(\mathrm{m}^2)$
第三步：两部分面积相加得到总面积：
$235.5+3.14=238.64(\mathrm{m}^2)$
也可合并列式计算：$\frac{3}{4}×3.14×10^2+\frac{1}{4}×3.14×(10-8)^2=238.64(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$238.64\mathrm{m}^2$
【知识点】
圆的面积计算，组合图形面积，扇形面积计算
【点评】
本题需要结合实际场景分析图形构成，解题关键是准确划分羊的活动区域，不要遗漏绕到墙体后方的小扇形面积，考查对圆面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确羊的活动范围：羊被拴在长方形墙角，绳子长10m，长方形宽8m、长20m。首先羊在没有被房子遮挡的区域，可活动出半径10m的$\frac{3}{4}$个圆的范围，因为长方形的两条相邻边挡住了$\frac{1}{4}$的圆；当羊沿着长方形宽为8m的边活动时，绳子剩余长度为$10-8=2\mathrm{m}$，此时剩余绳子可活动出半径为2m的$\frac{1}{4}$个圆的范围（长方形长20m远大于2m，不会再被遮挡）。最后把两部分面积相加，就是羊能吃到草的最大面积。
【解析】
第一步：计算半径为10m的$\frac{3}{4}$圆的面积：
$\frac{3}{4}×3.14×10^2=\frac{3}{4}×3.14×100=235.5(\mathrm{m}^2)$
第二步：计算绳子剩余部分对应的$\frac{1}{4}$圆的面积，剩余绳长：$10-8=2(\mathrm{m})$
$\frac{1}{4}×3.14×2^2=\frac{1}{4}×3.14×4=3.14(\mathrm{m}^2)$
第三步：两部分面积相加得到总面积：
$235.5+3.14=238.64(\mathrm{m}^2)$
也可合并列式计算：$\frac{3}{4}×3.14×10^2+\frac{1}{4}×3.14×(10-8)^2=238.64(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$238.64\mathrm{m}^2$
【知识点】
圆的面积计算，组合图形面积，扇形面积计算
【点评】
本题需要结合实际场景分析图形构成，解题关键是准确划分羊的活动区域，不要遗漏绕到墙体后方的小扇形面积，考查对圆面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
