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1. 计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。
$\frac{5}{6}×\frac{25}{18}×24$
$28 - 21×\frac{5}{7}$
$(\frac{3}{8}+\frac{4}{5})×8×5$
$\frac{5}{6}×\frac{25}{18}×24$
$28 - 21×\frac{5}{7}$
$(\frac{3}{8}+\frac{4}{5})×8×5$
答案
1. $\frac{250}{9}$ 13 47 （过程略）
解析
【分析】
拿到这三道分数运算题，先观察算式特征选择最优解法：
1. 第一题是连乘运算，发现$\frac{5}{6}$的分母6和整数24是倍数关系，可利用乘法交换律调换$\frac{25}{18}$和24的位置，先算$\frac{5}{6}×24$直接约分，简化计算。
2. 第二题是乘减混合运算，没有简便运算特征，按照“先乘除后加减”的运算顺序计算即可，计算乘法时21和分母7可直接约分，快速得到乘积。
3. 第三题是两个分数的和乘8×5，观察发现两个分数的分母刚好对应后面的整数8和5，可利用乘法分配律拆分计算，无需通分算括号内的和，大幅降低计算量。
【解析】
1. 计算$\frac{5}{6}×\frac{25}{18}×24$：
$\begin{aligned}\frac{5}{6}×\frac{25}{18}×24&=\frac{5}{6}×24×\frac{25}{18}\\&=20×\frac{25}{18}\\&=\frac{500}{18}\\&=\frac{250}{9}\end{aligned}$
2. 计算$28 - 21×\frac{5}{7}$：
$\begin{aligned}28 - 21×\frac{5}{7}&=28 - 15\\&=13\end{aligned}$
3. 计算$(\frac{3}{8}+\frac{4}{5})×8×5$：
$\begin{aligned}(\frac{3}{8}+\frac{4}{5})×8×5&=\frac{3}{8}×8×5 + \frac{4}{5}×8×5\\&=15 + 32\\&=47\end{aligned}$
【答案】
$\frac{250}{9}$；$13$；$47$
【知识点】
分数四则混合运算；乘法运算定律；简便运算
【点评】
这组题目重点考查分数混合运算的运算规则和简便运算技巧，解题时优先观察算式中数字的特征，合理选择运算定律能有效降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
拿到这三道分数运算题，先观察算式特征选择最优解法：
1. 第一题是连乘运算，发现$\frac{5}{6}$的分母6和整数24是倍数关系，可利用乘法交换律调换$\frac{25}{18}$和24的位置，先算$\frac{5}{6}×24$直接约分，简化计算。
2. 第二题是乘减混合运算，没有简便运算特征，按照“先乘除后加减”的运算顺序计算即可，计算乘法时21和分母7可直接约分，快速得到乘积。
3. 第三题是两个分数的和乘8×5，观察发现两个分数的分母刚好对应后面的整数8和5，可利用乘法分配律拆分计算，无需通分算括号内的和，大幅降低计算量。
【解析】
1. 计算$\frac{5}{6}×\frac{25}{18}×24$：
$\begin{aligned}\frac{5}{6}×\frac{25}{18}×24&=\frac{5}{6}×24×\frac{25}{18}\\&=20×\frac{25}{18}\\&=\frac{500}{18}\\&=\frac{250}{9}\end{aligned}$
2. 计算$28 - 21×\frac{5}{7}$：
$\begin{aligned}28 - 21×\frac{5}{7}&=28 - 15\\&=13\end{aligned}$
3. 计算$(\frac{3}{8}+\frac{4}{5})×8×5$：
$\begin{aligned}(\frac{3}{8}+\frac{4}{5})×8×5&=\frac{3}{8}×8×5 + \frac{4}{5}×8×5\\&=15 + 32\\&=47\end{aligned}$
【答案】
$\frac{250}{9}$；$13$；$47$
【知识点】
分数四则混合运算；乘法运算定律；简便运算
【点评】
这组题目重点考查分数混合运算的运算规则和简便运算技巧，解题时优先观察算式中数字的特征，合理选择运算定律能有效降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）下面对$\frac{5}{8}×7$的理解错误的是（
A.表示7个$\frac{5}{8}$的和
B.表示7的$\frac{5}{8}$
C.表示$\frac{5}{8}$个7的和
C
）。A.表示7个$\frac{5}{8}$的和
B.表示7的$\frac{5}{8}$
C.表示$\frac{5}{8}$个7的和
答案
(1)C
解析
【分析】
解题时先回忆分数乘法的两类意义，再逐一核对每个选项的表述是否符合$\frac{5}{8}×7$的意义：首先分数乘整数可以表示几个相同分数相加的和，其次也可以表示整数的几分之几是多少。我们逐一判断三个选项的正确性，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们根据分数乘法的意义逐个分析选项：
1. 分析A选项：分数乘整数和整数乘法意义相同，是求几个相同加数和的简便运算，$\frac{5}{8}×7$可以表示7个$\frac{5}{8}$相加的和，因此A选项表述正确。
2. 分析B选项：一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少，$\frac{5}{8}×7$也可以表示求7的$\frac{5}{8}$是多少，因此B选项表述正确。
3. 分析C选项：我们描述“几个相同数的和”时，“个”前面的数应为正整数，$\frac{5}{8}$是小于1的分数，不存在“$\frac{5}{8}$个7”的表述，该说法错误，因此C选项是错误理解。
【答案】
C
【知识点】
分数乘法的意义
【点评】
本题重点考查对分数乘法两种意义的辨析，学习时要注意区分不同表述对应的乘法意义，避免混淆相似的说法。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆分数乘法的两类意义，再逐一核对每个选项的表述是否符合$\frac{5}{8}×7$的意义：首先分数乘整数可以表示几个相同分数相加的和，其次也可以表示整数的几分之几是多少。我们逐一判断三个选项的正确性，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们根据分数乘法的意义逐个分析选项：
1. 分析A选项：分数乘整数和整数乘法意义相同，是求几个相同加数和的简便运算，$\frac{5}{8}×7$可以表示7个$\frac{5}{8}$相加的和，因此A选项表述正确。
2. 分析B选项：一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少，$\frac{5}{8}×7$也可以表示求7的$\frac{5}{8}$是多少，因此B选项表述正确。
3. 分析C选项：我们描述“几个相同数的和”时，“个”前面的数应为正整数，$\frac{5}{8}$是小于1的分数，不存在“$\frac{5}{8}$个7”的表述，该说法错误，因此C选项是错误理解。
【答案】
C
【知识点】
分数乘法的意义
【点评】
本题重点考查对分数乘法两种意义的辨析，学习时要注意区分不同表述对应的乘法意义，避免混淆相似的说法。
【难度系数】
0.7
（2）李老师从1楼走到2楼需要$\frac{1}{2}$分钟，她以这样的速度从1楼走到5楼需要（
A.$\frac{5}{2}$分钟
B.2分钟
C.3分钟
B
）。A.$\frac{5}{2}$分钟
B.2分钟
C.3分钟
答案
(2)B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确爬楼梯问题的核心：实际爬的楼梯层数不等于终点楼层数，因为1楼不需要爬楼梯，爬的层数=终点楼层数-起点楼层数。第一步先根据已知条件确定走1层楼梯需要的时间，第二步算出从1楼到5楼需要爬的层数，最后用每层所需时间乘总层数就能得到总时间。
【解析】
1. 确定走1层楼梯的时间：
从1楼走到2楼，实际爬的层数为 $2-1=1$（层），已知走这1层需要$\frac{1}{2}$分钟，即走1层楼梯需要$\frac{1}{2}$分钟。
2. 计算从1楼到5楼爬的层数：
从1楼到5楼，实际爬的层数为 $5-1=4$（层）。
3. 计算总时间：
总时间=每层所需时间×总层数，即 $\frac{1}{2} × 4 = 2$（分钟）。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
间隔问题、分数乘法应用
【点评】
这道题的易错点是容易直接用楼层数5乘每层的时间，忽略了1楼无需爬楼梯的常识，解题时先求出实际爬的间隔层数再计算总时间，就能避开误区。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确爬楼梯问题的核心：实际爬的楼梯层数不等于终点楼层数，因为1楼不需要爬楼梯，爬的层数=终点楼层数-起点楼层数。第一步先根据已知条件确定走1层楼梯需要的时间，第二步算出从1楼到5楼需要爬的层数，最后用每层所需时间乘总层数就能得到总时间。
【解析】
1. 确定走1层楼梯的时间：
从1楼走到2楼，实际爬的层数为 $2-1=1$（层），已知走这1层需要$\frac{1}{2}$分钟，即走1层楼梯需要$\frac{1}{2}$分钟。
2. 计算从1楼到5楼爬的层数：
从1楼到5楼，实际爬的层数为 $5-1=4$（层）。
3. 计算总时间：
总时间=每层所需时间×总层数，即 $\frac{1}{2} × 4 = 2$（分钟）。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
间隔问题、分数乘法应用
【点评】
这道题的易错点是容易直接用楼层数5乘每层的时间，忽略了1楼无需爬楼梯的常识，解题时先求出实际爬的间隔层数再计算总时间，就能避开误区。
【难度系数】
0.7
（3）已知$\frac{5}{6}×a=\frac{6}{5}×b=\frac{7}{6}×c$，a、b、c都大于0，则a、b、c中最大的是（
A.a
B.b
C.c
A
）。A.a
B.b
C.c
答案
(3)A
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，我们可以用两种常见思路：① 利用积的变化规律：当多个乘法算式的乘积相等且所有因数都为正数时，已知的因数越大，和它相乘的未知因数就越小。我们可以先比较三个已知分数$\frac{5}{6}$、$\frac{6}{5}$、$\frac{7}{6}$的大小，再反向推导a、b、c的大小关系。② 赋值法：给三个相等的乘积赋一个方便计算的数值（比如1），通过分数除法分别算出a、b、c的具体值，再直接比较大小，这种方法更直观，适合小学阶段解题。
【解析】
我们用赋值法解题：
设$\frac{5}{6}×a=\frac{6}{5}×b=\frac{7}{6}×c=1$（a、b、c都大于0）
根据“因数=积÷另一个因数”计算：
$a=1÷\frac{5}{6}=\frac{6}{5}$
$b=1÷\frac{6}{5}=\frac{5}{6}$
$c=1÷\frac{7}{6}=\frac{6}{7}$
比较三个数的大小：
$\frac{6}{5}＞1$，$\frac{5}{6}＜1$，$\frac{6}{7}＜1$，所以$\frac{6}{5}＞\frac{6}{7}＞\frac{5}{6}$，即$a＞c＞b$，因此最大的数是a。
【答案】
A
【知识点】
积的变化规律、分数大小比较、分数除法计算
【点评】
本题是比较常见的大小比较类题型，既可以用规律快速推导，也可以用赋值法直观计算，做题时如果对规律掌握不熟练，优先选择赋值法，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c的大小，我们可以用两种常见思路：① 利用积的变化规律：当多个乘法算式的乘积相等且所有因数都为正数时，已知的因数越大，和它相乘的未知因数就越小。我们可以先比较三个已知分数$\frac{5}{6}$、$\frac{6}{5}$、$\frac{7}{6}$的大小，再反向推导a、b、c的大小关系。② 赋值法：给三个相等的乘积赋一个方便计算的数值（比如1），通过分数除法分别算出a、b、c的具体值，再直接比较大小，这种方法更直观，适合小学阶段解题。
【解析】
我们用赋值法解题：
设$\frac{5}{6}×a=\frac{6}{5}×b=\frac{7}{6}×c=1$（a、b、c都大于0）
根据“因数=积÷另一个因数”计算：
$a=1÷\frac{5}{6}=\frac{6}{5}$
$b=1÷\frac{6}{5}=\frac{5}{6}$
$c=1÷\frac{7}{6}=\frac{6}{7}$
比较三个数的大小：
$\frac{6}{5}＞1$，$\frac{5}{6}＜1$，$\frac{6}{7}＜1$，所以$\frac{6}{5}＞\frac{6}{7}＞\frac{5}{6}$，即$a＞c＞b$，因此最大的数是a。
【答案】
A
【知识点】
积的变化规律、分数大小比较、分数除法计算
【点评】
本题是比较常见的大小比较类题型，既可以用规律快速推导，也可以用赋值法直观计算，做题时如果对规律掌握不熟练，优先选择赋值法，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
(4)一堆沙子重3t，如果用去$\frac{2}{3}$，还剩(
A.1
B.2
C.$\frac{7}{3}$
A
)t；如果用去$\frac{2}{3}$t，还剩(C
)t。A.1
B.2
C.$\frac{7}{3}$
答案
(4)A C
解析
【分析】
这道题的核心是区分不带单位的分数（分率）和带单位的分数（具体数量）的不同含义，解题思路分两步：1. 求用去$\frac{2}{3}$后剩下的重量时，先算出剩下的重量占总重量的分率，再用总重量乘这个分率得到剩下的重量；2. 求用去$\frac{2}{3}$t后剩下的重量时，因为$\frac{2}{3}$t是具体的重量，直接用总重量减去用去的具体重量即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
把这堆沙子的总重量看作单位“1”，用去$\frac{2}{3}$，则剩下的占总重量的$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
总重量是3t，所以剩下的重量为$3×\frac{1}{3}=1$（t），对应选项A。
2. 计算第二个空：
用去的$\frac{2}{3}$t是具体的质量，所以剩下的重量为总重量减去用去的重量，即$3-\frac{2}{3}=\frac{9}{3}-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$（t），对应选项C。
【答案】
A C
【知识点】
分率与具体量的区分；分数乘法的应用；分数减法计算
【点评】
本题是典型的易混易错题，解题的关键是审题时注意分数是否带有单位，不带单位的分数表示占总量的比例，带单位的分数表示具体的数量，两者的计算逻辑完全不同，避免混淆即可正确解题。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是区分不带单位的分数（分率）和带单位的分数（具体数量）的不同含义，解题思路分两步：1. 求用去$\frac{2}{3}$后剩下的重量时，先算出剩下的重量占总重量的分率，再用总重量乘这个分率得到剩下的重量；2. 求用去$\frac{2}{3}$t后剩下的重量时，因为$\frac{2}{3}$t是具体的重量，直接用总重量减去用去的具体重量即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
把这堆沙子的总重量看作单位“1”，用去$\frac{2}{3}$，则剩下的占总重量的$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
总重量是3t，所以剩下的重量为$3×\frac{1}{3}=1$（t），对应选项A。
2. 计算第二个空：
用去的$\frac{2}{3}$t是具体的质量，所以剩下的重量为总重量减去用去的重量，即$3-\frac{2}{3}=\frac{9}{3}-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$（t），对应选项C。
【答案】
A C
【知识点】
分率与具体量的区分；分数乘法的应用；分数减法计算
【点评】
本题是典型的易混易错题，解题的关键是审题时注意分数是否带有单位，不带单位的分数表示占总量的比例，带单位的分数表示具体的数量，两者的计算逻辑完全不同，避免混淆即可正确解题。
【难度系数】
0.6
3. 王伯伯做泥塑，第一天做了 60 个，第二天比第一天多做了$\frac{1}{5}$，第三天做的数量是第一天的$\frac{1}{5}$。他第二天和第三天各做了多少个泥塑？
答案
第二天：$60×(1+\frac{1}{5})=72$(个) 第三天：$60×\frac{1}{5}=12$(个)
解析
【分析】
解题时首先要找准每个分率对应的单位“1”，本题中两个分率均以第一天做的泥塑数量为单位“1”，单位“1”的数值60个是已知的，求对应比较量用乘法计算即可。针对第二天的数量：“第二天比第一天多做$\frac{1}{5}$”，说明第二天做的数量是第一天的$1+\frac{1}{5}$，用第一天的数量乘这个分率就能得到第二天的数量；针对第三天的数量：“第三天做的数量是第一天的$\frac{1}{5}$”，直接用第一天的数量乘$\frac{1}{5}$即可求出第三天的数量。
【解析】
1. 计算第二天做的泥塑数量：
第二天做的数量是第一天的$1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$，代入第一天的数量计算：
$60×(1+\frac{1}{5})=60×\frac{6}{5}=72$（个）
2. 计算第三天做的泥塑数量：
第三天做的数量是第一天的$\frac{1}{5}$，代入计算：
$60×\frac{1}{5}=12$（个）
【答案】
第二天做了72个，第三天做了12个。
【知识点】
1. 分数乘法应用
2. 单位“1”的判定
3. 求比一个数多几分之几的数
【点评】
本题是分数乘法的基础应用题，解题核心是准确识别单位“1”，当单位“1”的量已知时，用单位“1”的量乘对应分率即可得到所求量，解题时注意区分不同分率对应的含义，避免混淆两天对应的分率即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先要找准每个分率对应的单位“1”，本题中两个分率均以第一天做的泥塑数量为单位“1”，单位“1”的数值60个是已知的，求对应比较量用乘法计算即可。针对第二天的数量：“第二天比第一天多做$\frac{1}{5}$”，说明第二天做的数量是第一天的$1+\frac{1}{5}$，用第一天的数量乘这个分率就能得到第二天的数量；针对第三天的数量：“第三天做的数量是第一天的$\frac{1}{5}$”，直接用第一天的数量乘$\frac{1}{5}$即可求出第三天的数量。
【解析】
1. 计算第二天做的泥塑数量：
第二天做的数量是第一天的$1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$，代入第一天的数量计算：
$60×(1+\frac{1}{5})=60×\frac{6}{5}=72$（个）
2. 计算第三天做的泥塑数量：
第三天做的数量是第一天的$\frac{1}{5}$，代入计算：
$60×\frac{1}{5}=12$（个）
【答案】
第二天做了72个，第三天做了12个。
【知识点】
1. 分数乘法应用
2. 单位“1”的判定
3. 求比一个数多几分之几的数
【点评】
本题是分数乘法的基础应用题，解题核心是准确识别单位“1”，当单位“1”的量已知时，用单位“1”的量乘对应分率即可得到所求量，解题时注意区分不同分率对应的含义，避免混淆两天对应的分率即可。
【难度系数】
0.85
4. 某品牌的一款手机原价 3200 元，五一期间做促销，降价$\frac{1}{8}$销售，节后又涨价$\frac{1}{8}$。这时这款手机的售价是多少元？
答案
$3200×(1-\frac{1}{8})×(1+\frac{1}{8})=3150$(元)
解析
【分析】
解题时首先要明确两次价格调整对应的单位“1”不同：第一次降价$\frac{1}{8}$是在原价的基础上降价，单位“1”是原价3200元，降价后的价格是原价的$1-\frac{1}{8}$；第二次涨价$\frac{1}{8}$是在五一促销降价后的价格基础上涨价，单位“1”是降价后的售价，涨价后的价格是降价后售价的$1+\frac{1}{8}$。我们先算出降价后的价格，再以此为基础算出最终的售价即可。
【解析】
方法一：分步计算
1. 计算五一促销降价后的售价：
降价后价格是原价的$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$，
$3200×\frac{7}{8}=2800$（元）
2. 计算节后涨价后的售价：
涨价后价格是降价后价格的$1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$，
$2800×\frac{9}{8}=3150$（元）
方法二：综合算式计算
$3200×(1-\frac{1}{8})×(1+\frac{1}{8})$
$=3200×\frac{7}{8}×\frac{9}{8}$
$=2800×\frac{9}{8}$
$=3150$（元）
【答案】
3150元
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”的判定
【点评】
本题的易错点是容易混淆两次调价的单位“1”，错误认为降价和涨价的幅度相同，最终售价就等于原价。解题时要注意每次调价都是在前一次价格的基础上进行的，找准对应单位“1”是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两次价格调整对应的单位“1”不同：第一次降价$\frac{1}{8}$是在原价的基础上降价，单位“1”是原价3200元，降价后的价格是原价的$1-\frac{1}{8}$；第二次涨价$\frac{1}{8}$是在五一促销降价后的价格基础上涨价，单位“1”是降价后的售价，涨价后的价格是降价后售价的$1+\frac{1}{8}$。我们先算出降价后的价格，再以此为基础算出最终的售价即可。
【解析】
方法一：分步计算
1. 计算五一促销降价后的售价：
降价后价格是原价的$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$，
$3200×\frac{7}{8}=2800$（元）
2. 计算节后涨价后的售价：
涨价后价格是降价后价格的$1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$，
$2800×\frac{9}{8}=3150$（元）
方法二：综合算式计算
$3200×(1-\frac{1}{8})×(1+\frac{1}{8})$
$=3200×\frac{7}{8}×\frac{9}{8}$
$=2800×\frac{9}{8}$
$=3150$（元）
【答案】
3150元
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”的判定
【点评】
本题的易错点是容易混淆两次调价的单位“1”，错误认为降价和涨价的幅度相同，最终售价就等于原价。解题时要注意每次调价都是在前一次价格的基础上进行的，找准对应单位“1”是解题关键。
【难度系数】
0.7
