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方法三 巧用“拆项法”
“拆项法”就是把一个带分数拆成整数和真分数两部分，整数与整数结合，分数与分数结合。
5. 计算：$-5\frac{5}{6}+(-9\frac{2}{3})+17\frac{3}{4}+(-3\frac{1}{2})$。
6. 计算：$(-2025\frac{5}{6})+(-2024\frac{2}{3})+4050\frac{2}{3}+(-1\frac{1}{2})$。
“拆项法”就是把一个带分数拆成整数和真分数两部分，整数与整数结合，分数与分数结合。
5. 计算：$-5\frac{5}{6}+(-9\frac{2}{3})+17\frac{3}{4}+(-3\frac{1}{2})$。
6. 计算：$(-2025\frac{5}{6})+(-2024\frac{2}{3})+4050\frac{2}{3}+(-1\frac{1}{2})$。
答案
5. 解:原式=$(-5-9+17-3)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})$
$=0+(-1\frac{1}{4})$
$=-1\frac{1}{4}$.
6. 解:原式=$(-2025-2024+4050-1)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})$
$=0-\frac{4}{3}$
$=-\frac{4}{3}$.
$=0+(-1\frac{1}{4})$
$=-1\frac{1}{4}$.
6. 解:原式=$(-2025-2024+4050-1)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})$
$=0-\frac{4}{3}$
$=-\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
这两道有理数带分数加法运算题，可利用拆项法简化计算，解题思路如下：第一步先把每个带分数拆成整数部分与真分数部分的和，注意带分数前面的负号要同时作用于整数和分数两部分，避免符号出错；第二步利用加法交换律和结合律，将所有整数归为一组计算，所有分数归为另一组计算；第三步将两组的计算结果相加，即可得到最终答案，分组计算能大幅降低运算复杂度。
【解析】
5. 解：先拆分每个带分数，再分组计算：
原式$=(-5-\frac{5}{6})+(-9-\frac{2}{3})+(17+\frac{3}{4})+(-3-\frac{1}{2})$
$=(-5-9+17-3)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})$
计算整数部分：$-5-9+17-3=0$
计算分数部分：通分取分母12，得$-\frac{10}{12}-\frac{8}{12}+\frac{9}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{15}{12}=-1\frac{1}{4}$
合并结果：$0+(-1\frac{1}{4})=-1\frac{1}{4}$
6. 解：同理用拆项法计算：
原式$=(-2025-\frac{5}{6})+(-2024-\frac{2}{3})+(4050+\frac{2}{3})+(-1-\frac{1}{2})$
$=(-2025-2024+4050-1)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})$
计算整数部分：$-2025-2024+4050-1=0$
计算分数部分：$-\frac{2}{3}$和$+\frac{2}{3}$抵消，剩余$-\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
合并结果：$0+(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}$
【答案】
5. $\boldsymbol{-1\frac{1}{4}}$；6. $\boldsymbol{-\frac{4}{3}}$
【知识点】
有理数加法运算，拆项法简便计算，加法运算律应用
【点评】
此类题是有理数简便运算的常见题型，核心是通过拆项将复杂的带分数运算拆分为整数、分数两组独立运算，减少通分计算量，解题时要格外注意带分数拆分的符号正确性，分数运算时要做好通分、约分，也可观察分数部分是否有可抵消的项进一步简化运算。
【难度系数】
0.7
这两道有理数带分数加法运算题，可利用拆项法简化计算，解题思路如下：第一步先把每个带分数拆成整数部分与真分数部分的和，注意带分数前面的负号要同时作用于整数和分数两部分，避免符号出错；第二步利用加法交换律和结合律，将所有整数归为一组计算，所有分数归为另一组计算；第三步将两组的计算结果相加，即可得到最终答案，分组计算能大幅降低运算复杂度。
【解析】
5. 解：先拆分每个带分数，再分组计算：
原式$=(-5-\frac{5}{6})+(-9-\frac{2}{3})+(17+\frac{3}{4})+(-3-\frac{1}{2})$
$=(-5-9+17-3)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})$
计算整数部分：$-5-9+17-3=0$
计算分数部分：通分取分母12，得$-\frac{10}{12}-\frac{8}{12}+\frac{9}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{15}{12}=-1\frac{1}{4}$
合并结果：$0+(-1\frac{1}{4})=-1\frac{1}{4}$
6. 解：同理用拆项法计算：
原式$=(-2025-\frac{5}{6})+(-2024-\frac{2}{3})+(4050+\frac{2}{3})+(-1-\frac{1}{2})$
$=(-2025-2024+4050-1)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})$
计算整数部分：$-2025-2024+4050-1=0$
计算分数部分：$-\frac{2}{3}$和$+\frac{2}{3}$抵消，剩余$-\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
合并结果：$0+(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}$
【答案】
5. $\boldsymbol{-1\frac{1}{4}}$；6. $\boldsymbol{-\frac{4}{3}}$
【知识点】
有理数加法运算，拆项法简便计算，加法运算律应用
【点评】
此类题是有理数简便运算的常见题型，核心是通过拆项将复杂的带分数运算拆分为整数、分数两组独立运算，减少通分计算量，解题时要格外注意带分数拆分的符号正确性，分数运算时要做好通分、约分，也可观察分数部分是否有可抵消的项进一步简化运算。
【难度系数】
0.7
7. 计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$
答案
7. 解:原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$.
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$.
解析
【分析】
首先观察算式中每一项的结构：所有项的分子都是1，分母是两个连续正整数的乘积，符合裂项相消的特征。我们可以利用分数拆分规律，把每一项$\frac{1}{n(n+1)}$拆成$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$的形式，拆分后相邻项会出现互为相反数的部分，相加可相互抵消，最后仅需计算剩余的首项和末项的差即可得到结果，避免了逐个通分计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
观察算式可发现，中间的$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$……$-\frac{1}{2025}$与$+\frac{1}{2025}$均可相互抵消，仅剩首项1和末项$-\frac{1}{2026}$
因此原式$=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
1.裂项相消法 2.有理数加减运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题关键是识别裂项的结构特征，熟练掌握拆分规律，通过抵消中间项简化计算，解题时要注意拆分的正确性以及剩余项的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先观察算式中每一项的结构：所有项的分子都是1，分母是两个连续正整数的乘积，符合裂项相消的特征。我们可以利用分数拆分规律，把每一项$\frac{1}{n(n+1)}$拆成$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$的形式，拆分后相邻项会出现互为相反数的部分，相加可相互抵消，最后仅需计算剩余的首项和末项的差即可得到结果，避免了逐个通分计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
观察算式可发现，中间的$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$……$-\frac{1}{2025}$与$+\frac{1}{2025}$均可相互抵消，仅剩首项1和末项$-\frac{1}{2026}$
因此原式$=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
1.裂项相消法 2.有理数加减运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题关键是识别裂项的结构特征，熟练掌握拆分规律，通过抵消中间项简化计算，解题时要注意拆分的正确性以及剩余项的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
8. 计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{999000}$
答案
8. 解:原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
$=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$.
$=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$.
解析
【分析】
解题时首先观察算式中各分数的分母特征：2=1×2，6=2×3，12=3×4，……，999000=999×1000，所有分母均为相邻两个正整数的乘积。根据分数拆分规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可将每个分数拆成两个分数的差，拆分后中间的正负项会两两抵消，仅剩下首项和末项，大幅简化计算量。
【解析】
解：观察各分数分母可得：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{999000}=\frac{1}{999×1000}=\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
则原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
中间项两两抵消后，得：
原式=$1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$
【答案】
$\frac{999}{1000}$
【知识点】
1. 裂项相消法 2. 有理数加减运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题关键是观察分母的乘积规律，通过裂项拆分抵消中间重复项，避免逐项通分计算的繁琐，能够有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察算式中各分数的分母特征：2=1×2，6=2×3，12=3×4，……，999000=999×1000，所有分母均为相邻两个正整数的乘积。根据分数拆分规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可将每个分数拆成两个分数的差，拆分后中间的正负项会两两抵消，仅剩下首项和末项，大幅简化计算量。
【解析】
解：观察各分数分母可得：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{999000}=\frac{1}{999×1000}=\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
则原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
中间项两两抵消后，得：
原式=$1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$
【答案】
$\frac{999}{1000}$
【知识点】
1. 裂项相消法 2. 有理数加减运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题关键是观察分母的乘积规律，通过裂项拆分抵消中间重复项，避免逐项通分计算的繁琐，能够有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
若几个非负数的和等于0,则每个加数都等于0.例如:若$a^2+|b|=0$,则$a=0,b=0$.
9.已知$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数,求$(a-b)^{a-b}$的值.
9.已知$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数,求$(a-b)^{a-b}$的值.
答案
9. 解:27.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据互为相反数的两个数之和为0，列出关于a、b的等式；第二步，结合平方和绝对值均为非负数的性质，根据题目给出的“非负数和为0时每个非负数均为0”的结论，分别求出a、b的值；第三步，将a、b的值代入待求代数式，计算得到最终结果。
【解析】
解：
∵$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数
∴$(a-2)^2 + |b+1| = 0$
又
∵$(a-2)^2≥0$，$|b+1|≥0$，两个非负数的和为0时，每个加数都为0
∴$a-2=0$，$b+1=0$
解得：$a=2$，$b=-1$
∴$a-b=2 - (-1)=3$
∴$(a-b)^{a-b}=3^3=27$
【答案】
27
【知识点】
非负数的性质、相反数的定义、有理数的乘方
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用非负数的性质求解未知数，解题的关键是先根据相反数的性质建立等式，再结合非负数的特点求出a、b的值后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据互为相反数的两个数之和为0，列出关于a、b的等式；第二步，结合平方和绝对值均为非负数的性质，根据题目给出的“非负数和为0时每个非负数均为0”的结论，分别求出a、b的值；第三步，将a、b的值代入待求代数式，计算得到最终结果。
【解析】
解：
∵$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数
∴$(a-2)^2 + |b+1| = 0$
又
∵$(a-2)^2≥0$，$|b+1|≥0$，两个非负数的和为0时，每个加数都为0
∴$a-2=0$，$b+1=0$
解得：$a=2$，$b=-1$
∴$a-b=2 - (-1)=3$
∴$(a-b)^{a-b}=3^3=27$
【答案】
27
【知识点】
非负数的性质、相反数的定义、有理数的乘方
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用非负数的性质求解未知数，解题的关键是先根据相反数的性质建立等式，再结合非负数的特点求出a、b的值后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
10. 请根据下面的对话解答下列问题.
小红:已知a与2互为相反数.
小明:b与$-\dfrac{1}{3}$互为倒数.
(1)$a=$
(2)已知$|m-a|+|b+n|=0$,求$mn$的值.
小红:已知a与2互为相反数.
小明:b与$-\dfrac{1}{3}$互为倒数.
(1)$a=$
-2
,$b=$ -3
;(2)已知$|m-a|+|b+n|=0$,求$mn$的值.
答案
10. 解:(1)-2,-3; (2)-6.
解析
【分析】
（1）求解第一问需结合相反数、倒数的定义思考：互为相反数的两个数之和为0，据此可列等式求出a的值；互为倒数的两个数乘积为1，据此列等式可求出b的值。
（2）求解第二问需利用绝对值的非负性：任意数的绝对值都大于等于0，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，据此分别求出m、n的值，再代入计算mn即可。
【解析】
（1）
∵a与2互为相反数，互为相反数的两数之和为0
∴a + 2 = 0，解得a = -2
∵b与$-\dfrac{1}{3}$互为倒数，互为倒数的两数乘积为1
∴$b × (-\dfrac{1}{3}) = 1$，解得$b = 1 ÷ (-\dfrac{1}{3}) = -3$
（2）
∵任意数的绝对值均为非负数，即$|m-a|≥0$，$|b+n|≥0$，且$|m-a|+|b+n|=0$
∴$\begin{cases} m - a = 0 \\ b + n = 0 \end{cases}$
将a=-2，b=-3代入得：
$m - (-2) = 0$，解得m = -2
$-3 + n = 0$，解得n = 3
∴$mn = (-2) × 3 = -6$
【答案】
(1)-2，-3；(2)-6
【知识点】
相反数的定义，倒数的定义，绝对值的非负性
【点评】
本题是有理数相关概念的基础应用题，解题核心是准确掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性质，计算量小，只要基础概念牢固就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问需结合相反数、倒数的定义思考：互为相反数的两个数之和为0，据此可列等式求出a的值；互为倒数的两个数乘积为1，据此列等式可求出b的值。
（2）求解第二问需利用绝对值的非负性：任意数的绝对值都大于等于0，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，据此分别求出m、n的值，再代入计算mn即可。
【解析】
（1）
∵a与2互为相反数，互为相反数的两数之和为0
∴a + 2 = 0，解得a = -2
∵b与$-\dfrac{1}{3}$互为倒数，互为倒数的两数乘积为1
∴$b × (-\dfrac{1}{3}) = 1$，解得$b = 1 ÷ (-\dfrac{1}{3}) = -3$
（2）
∵任意数的绝对值均为非负数，即$|m-a|≥0$，$|b+n|≥0$，且$|m-a|+|b+n|=0$
∴$\begin{cases} m - a = 0 \\ b + n = 0 \end{cases}$
将a=-2，b=-3代入得：
$m - (-2) = 0$，解得m = -2
$-3 + n = 0$，解得n = 3
∴$mn = (-2) × 3 = -6$
【答案】
(1)-2，-3；(2)-6
【知识点】
相反数的定义，倒数的定义，绝对值的非负性
【点评】
本题是有理数相关概念的基础应用题，解题核心是准确掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性质，计算量小，只要基础概念牢固就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
