登录
一、选择题
1. 下列各组单项式是同类项的是(
A.$3a^2b$ 与 $-2ba^2$
B.$3^2m^3$ 与 $2^3m^2$
C.$-xy$ 与 $2x^2y$
D.$-\dfrac{ab}{2}$ 与 $2abc$
1. 下列各组单项式是同类项的是(
A
).A.$3a^2b$ 与 $-2ba^2$
B.$3^2m^3$ 与 $2^3m^2$
C.$-xy$ 与 $2x^2y$
D.$-\dfrac{ab}{2}$ 与 $2abc$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断各组单项式是否为同类项，首先要明确同类项的判断标准：一是所含字母完全相同，二是相同字母的对应指数也完全相同，且同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。解题时可对照这两个标准，逐个分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先明确同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，同类项与字母的排列顺序、系数大小无关。
对各选项逐一判断：
A选项：$3a^2b$与$-2ba^2$，所含字母均为a、b，其中a的指数都是2，b的指数都是1，满足同类项的定义，是同类项；
B选项：$3^2m^3$与$2^3m^2$，m的指数分别为3和2，相同字母的指数不同，不是同类项；
C选项：$-xy$与$2x^2y$，x的指数分别为1和2，相同字母的指数不同，不是同类项；
D选项：$-\dfrac{ab}{2}$与$2abc$，前者所含字母为a、b，后者所含字母为a、b、c，所含字母不相同，不是同类项。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题考查同类项的判定，属于基础题型，解题关键是牢记同类项的两个核心判断条件，注意不要被字母排列顺序、系数大小等无关因素干扰。
【难度系数】
0.9
要判断各组单项式是否为同类项，首先要明确同类项的判断标准：一是所含字母完全相同，二是相同字母的对应指数也完全相同，且同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。解题时可对照这两个标准，逐个分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先明确同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，同类项与字母的排列顺序、系数大小无关。
对各选项逐一判断：
A选项：$3a^2b$与$-2ba^2$，所含字母均为a、b，其中a的指数都是2，b的指数都是1，满足同类项的定义，是同类项；
B选项：$3^2m^3$与$2^3m^2$，m的指数分别为3和2，相同字母的指数不同，不是同类项；
C选项：$-xy$与$2x^2y$，x的指数分别为1和2，相同字母的指数不同，不是同类项；
D选项：$-\dfrac{ab}{2}$与$2abc$，前者所含字母为a、b，后者所含字母为a、b、c，所含字母不相同，不是同类项。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题考查同类项的判定，属于基础题型，解题关键是牢记同类项的两个核心判断条件，注意不要被字母排列顺序、系数大小等无关因素干扰。
【难度系数】
0.9
2. 下列计算正确的是(
A.$2c + 3c = 5c^2$
B.$6a^2b - 3ab^2 = 3ab$
C.$4y^2 - 2y^2 = 2y^2$
D.$6b^2 - 5b^2 = 1$
C
).A.$2c + 3c = 5c^2$
B.$6a^2b - 3ab^2 = 3ab$
C.$4y^2 - 2y^2 = 2y^2$
D.$6b^2 - 5b^2 = 1$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查合并同类项的相关运算，解题思路如下：首先明确两个核心规则：①只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项）才能合并，非同类项不能直接加减；②合并同类项时，只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。接下来逐一分析每个选项的运算是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$2c$和$3c$是同类项，合并时系数相加，字母和指数不变，正确结果应为$2c+3c=5c$，而非$5c^2$，故A错误；
B选项：$6a^2b$中$a$的指数为2、$b$的指数为1，$3ab^2$中$a$的指数为1、$b$的指数为2，二者不是同类项，不能直接合并，故B错误；
C选项：$4y^2$和$2y^2$是同类项，合并后系数为$4-2=2$，字母和指数不变，结果为$2y^2$，故C正确；
D选项：$6b^2$和$5b^2$是同类项，合并后系数为$6-5=1$，字母和指数保留，正确结果应为$b^2$，而非1，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项法则；2. 同类项的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对同类项的判别以及合并同类项法则的掌握，易错点为合并同类项时随意改变字母的指数，或者漏写字母部分，解题时需严格按照法则计算。
【难度系数】
0.8
本题考查合并同类项的相关运算，解题思路如下：首先明确两个核心规则：①只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项）才能合并，非同类项不能直接加减；②合并同类项时，只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。接下来逐一分析每个选项的运算是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$2c$和$3c$是同类项，合并时系数相加，字母和指数不变，正确结果应为$2c+3c=5c$，而非$5c^2$，故A错误；
B选项：$6a^2b$中$a$的指数为2、$b$的指数为1，$3ab^2$中$a$的指数为1、$b$的指数为2，二者不是同类项，不能直接合并，故B错误；
C选项：$4y^2$和$2y^2$是同类项，合并后系数为$4-2=2$，字母和指数不变，结果为$2y^2$，故C正确；
D选项：$6b^2$和$5b^2$是同类项，合并后系数为$6-5=1$，字母和指数保留，正确结果应为$b^2$，而非1，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项法则；2. 同类项的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对同类项的判别以及合并同类项法则的掌握，易错点为合并同类项时随意改变字母的指数，或者漏写字母部分，解题时需严格按照法则计算。
【难度系数】
0.8
3. 若$5xy^2 + axy^2 = -2xy^2$，则$a =$
-7
。答案
3. -7
解析
【分析】
本题考查合并同类项的应用，解题思路如下：第一步先判断等式左侧的两项$5xy^2$和$axy^2$是同类项，根据合并同类项的法则，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此左侧合并后系数为$5+a$；第二步，等式左右两边含字母的部分完全相同，要使等式成立，对应系数必须相等，因此可以得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵$5xy^2$与$axy^2$是同类项，根据合并同类项法则可得：
等式左边合并后为$(5+a)xy^2$
∴$(5+a)xy^2 = -2xy^2$
等式两边同类项的系数相等，因此：
$5 + a = -2$
解得：$a = -2 - 5 = -7$
【答案】
-7
【知识点】
合并同类项法则、同类项、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察同类项的合并规则，解题时要注意系数运算的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查合并同类项的应用，解题思路如下：第一步先判断等式左侧的两项$5xy^2$和$axy^2$是同类项，根据合并同类项的法则，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此左侧合并后系数为$5+a$；第二步，等式左右两边含字母的部分完全相同，要使等式成立，对应系数必须相等，因此可以得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵$5xy^2$与$axy^2$是同类项，根据合并同类项法则可得：
等式左边合并后为$(5+a)xy^2$
∴$(5+a)xy^2 = -2xy^2$
等式两边同类项的系数相等，因此：
$5 + a = -2$
解得：$a = -2 - 5 = -7$
【答案】
-7
【知识点】
合并同类项法则、同类项、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察同类项的合并规则，解题时要注意系数运算的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.9
4. 已知$2x^6y^{2020}$和$-\frac{1}{3}x^{3m}y^n$可以合并同类项，则$m$的值是
2
，$n$的值是2020
。答案
4. 2 2020
解析
【分析】
要解决本题，首先明确“可以合并同类项”的两个单项式一定是同类项。再回忆同类项的判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。我们只需让两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，分别列等式计算即可求出m和n的值。
【解析】
解：
∵$2x^6y^{2020}$和$-\frac{1}{3}x^{3m}y^n$可以合并同类项
∴ 二者是同类项，满足相同字母的指数分别相等
对于x的指数可得：$3m=6$，解得$m=2$
对于y的指数可得：$n=2020$
【答案】
2；2020
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类项的判定特征，牢记同类项“两个相同”的要求，对应列等式求解即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先明确“可以合并同类项”的两个单项式一定是同类项。再回忆同类项的判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。我们只需让两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，分别列等式计算即可求出m和n的值。
【解析】
解：
∵$2x^6y^{2020}$和$-\frac{1}{3}x^{3m}y^n$可以合并同类项
∴ 二者是同类项，满足相同字母的指数分别相等
对于x的指数可得：$3m=6$，解得$m=2$
对于y的指数可得：$n=2020$
【答案】
2；2020
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类项的判定特征，牢记同类项“两个相同”的要求，对应列等式求解即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 如果整式A与整式B的和为实数a，我们称A，B为a的“友好整式”，例如：$x - 4$与$-x + 5$为1的“友好整式”；$2ab + 3$与$-2ab + 4$为7的“友好整式”。若关于$x$的整式$2x^2 + kx + 6$与$-2x^2 - 3x + k - 1$为$n$的“友好整式”，则：
(1)$k$的值为
(1)$k$的值为
3
；(2)$n$的值为8
。答案
5. 3 8
解析
【分析】
首先明确“友好整式”的定义：若两个整式的和为实数$a$，则这两个整式为$a$的“友好整式”。解题时先将题目给出的两个整式相加、合并同类项，因为两式的和是实数$n$，说明合并结果中含$x$的项的系数必须为0，据此先求出$k$的值，再代入计算常数项即可得到$n$的值。
【解析】
根据“友好整式”的定义，两个整式的和为$n$，因此计算两式的和：
$\begin{aligned}&(2x^2 + kx + 6)+(-2x^2 - 3x + k - 1)\\=&2x^2 + kx +6 -2x^2 -3x +k -1\\=&(2x^2-2x^2)+(kx-3x)+(6 +k -1)\\=&(k-3)x + (k+5)\end{aligned}$
因为和为实数$n$，不含$x$项，所以$x$的系数为0：
$k-3=0$，解得$k=3$。
将$k=3$代入常数项$k+5$，得$n=3+5=8$。
【答案】
3；8
【知识点】
新定义运算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是先准确理解新定义的规则，再结合整式加减的运算规律求解，重点考察对新定义的理解能力和整式加减运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
首先明确“友好整式”的定义：若两个整式的和为实数$a$，则这两个整式为$a$的“友好整式”。解题时先将题目给出的两个整式相加、合并同类项，因为两式的和是实数$n$，说明合并结果中含$x$的项的系数必须为0，据此先求出$k$的值，再代入计算常数项即可得到$n$的值。
【解析】
根据“友好整式”的定义，两个整式的和为$n$，因此计算两式的和：
$\begin{aligned}&(2x^2 + kx + 6)+(-2x^2 - 3x + k - 1)\\=&2x^2 + kx +6 -2x^2 -3x +k -1\\=&(2x^2-2x^2)+(kx-3x)+(6 +k -1)\\=&(k-3)x + (k+5)\end{aligned}$
因为和为实数$n$，不含$x$项，所以$x$的系数为0：
$k-3=0$，解得$k=3$。
将$k=3$代入常数项$k+5$，得$n=3+5=8$。
【答案】
3；8
【知识点】
新定义运算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是先准确理解新定义的规则，再结合整式加减的运算规律求解，重点考察对新定义的理解能力和整式加减运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
三、解答题
6. 合并下列各式中的同类项：
（1）$3b - 3a^3 + 1 + a^3 - 2b - 2$；
（2）$3x^{n+1}y^2 - 4x^ny^n - 2y^2x^{n+1} - 7y^nx^n$。
6. 合并下列各式中的同类项：
（1）$3b - 3a^3 + 1 + a^3 - 2b - 2$；
（2）$3x^{n+1}y^2 - 4x^ny^n - 2y^2x^{n+1} - 7y^nx^n$。
答案
6. (1) $b - 2a^3 - 1$ (2) $x^{n+1}y^2 - 11x^ny^n$
解析
【分析】
解决合并同类项问题的思路分三步：第一步先识别同类项，同类项需满足所含字母相同、相同字母的指数也相同，所有常数项都是同类项，注意找同类项时要带着项前面的符号；第二步根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；第三步整理得到最终化简结果。
（1）中同类项分别为：3b与-2b，-3a³与+a³，常数项1与-2；（2）中同类项分别为：3xⁿ⁺¹y²与-2y²xⁿ⁺¹，-4xⁿyⁿ与-7yⁿxⁿ，分别合并对应同类项即可。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=(3b - 2b) + (-3a^3 + a^3) + (1 - 2)\\&=(3-2)b + (-3+1)a^3 + (-1)\\&=b - 2a^3 - 1\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}原式&=(3x^{n+1}y^2 - 2x^{n+1}y^2) + (-4x^ny^n - 7x^ny^n)\\&=(3-2)x^{n+1}y^2 + (-4-7)x^ny^n\\&=x^{n+1}y^2 - 11x^ny^n\end{aligned}$
【答案】
（1）$b - 2a^3 - 1$；（2）$x^{n+1}y^2 - 11x^ny^n$
【知识点】
1. 同类项的定义；2. 合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，解题核心是准确识别同类项，特别注意移动项时要保留项前面的符号，避免符号运算错误，熟练掌握该知识点是后续整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
解决合并同类项问题的思路分三步：第一步先识别同类项，同类项需满足所含字母相同、相同字母的指数也相同，所有常数项都是同类项，注意找同类项时要带着项前面的符号；第二步根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；第三步整理得到最终化简结果。
（1）中同类项分别为：3b与-2b，-3a³与+a³，常数项1与-2；（2）中同类项分别为：3xⁿ⁺¹y²与-2y²xⁿ⁺¹，-4xⁿyⁿ与-7yⁿxⁿ，分别合并对应同类项即可。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=(3b - 2b) + (-3a^3 + a^3) + (1 - 2)\\&=(3-2)b + (-3+1)a^3 + (-1)\\&=b - 2a^3 - 1\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}原式&=(3x^{n+1}y^2 - 2x^{n+1}y^2) + (-4x^ny^n - 7x^ny^n)\\&=(3-2)x^{n+1}y^2 + (-4-7)x^ny^n\\&=x^{n+1}y^2 - 11x^ny^n\end{aligned}$
【答案】
（1）$b - 2a^3 - 1$；（2）$x^{n+1}y^2 - 11x^ny^n$
【知识点】
1. 同类项的定义；2. 合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，解题核心是准确识别同类项，特别注意移动项时要保留项前面的符号，避免符号运算错误，熟练掌握该知识点是后续整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
7. 有这样一道题：
当$a=0.35, b=-0.28$时，求$7a^3 -6a^3b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +3a^2b +2024$的值.
小明说：本题中$a=0.35, b=-0.28$是多余的条件，结果与$a, b$的值无关.
小强马上反对说：这个多项式中很多项都含有$a$和$b$，不给出$a, b$的值怎么能求出多项式的值呢？
你同意哪名同学的观点？请说明理由.
当$a=0.35, b=-0.28$时，求$7a^3 -6a^3b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +3a^2b +2024$的值.
小明说：本题中$a=0.35, b=-0.28$是多余的条件，结果与$a, b$的值无关.
小强马上反对说：这个多项式中很多项都含有$a$和$b$，不给出$a, b$的值怎么能求出多项式的值呢？
你同意哪名同学的观点？请说明理由.
答案
同意小明的观点，因为多项式合并同类项后结果为2 024，与$a, b$无关
解析
【分析】
要判断a、b的取值是否为多余条件，只需对多项式合并同类项后观察化简结果：如果化简后的结果不含字母a、b，说明原式的值和a、b的取值无关，小明观点正确；反之则小强观点正确。
【解析】
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&\quad7a^3 -6a^3b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +3a^2b +2024\\&=(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(-3a^2b+3a^2b)+2024\\&=(7+3-10)a^3+(-6+6)a^3b+(-3+3)a^2b+2024\\&=0+0+0+2024\\&=2024\end{aligned}$
化简后结果为常数2024，和a、b的取值无关，因此小明的观点正确。
【答案】
同意小明的观点，因为多项式合并同类项后结果为2024，与$a, b$无关
【知识点】
合并同类项，代数式化简
【点评】
此类问题无需直接代入字母数值计算，先合并同类项化简代数式，根据化简结果即可快速判断代数式的值是否与字母取值相关，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要判断a、b的取值是否为多余条件，只需对多项式合并同类项后观察化简结果：如果化简后的结果不含字母a、b，说明原式的值和a、b的取值无关，小明观点正确；反之则小强观点正确。
【解析】
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&\quad7a^3 -6a^3b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +3a^2b +2024\\&=(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(-3a^2b+3a^2b)+2024\\&=(7+3-10)a^3+(-6+6)a^3b+(-3+3)a^2b+2024\\&=0+0+0+2024\\&=2024\end{aligned}$
化简后结果为常数2024，和a、b的取值无关，因此小明的观点正确。
【答案】
同意小明的观点，因为多项式合并同类项后结果为2024，与$a, b$无关
【知识点】
合并同类项，代数式化简
【点评】
此类问题无需直接代入字母数值计算，先合并同类项化简代数式，根据化简结果即可快速判断代数式的值是否与字母取值相关，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
