如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=4，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

解：
以BC的中点为坐标原点O，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=4，
∴ AC=4，BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}=4\sqrt{2}$，
∴ OB=OC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$，
又∵ 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴ OA=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$，
∴ 三个顶点的坐标分别为：A$(0,2\sqrt{2})$，B$(-2\sqrt{2},0)$，C$(2\sqrt{2},0)$。
注：建立坐标系的方式不唯一，坐标结果随建系方式不同合理即可。

【分析】
要解决该问题，首先需选择合适的平面直角坐标系，为简化计算，通常优先选择图形的特殊点（如中点、顶点）为原点，特殊直线（如边、对称轴）为坐标轴。本题为等腰直角三角形，选择斜边BC的中点为原点、BC所在直线为x轴、BC的垂直平分线为y轴建系，可利用图形对称性简化计算。接下来结合等腰直角三角形的性质、勾股定理求出各边长度，再根据点到坐标轴的距离和所在位置确定坐标即可，注意建系方式不唯一，合理即可。
【解析】
以BC的中点为坐标原点O，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=4，
∴ AC=AB=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∵ O是BC中点，
∴ $OB=OC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$，
又
∵ 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，OA是斜边BC上的高，
∴ $OA=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$，
结合各点在坐标系中的位置可得：
点A在y轴正半轴，坐标为$(0,2\sqrt{2})$；
点B在x轴负半轴，坐标为$(-2\sqrt{2},0)$；
点C在x轴正半轴，坐标为$(2\sqrt{2},0)$。
注：建立坐标系的方式不唯一，坐标结果随建系方式不同合理即可。
【答案】
以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系时，各顶点坐标为A$(0,2\sqrt{2})$，B$(-2\sqrt{2},0)$，C$(2\sqrt{2},0)$。（建系方式不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 平面直角坐标系的建立
2. 等腰直角三角形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于开放性基础题，考查灵活建立平面直角坐标系的能力，以及结合几何图形性质求解点坐标的应用能力，建系时优先选择特殊点为原点、特殊直线为坐标轴可大幅简化计算，只要建系合理、坐标对应正确即可得分。
【难度系数】
0.8

例2 有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标识点，A(-3，1)，B(-3，-3)，而主要建筑C(3，2)的位置模糊不清，请通过建立平面直角坐标系，找到图中点C的位置，并求△ABC的周长。

归纳总结
先根据已知点的坐标，画出平面直角坐标系，再描点，然后利用勾股定理等方法计算两点间的距离，进而求解。

根据A(-3，1)，B(-3，-3)，画出平面直角坐标系，描出点C(3，2)，如图。
因为 AC =√(3+3)²+(2-1)²=√37，AB =|1-(-3)| = 4， BC =√(3+3)²+(2+3)²=√61，
所以△ABC 的周长为 AC+AB+BC=√37 +4 +√61。

【分析】
解题时首先根据已知点A、B的坐标特征确定平面直角坐标系的位置：A、B两点横坐标均为-3，说明两点在竖直直线x=-3上，结合A点纵坐标为1、B点纵坐标为-3，可知从A点向右平移3个单位、向下平移1个单位的位置即为坐标原点，由此画出x轴、y轴建立坐标系；再根据C点坐标(3,2)在坐标系中描出点C。接下来计算△ABC的周长：先利用横坐标相同的两点距离等于纵坐标差的绝对值求AB的长度，再用勾股定理分别计算斜线段AC、BC的长度，最后将三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：由A(-3,1)、B(-3,-3)可知，两点横坐标相同，在竖直直线x=-3上，每个网格边长为1个单位长度，因此向右数3格、向下数1格确定原点O，画出x轴（水平向右为正方向）和y轴（竖直向上为正方向）；根据C(3,2)的坐标，在x轴正方向3个单位、y轴正方向2个单位的位置描出点C。
2. 计算各边长度：
① AB的长度：A、B横坐标相同，因此AB = |y_A - y_B| = |1 - (-3)| = 4；
② AC的长度：A(-3,1)、C(3,2)，水平距离为3 - (-3) = 6，竖直距离为2 - 1 = 1，由勾股定理得$AC = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$；
③ BC的长度：B(-3,-3)、C(3,2)，水平距离为3 - (-3) = 6，竖直距离为2 - (-3) = 5，由勾股定理得$BC = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$；
3. 计算周长：△ABC的周长 = AB + AC + BC = $4 + \sqrt{37} + \sqrt{61}$。
【答案】
根据A(-3，1)，B(-3，-3)，画出平面直角坐标系，描出点C(3，2)，如图。
因为 AC =√(3+3)²+(2-1)²=√37，AB =|1-(-3)| = 4， BC =√(3+3)²+(2+3)²=√61，
所以△ABC 的周长为 AC+AB+BC=√37 +4 +√61。
【知识点】
平面直角坐标系建立；两点间距离计算；勾股定理
【点评】
本题综合考查了坐标系的构建与线段长度的计算，解题核心是根据已知点坐标准确确定原点位置，再结合坐标特征和勾股定理求出各边长度，既考查了动手操作能力，也锻炼了基础运算能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点$(-1, -2)$，“相”位于点$(1, -2)$，则“炮”位于点（）


A.$(-3, 1)$
B.$(3, 1)$
C.$(1, 3)$
D.$(1, -2)$

1.A

【分析】
解题时首先根据已知“将”和“相”的坐标特征确定平面直角坐标系的位置：已知两点纵坐标均为-2，说明两点在平行于x轴的直线上，两点横坐标分别为-1和1，可推出y轴为两点连线的垂直平分线，再结合纵坐标为-2，可推出x轴在两点连线向上2个单位的水平位置，明确向右为x轴正方向、向上为y轴正方向、相邻网格边长为1个单位长度后，即可根据“炮”的位置数出对应横、纵坐标。
【解析】
第一步：确定平面直角坐标系
已知“将”坐标为$(-1, -2)$，“相”坐标为$(1, -2)$：
① 两点纵坐标相同，说明两点连线平行于x轴，且该直线为$y=-2$，因此x轴为该直线向上平移2个单位的水平线，向上为y轴正方向；
② 两点横坐标分别为-1和1，中点横坐标为0，因此y轴为过该中点的竖直线，向右为x轴正方向；
③ 相邻两个网格的边长为1个单位长度。
第二步：确定“炮”的坐标
观察“炮”的位置：在y轴左侧，距离y轴3个单位，因此横坐标为$-3$；在x轴上方，距离x轴1个单位，因此纵坐标为$1$，即“炮”的坐标为$(-3,1)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标；坐标确定位置
【点评】
本题考查根据已知点坐标建立坐标系并求解未知点坐标的能力，解题核心是准确判断原点位置、坐标轴方向和单位长度，熟练掌握坐标的含义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图，建立平面直角坐标系，使点B的坐标为$(-2, -2)$，点C的坐标为$(2, 0)$，并写出点A的坐标。

2. 解：建立平面直角坐标系略，点A的坐标是(1，2)。

【分析】
解题时首先要明确平面直角坐标系的三要素：原点、坐标轴正方向、单位长度。本题已给出点B、C的坐标，我们可以先以每个小方格边长为1个单位长度，再根据B、C的坐标确定原点和坐标轴的位置：点C纵坐标为0，说明C在x轴上，据此确定水平的x轴，向右为正方向；再结合B的横、纵坐标确定竖直的y轴，向上为正方向，找到原点位置后，观察点A相对于原点的位置，即可得到A的坐标。
【解析】
步骤1：规定单位长度：取每个小方格的边长为1个单位长度。
步骤2：建立坐标系：因为点C的坐标为$(2,0)$，所以x轴为过点C的水平直线，向右为x轴正方向；点B坐标为$(-2,-2)$，即B在x轴下方2个单位，y轴左侧2个单位，由此确定竖直向上为y轴正方向，x轴与y轴的交点为原点$(0,0)$，完成坐标系建立。
步骤3：确定点A的坐标：观察点A的位置，其在y轴右侧1个单位（横坐标为1），x轴上方2个单位（纵坐标为2），因此点A的坐标为$(1,2)$。
【答案】
点A的坐标是$(1,2)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系建立
2. 点的坐标确定
3. 坐标与位置对应
【点评】
本题是坐标系应用的基础题型，核心是掌握根据已知点坐标反推坐标系参数的方法，只要准确确定原点和坐标轴方向，就能轻松求出未知点的坐标。
【难度系数】
0.8