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任务导学
任务一 认识函数
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作函数？
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量
探究2：表示函数的方法一般有：
探究3：根据函数的定义，请判断下列关系中变量h是否为t的函数。
渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅h（单位：m）与传输时间t（单位：s）之间的关系如图所示。
归纳总结
函数关系的判断方法：
（1）看是否在一个变化过程中；
（2）看是否存在两个变量；
（3）看自变量取一个值时，因变量是否有唯一的值与它对应。
即时测评
任务一 认识函数
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作函数？
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量
x
的每一个值，变量y都有唯一
的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量
，y是因变量
。探究2：表示函数的方法一般有：
列表法
、表达式法
和图象法
。探究3：根据函数的定义，请判断下列关系中变量h是否为t的函数。
渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅h（单位：m）与传输时间t（单位：s）之间的关系如图所示。
归纳总结
函数关系的判断方法：
（1）看是否在一个变化过程中；
（2）看是否存在两个变量；
（3）看自变量取一个值时，因变量是否有唯一的值与它对应。
即时测评
答案
探究1：x 唯一 自变量 因变量
探究2：列表法 表达式法 图象法
探究3：解：由题图可知，对于变量t的每一个值，变量h都有唯一的值与它对应，所以变量h是t的函数。
探究2：列表法 表达式法 图象法
探究3：解：由题图可知，对于变量t的每一个值，变量h都有唯一的值与它对应，所以变量h是t的函数。
解析
【分析】
本题围绕函数的基础概念设置三个探究任务，解题思路如下：
1. 探究1考查函数的基本定义，直接回忆教材中函数的定义内容对应填空即可，核心要抓住“自变量每取一个值，因变量有唯一值对应”的关键特征。
2. 探究2考查函数的常见表示方法，直接识记教材总结的三类表示方法即可。
3. 探究3考查函数关系的判断，按照题目给出的三个判断步骤逐一验证：首先该情境是超声波振幅随时间变化的过程，存在时间t和振幅h两个变量，再观察图像可知，任意取一个t的取值，都只能找到唯一一个h的值和它对应，满足函数的定义要求，即可得出结论。
【解析】
探究1：根据函数的定义，变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，其中x是自变量，y是因变量，因此依次填入对应内容即可。
探究2：函数的三种常用表示方法分别为列表法、表达式法、图象法，直接对应填写即可。
探究3：按照函数判断步骤验证：①存在超声波振幅随时间变化的变化过程；②过程中有时间t和振幅h两个变量；③观察图像可得，对于t的每一个取值，h都有唯一的值与它对应，因此h是t的函数。
【答案】
探究1：x 唯一 自变量 因变量
探究2：列表法 表达式法 图象法
探究3：由题图可知，对于变量t的每一个值，变量h都有唯一的值与它对应，所以变量h是t的函数。
【知识点】
函数的定义；函数的表示方法；函数的判断
【点评】
本题是函数模块的基础概念题，重点考查对函数定义中“唯一对应”核心特征的理解，难度较低，熟练掌握基础概念即可快速作答，是学习后续函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题围绕函数的基础概念设置三个探究任务，解题思路如下：
1. 探究1考查函数的基本定义，直接回忆教材中函数的定义内容对应填空即可，核心要抓住“自变量每取一个值，因变量有唯一值对应”的关键特征。
2. 探究2考查函数的常见表示方法，直接识记教材总结的三类表示方法即可。
3. 探究3考查函数关系的判断，按照题目给出的三个判断步骤逐一验证：首先该情境是超声波振幅随时间变化的过程，存在时间t和振幅h两个变量，再观察图像可知，任意取一个t的取值，都只能找到唯一一个h的值和它对应，满足函数的定义要求，即可得出结论。
【解析】
探究1：根据函数的定义，变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，其中x是自变量，y是因变量，因此依次填入对应内容即可。
探究2：函数的三种常用表示方法分别为列表法、表达式法、图象法，直接对应填写即可。
探究3：按照函数判断步骤验证：①存在超声波振幅随时间变化的变化过程；②过程中有时间t和振幅h两个变量；③观察图像可得，对于t的每一个取值，h都有唯一的值与它对应，因此h是t的函数。
【答案】
探究1：x 唯一 自变量 因变量
探究2：列表法 表达式法 图象法
探究3：由题图可知，对于变量t的每一个值，变量h都有唯一的值与它对应，所以变量h是t的函数。
【知识点】
函数的定义；函数的表示方法；函数的判断
【点评】
本题是函数模块的基础概念题，重点考查对函数定义中“唯一对应”核心特征的理解，难度较低，熟练掌握基础概念即可快速作答，是学习后续函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列四个选项中，$y$不是$x$的函数的是（
A.$y=2x-7$
B.$y=\dfrac{3}{x}$
C.$y=x^2$
D.$y=\pm\sqrt{x}$
D
）A.$y=2x-7$
B.$y=\dfrac{3}{x}$
C.$y=x^2$
D.$y=\pm\sqrt{x}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是掌握函数的判断标准：在变化过程中，对于x的每一个确定的取值，y都有唯一确定的值与之对应时，y才是x的函数。我们只需逐个分析四个选项是否满足这个对应要求，就能选出不符合要求的选项。
【解析】
根据函数的定义，判断y是否为x的函数，关键看给定一个确定的x值时，是否只有唯一的y值和它对应：
A. 对于$y=2x-7$，任取一个确定的x值，代入式子后只能计算出1个确定的y值，满足对应要求，y是x的函数；
B. 对于$y=\dfrac{3}{x}$，任取一个不等于0的确定x值，代入后只能得到1个确定的y值，满足对应要求，y是x的函数；
C. 对于$y=x^2$，任取一个确定的x值，计算平方后只能得到1个确定的y值，满足对应要求，y是x的函数；
D. 对于$y=\pm\sqrt{x}$，比如取x=4时，对应的y值有2和-2两个，不满足“唯一确定”的对应要求，因此y不是x的函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是函数章节的基础常考题，核心考查对函数定义中“x的每一个确定值对应唯一的y值”这一核心要点的理解，掌握该判断标准即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握函数的判断标准：在变化过程中，对于x的每一个确定的取值，y都有唯一确定的值与之对应时，y才是x的函数。我们只需逐个分析四个选项是否满足这个对应要求，就能选出不符合要求的选项。
【解析】
根据函数的定义，判断y是否为x的函数，关键看给定一个确定的x值时，是否只有唯一的y值和它对应：
A. 对于$y=2x-7$，任取一个确定的x值，代入式子后只能计算出1个确定的y值，满足对应要求，y是x的函数；
B. 对于$y=\dfrac{3}{x}$，任取一个不等于0的确定x值，代入后只能得到1个确定的y值，满足对应要求，y是x的函数；
C. 对于$y=x^2$，任取一个确定的x值，计算平方后只能得到1个确定的y值，满足对应要求，y是x的函数；
D. 对于$y=\pm\sqrt{x}$，比如取x=4时，对应的y值有2和-2两个，不满足“唯一确定”的对应要求，因此y不是x的函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是函数章节的基础常考题，核心考查对函数定义中“x的每一个确定值对应唯一的y值”这一核心要点的理解，掌握该判断标准即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，用一根长8 cm的铁丝围成一个长方形，小北发现长方形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数。其中，正确的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
2.A
解析
【分析】
解题首先结合长方形周长公式推导a与b的关系、面积S与a的关系，再紧扣函数的定义判断：在一个变化过程中，若给一个变量x一个确定的取值，另一个变量y有且只有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。首先由周长为8cm得2(a+b)=8，即b=4-a，面积S=a(4-a)；再逐个验证三个说法：①给a一个符合边长要求的确定值，b有唯一值对应，故b是a的函数；②给a一个符合边长要求的确定值，S有唯一值对应，故S是a的函数；③给S一个确定值，a可能有两个不同的值对应，不满足唯一对应要求，故a不是S的函数，最终确定正确选项。
【解析】
已知铁丝长8cm即长方形周长为8cm，根据长方形周长公式可得：
$2(a+b)=8$，整理得$b=4-a$（其中$0＜a＜4$，边长为正数）
长方形面积$S=ab=a(4-a)$
逐个判断说法：
① 对于任意满足$0＜a＜4$的a的取值，$b=4-a$都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义，故①正确；
② 对于任意满足$0＜a＜4$的a的取值，$S=a(4-a)$都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义，故②正确；
③ 若将S看作自变量，当S取某一确定值时，例如$S=3$，代入得$a(4-a)=3$，解得$a=1$或$a=3$，即有2个不同的a值与S对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求，故③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
函数的定义；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题核心考查对函数定义中“唯一对应”规则的理解，解题时要注意结合实际问题中变量的取值范围分析，避免仅从式子形式判断导致出错。
【难度系数】
0.7
解题首先结合长方形周长公式推导a与b的关系、面积S与a的关系，再紧扣函数的定义判断：在一个变化过程中，若给一个变量x一个确定的取值，另一个变量y有且只有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。首先由周长为8cm得2(a+b)=8，即b=4-a，面积S=a(4-a)；再逐个验证三个说法：①给a一个符合边长要求的确定值，b有唯一值对应，故b是a的函数；②给a一个符合边长要求的确定值，S有唯一值对应，故S是a的函数；③给S一个确定值，a可能有两个不同的值对应，不满足唯一对应要求，故a不是S的函数，最终确定正确选项。
【解析】
已知铁丝长8cm即长方形周长为8cm，根据长方形周长公式可得：
$2(a+b)=8$，整理得$b=4-a$（其中$0＜a＜4$，边长为正数）
长方形面积$S=ab=a(4-a)$
逐个判断说法：
① 对于任意满足$0＜a＜4$的a的取值，$b=4-a$都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义，故①正确；
② 对于任意满足$0＜a＜4$的a的取值，$S=a(4-a)$都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义，故②正确；
③ 若将S看作自变量，当S取某一确定值时，例如$S=3$，代入得$a(4-a)=3$，解得$a=1$或$a=3$，即有2个不同的a值与S对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求，故③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
函数的定义；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题核心考查对函数定义中“唯一对应”规则的理解，解题时要注意结合实际问题中变量的取值范围分析，避免仅从式子形式判断导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 下列各选项中，$y$不是$x$的函数的是（
A.
B.
C.$y=-x^2+6$
D.
D
）A.
B.
C.$y=-x^2+6$
D.
答案
3.D
解析
【分析】
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，满足该条件则y是x的函数。解题时按选项类型分别判断即可：如果是解析式类选项，代入一个x的取值，看是否只能得到唯一的y值；如果是图像类选项，用“竖线检验法”，即作垂直于x轴的直线，若直线与图像最多只有1个交点，说明每个x对应唯一y，就是函数，反之则不是。
【解析】
根据函数定义，判定规则为：任意一个确定的x值，对应唯一的y值时，y是x的函数。
1. 选项A的图像：任意作垂直于x轴的直线，与该图像最多只有1个交点，每个x对应唯一y，因此y是x的函数；
2. 选项B的图像：同理用竖线检验，每个x仅对应1个y，因此y是x的函数；
3. 选项C的解析式$y=-x^2+6$：任意给定一个x的取值，代入计算后只能得到唯一的y值，满足函数定义，因此y是x的函数；
4. 选项D的图像：存在垂直于x轴的直线与该图像有2个及以上交点，即存在某个x值对应2个不同的y值，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数的判定
【点评】
本题是函数模块的基础题型，重点考查对函数定义的理解，解题核心是抓住“一个x对应唯一y”的判定规则，即可快速分辨是否为函数。
【难度系数】
0.8
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，满足该条件则y是x的函数。解题时按选项类型分别判断即可：如果是解析式类选项，代入一个x的取值，看是否只能得到唯一的y值；如果是图像类选项，用“竖线检验法”，即作垂直于x轴的直线，若直线与图像最多只有1个交点，说明每个x对应唯一y，就是函数，反之则不是。
【解析】
根据函数定义，判定规则为：任意一个确定的x值，对应唯一的y值时，y是x的函数。
1. 选项A的图像：任意作垂直于x轴的直线，与该图像最多只有1个交点，每个x对应唯一y，因此y是x的函数；
2. 选项B的图像：同理用竖线检验，每个x仅对应1个y，因此y是x的函数；
3. 选项C的解析式$y=-x^2+6$：任意给定一个x的取值，代入计算后只能得到唯一的y值，满足函数定义，因此y是x的函数；
4. 选项D的图像：存在垂直于x轴的直线与该图像有2个及以上交点，即存在某个x值对应2个不同的y值，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数的判定
【点评】
本题是函数模块的基础题型，重点考查对函数定义的理解，解题核心是抓住“一个x对应唯一y”的判定规则，即可快速分辨是否为函数。
【难度系数】
0.8
