1. 在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标为$(5-m,4m+5)$。
(1)若点 P 与 x 轴的距离为 9，求 m 的值；
(2)若点 P 在过点 A$(-5,3)$且与 y 轴平行的直线上，求$△ AOP$的面积。

1. (1)$m=1$ 或 $m=-\frac{7}{2}$。
(2)$S_{△ AOP}=105$。

【分析】
（1）解题思路：首先明确点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此列出关于m的绝对值方程，再分两种情况去掉绝对值符号求解即可。
（2）解题思路：首先回忆与y轴平行的直线上的点横坐标全部相等的性质，因此点P的横坐标等于点A的横坐标-5，列方程求出m的值后得到点P的坐标；观察可知点A、P都在直线x=-5上，以线段AP的长度为底，原点到直线x=-5的水平距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）
∵点P到x轴的距离为9，点P的纵坐标为$4m+5$
∴$|4m+5|=9$
分两种情况求解：
①当$4m+5=9$时，解得$m=1$
②当$4m+5=-9$时，$4m=-14$，解得$m=-\frac{7}{2}$
综上，m的值为1或$-\frac{7}{2}$。
（2）
∵过点A(-5,3)且与y轴平行的直线上所有点的横坐标都为-5，点P在该直线上
∴点P的横坐标$5-m=-5$
解得$m=10$
将$m=10$代入点P的纵坐标得：$4m+5=4×10+5=45$
∴点P的坐标为$(-5,45)$
∴线段AP的长度为$|45-3|=42$
∵直线AP为$x=-5$，原点O到直线AP的距离为$|-5|=5$
∴$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× AP × 高=\frac{1}{2}×42×5=105$
【答案】
(1)$m=1$ 或 $m=-\frac{7}{2}$；(2)$S_{△ AOP}=105$
【知识点】
点到坐标轴的距离；平行于坐标轴的直线的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质的应用，解题时注意绝对值方程求解时不要漏解，计算三角形面积时结合点的位置特征找准底和高可以简化运算。
【难度系数】
0.7

2. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美。如图的蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点E的坐标为$(n, 2m)$，其关于y轴对称的点F的坐标为$(n - 4, m + 1)$，则$(n - m)^{2028}$的值为（）

A.$3^{2028}$
B.$-1$
C.$1$
D.$0$

2.C

【分析】
要解决本题，首先需回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律，结合已知的点E、F的坐标列出方程，分别求出n和m的值，再代入代数式$(n - m)^{2028}$计算结果即可。
【解析】
∵ 关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
点E$(n, 2m)$和其关于y轴对称的点F$(n - 4, m + 1)$满足该性质，
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}n-4=-n \\2m=m+1 \end{cases}$
解第一个方程：$n-4=-n$，移项得$2n=4$，解得$n=2$；
解第二个方程：$2m=m+1$，移项得$m=1$。
将$n=2$，$m=1$代入$(n - m)^{2028}$得：
$(2-1)^{2028}=1^{2028}=1$。
【答案】
C
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，解一元一次方程，有理数的乘方
【点评】
本题结合传统剪纸艺术考查轴对称的坐标性质，属于基础题型，核心是掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，计算时注意1的任意次幂都为1。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-2)，D(1，-2)。一只蚂蚁从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→A→B→C→D…的方向在四边形ABCD的边上匀速爬行，则在2026 s时蚂蚁所在位置的坐标是。

3. $(0, -2)$

【分析】
解题思路如下：第一步先计算四边形ABCD各边的长度，算出蚂蚁沿四边形爬行1周的总时长，确定运动的周期；第二步用总时长除以周期，得到商和余数，余数就是蚂蚁在一个周期内的运动时长；第三步根据各段的运动时长范围，判断余数对应的运动路段，进而计算得到对应点的坐标。
【解析】
1. 计算各边长度及运动周期：
AB边：A(1,1)、B(-1,1)，纵坐标相同，长度为$1-(-1)=2$，爬行需要$2÷1=2$秒；
BC边：B(-1,1)、C(-1,-2)，横坐标相同，长度为$1-(-2)=3$，爬行需要$3÷1=3$秒；
CD边：C(-1,-2)、D(1,-2)，纵坐标相同，长度为$1-(-1)=2$，爬行需要$2÷1=2$秒；
DA边：D(1,-2)、A(1,1)，横坐标相同，长度为$1-(-2)=3$，爬行需要$3÷1=3$秒；
爬行一周总时长为$2+3+2+3=10$秒，即运动周期为10秒。
2. 计算2026秒对应的周期余数：
$2026÷10=202······6$，即202个完整周期后，蚂蚁还需要爬行6秒。
3. 判断6秒时的位置：
0~2秒：蚂蚁从A爬到B，2秒时到达B点；
2~5秒：蚂蚁从B爬到C，5秒时到达C点$(-1,-2)$；
5~7秒：蚂蚁从C沿x轴正方向向D爬行，第6秒时，蚂蚁从C点出发爬行了$6-5=1$秒，横坐标增加1，纵坐标不变，坐标为$(-1+1,-2)$即$(0,-2)$。
【答案】
$(0, -2)$
【知识点】
平面直角坐标系，坐标与运动，周期规律
【点评】
本题考查规律型的运动类坐标求解，核心是先找到运动的周期，再结合余数判断蚂蚁所在的路段，进而计算坐标，解题时需要注意各段的运动方向，避免坐标计算出错。
【难度系数】
0.7

4. 在平面直角坐标系中，对于点$A(x, y)$，若点$B$的坐标为$(x+ay, ax+y)$，其中$a$为常数，则称点$B$是点$A$的“$a$倍相关点”。例如，点$A(1, 2)$的“3倍相关点”$B$的横坐标为$1+3×2=7$，纵坐标为$3×1+2=5$，所以点$A$的“3倍相关点”$B$的坐标为$(7, 5)$。
(1)已知点$M(-4, 6)$的“$\frac{1}{2}$倍相关点”是点$N(s, t)$，求$2s+t$的值；
(2)已知点$P(1, 2m)$的“$-2$倍相关点”是点$Q$，且点$Q$在$y$轴上，求点$Q$到$x$轴的距离。

4. (1)$2s+t=2$。
(2)点 Q 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{3}{2}$。

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“a倍相关点”的坐标计算规则：若原点坐标为$(x,y)$，则其“a倍相关点”坐标为$(x+ay,ax+y)$。
(1) 思路：先根据新定义规则，代入点M的坐标和$a=\frac{1}{2}$，分别求出s、t的值，再代入$2s+t$计算即可。
(2) 思路：先根据新定义规则，代入点P的坐标和$a=-2$，写出点Q的横、纵坐标表达式；再结合y轴上点的横坐标为0的特征，列方程求出m的值，进而得到点Q的纵坐标；最后根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，计算结果即可。
【解析】
(1) 根据“a倍相关点”的定义，点$M(-4,6)$的“$\frac{1}{2}$倍相关点”N的坐标：
横坐标$s = -4 + \frac{1}{2} × 6 = -4 + 3 = -1$
纵坐标$t = \frac{1}{2} × (-4) + 6 = -2 + 6 = 4$
代入$2s+t$得：$2s + t = 2 × (-1) + 4 = -2 + 4 = 2$
(2) 点$P(1,2m)$的“$-2$倍相关点”Q的坐标：
横坐标：$1 + (-2) × 2m = 1 - 4m$
纵坐标：$(-2) × 1 + 2m = -2 + 2m$
∵点Q在y轴上，y轴上的点横坐标为0
∴$1 - 4m = 0$，解得$m = \frac{1}{4}$
将$m=\frac{1}{4}$代入纵坐标得：$-2 + 2 × \frac{1}{4} = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$
∵点到x轴的距离为纵坐标的绝对值
∴点Q到x轴的距离为$\left| -\frac{3}{2} \right| = \frac{3}{2}$
【答案】
(1)$2s+t=2$；(2)点Q到$x$轴的距离为$\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的坐标特征，点到坐标轴的距离
【点评】
本题以新定义为载体，考查平面直角坐标系的基础知识点，解题关键是读懂新定义的运算规则，结合坐标性质逐步求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

5. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离中的较小值称为点P的“短距”；若点Q到x轴、y轴的距离相等，则称点Q为“完美点”。
(1)点A(－3，2)的“短距”为；
(2)若点B(3a－1，5)是“完美点”，求a的值；
(3)若点C(9－2b，－5)是“完美点”，求点D(－6，2b－1)的“短距”。

5. 解：(1)2
(2)因为点 $B(3a-1, 5)$ 是 “完美点”，
所以 $|3a-1|=5$。
所以 $3a-1=5$ 或 $3a-1=-5$，
解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{4}{3}$。
(3)由题意，得 $|9-2b|=5$，
所以 $9-2b=5$ 或 $9-2b=-5$，
解得 $b=2$ 或 $b=7$。
当 $b=2$ 时，点 $D$ 的坐标是 $(-6, 3)$，
因为 $|-6|=6$，$6＞3$，
所以 “短距” 为 3。
当 $b=7$ 时，点 $D$ 的坐标是 $(-6, 13)$，
因为 $|-6|=6$，$13＞6$，
所以 “短距” 为 6。
综上所述，点 $D(-6, 2b-1)$ 的 “短距” 为 3或 6。

【分析】
本题为平面直角坐标系下的新定义题型，解题核心是先准确理解两个新定义：①点的“短距”是该点到x轴、y轴距离的较小值，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值。解题时按小问逐步分析：
(1)直接计算点A到两轴的距离，取较小值即可；
(2)根据“完美点”的定义列绝对值方程，解方程求出a的值；
(3)先利用点C是“完美点”列方程求出b的可能值，再分别代入得到点D的坐标，计算点D到两轴的距离，取较小值得到短距，注意分情况讨论不要漏解。
【解析】
(1)点A(-3,2)到x轴的距离为$|2|=2$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较小值为2，故短距为2。
(2)
∵点$B(3a-1,5)$是“完美点”，
∴点B到x轴、y轴的距离相等，即$|3a-1|=|5|$，
∴$3a-1=5$或$3a-1=-5$，
当$3a-1=5$时，解得$a=2$；当$3a-1=-5$时，解得$a=-\frac{4}{3}$。
(3)
∵点$C(9-2b,-5)$是“完美点”，
∴$|9-2b|=|-5|=5$，
∴$9-2b=5$或$9-2b=-5$，
当$9-2b=5$时，解得$b=2$；当$9-2b=-5$时，解得$b=7$。
①当$b=2$时，点D的坐标为$(-6,2×2-1)=(-6,3)$，
点D到x轴的距离为$|3|=3$，到y轴的距离为$|-6|=6$，较小值为3，故短距为3；
②当$b=7$时，点D的坐标为$(-6,2×7-1)=(-6,13)$，
点D到x轴的距离为$|13|=13$，到y轴的距离为$|-6|=6$，较小值为6，故短距为6。
综上，点D的“短距”为3或6。
【答案】
(1)2；(2)$a=2$或$a=-\frac{4}{3}$；(3)3或6
【知识点】
新定义问题，绝对值方程求解，点到坐标轴的距离
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和应用能力，解题的关键是将新定义转化为已学的平面直角坐标系中点的坐标性质，结合绝对值方程求解，解题时要注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.7