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1. 如图，$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，$AD$，$A_1D_1$分别是$△ ABC$，$△ A_1B_1C_1$的角平分线，若$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{5}$，则$\frac{AD}{A_1D_1}$等于（
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{25}{4}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{4}{25}$
C
）。A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{25}{4}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{4}{25}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先明确△ABC与△A₁B₁C₁相似，已知的一组对应边的比值就是两三角形的相似比；其次回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高的比都等于相似比，本题中AD、A₁D₁是两个相似三角形的对应角平分线，属于对应线段，因此它的比值等于相似比，代入已知的相似比即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A₁B₁C₁，AD，A₁D₁分别是△ABC和△A₁B₁C₁的角平分线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
又
∵相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、相似比、对应线段
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，只要熟练掌握该性质即可快速得出答案，解题时注意不要混淆对应线段的对应关系即可。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，首先明确△ABC与△A₁B₁C₁相似，已知的一组对应边的比值就是两三角形的相似比；其次回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高的比都等于相似比，本题中AD、A₁D₁是两个相似三角形的对应角平分线，属于对应线段，因此它的比值等于相似比，代入已知的相似比即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A₁B₁C₁，AD，A₁D₁分别是△ABC和△A₁B₁C₁的角平分线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
又
∵相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、相似比、对应线段
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，只要熟练掌握该性质即可快速得出答案，解题时注意不要混淆对应线段的对应关系即可。
【难度系数】
0.9
2. 给出下列四个命题:①相似三角形对应角的比等于相似比;②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比;③相似三角形对应中线的比等于相似比;④相似比等于1的两个三角形全等。其中真命题有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.B
解析
【分析】
解题时需先回忆相似三角形的性质以及相似与全等的关系，逐一判断四个命题的真假，最后统计真命题的个数即可得到答案。首先明确：相似三角形对应角相等，对应高、中线、角平分线等对应线段的比都等于相似比；全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，再逐个验证每个命题的正误。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 命题①：相似三角形的对应角是相等的，因此对应角的比为1:1，并不等于相似比（仅当相似比为1时特殊成立，不具有普遍性），因此①是假命题；
2. 命题②：根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，对应角平分线的比也等于相似比，因此二者的比相等，故②是真命题；
3. 命题③：相似三角形对应中线的比等于相似比，这是相似三角形的基本性质，故③是真命题；
4. 命题④：相似比等于1的两个三角形，对应边的长度都相等，符合全等三角形的定义，因此两个三角形全等，故④是真命题。
综上，真命题共有②③④3个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、命题真假判断、相似与全等的关系
【点评】
本题考查对相似三角形基础性质的理解，容易出错的点是混淆相似三角形对应角的关系和对应线段的关系，只要准确记忆相关性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解题时需先回忆相似三角形的性质以及相似与全等的关系，逐一判断四个命题的真假，最后统计真命题的个数即可得到答案。首先明确：相似三角形对应角相等，对应高、中线、角平分线等对应线段的比都等于相似比；全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，再逐个验证每个命题的正误。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 命题①：相似三角形的对应角是相等的，因此对应角的比为1:1，并不等于相似比（仅当相似比为1时特殊成立，不具有普遍性），因此①是假命题；
2. 命题②：根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，对应角平分线的比也等于相似比，因此二者的比相等，故②是真命题；
3. 命题③：相似三角形对应中线的比等于相似比，这是相似三角形的基本性质，故③是真命题；
4. 命题④：相似比等于1的两个三角形，对应边的长度都相等，符合全等三角形的定义，因此两个三角形全等，故④是真命题。
综上，真命题共有②③④3个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、命题真假判断、相似与全等的关系
【点评】
本题考查对相似三角形基础性质的理解，容易出错的点是混淆相似三角形对应角的关系和对应线段的关系，只要准确记忆相关性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7
3.【跨学科】为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前，我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成倒像的原理。如图所示的是小孔成像的原理示意图，6 cm长的蜡烛火焰AB在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，则像CD到小孔O的距离为（
A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.3 cm
D
）。A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.3 cm
答案
3.D
解析
【分析】
小孔成像情境中，蜡烛火焰AB和所成的像CD互相平行，可判定△AOB与△COD相似。根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，已知AB、CD的长度，以及AB到小孔O的距离，设像CD到小孔O的距离为未知数列比例式，即可求解。
【解析】
解：由题意得AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设CD到小孔O的距离为$ x $ cm，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{AB到小孔的距离}{CD到小孔的距离}$
代入已知数据$ AB=6\ \mathrm{cm} $，$ CD=1\ \mathrm{cm} $，AB到小孔的距离为18 cm，得：
$\frac{6}{1}=\frac{18}{x}$
解得$ x=3 $，经检验$ x=3 $是原方程的解。
【答案】D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的跨学科背景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确识别相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解。
【难度系数】
0.8
小孔成像情境中，蜡烛火焰AB和所成的像CD互相平行，可判定△AOB与△COD相似。根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，已知AB、CD的长度，以及AB到小孔O的距离，设像CD到小孔O的距离为未知数列比例式，即可求解。
【解析】
解：由题意得AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设CD到小孔O的距离为$ x $ cm，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{AB到小孔的距离}{CD到小孔的距离}$
代入已知数据$ AB=6\ \mathrm{cm} $，$ CD=1\ \mathrm{cm} $，AB到小孔的距离为18 cm，得：
$\frac{6}{1}=\frac{18}{x}$
解得$ x=3 $，经检验$ x=3 $是原方程的解。
【答案】D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的跨学科背景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确识别相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，正方形 DEFG 的顶点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G，F 分别在边 AB，AC 上。如果 BC＝8，△ABC 的面积是 24，求正方形的边长。
答案
4.解:如图,过点 A 作$AN⊥BC$于点 N,交 GF 于点 M。
$\because △ABC$的面积是 24,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC· AN,BC=8$,
$\therefore 24=\frac{1}{2}×8AN,\therefore AN=6$。
$\because$ 四边形 DEFG 是正方形,
$\therefore GF=GD,GF// BC$,
$\therefore ∠AGF=∠B,∠AFG=∠C,AN⊥GF$ 于点 M,
$\therefore △AGF∽△ABC$,
$\therefore \frac{AM}{AN}=\frac{GF}{BC}$,
$\therefore \frac{6-GF}{6}=\frac{GF}{8}$,
解得 $GF=\frac{24}{7}$,
$\therefore$ 正方形的边长为$\frac{24}{7}$。
解析
【分析】
要计算正方形的边长，首先观察图形特征：正方形的边GF平行于△ABC的底边BC，可推导得到△AGF与△ABC相似，结合相似三角形的性质即可求解。解题思路如下：
1. 利用已知的△ABC的面积和底BC的长度，先求出BC边上的高AN，这是计算相似比的基础；
2. 设正方形边长为x，根据正方形性质可知GF=x，且GF平行于BC，因此△AGF的高AM等于AN减去正方形的边长x；
3. 根据相似三角形对应高的比等于对应边的比（相似比），列比例方程求解即可得到正方形的边长。
【解析】
解：过点A作$AN⊥BC$于点N，交GF于点M。
$\because △ABC$的面积是24，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AN$，$BC=8$，
$\therefore 24=\frac{1}{2}×8×AN$，解得$AN=6$。
$\because$ 四边形DEFG是正方形，
$\therefore GF=GD$，$GF// BC$，
$\therefore ∠AGF=∠B$，$∠AFG=∠C$，$AN⊥GF$于点M，即$MN=GF$，
$\therefore △AGF∽△ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AM}{AN}=\frac{GF}{BC}$，
代入$AM=AN-GF=6-GF$，得$\frac{6-GF}{6}=\frac{GF}{8}$，
交叉相乘化简得：$48-8GF=6GF$，
解得$GF=\frac{24}{7}$。
【答案】
正方形的边长为$\frac{24}{7}$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形面积计算；正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接多边形的典型题型，核心考查相似三角形的实际应用，解题时通过平行线得到相似三角形，将几何边长问题转化为方程问题求解，掌握该类题的解题逻辑可快速解决同类内接图形边长计算问题。
【难度系数】
0.7
要计算正方形的边长，首先观察图形特征：正方形的边GF平行于△ABC的底边BC，可推导得到△AGF与△ABC相似，结合相似三角形的性质即可求解。解题思路如下：
1. 利用已知的△ABC的面积和底BC的长度，先求出BC边上的高AN，这是计算相似比的基础；
2. 设正方形边长为x，根据正方形性质可知GF=x，且GF平行于BC，因此△AGF的高AM等于AN减去正方形的边长x；
3. 根据相似三角形对应高的比等于对应边的比（相似比），列比例方程求解即可得到正方形的边长。
【解析】
解：过点A作$AN⊥BC$于点N，交GF于点M
。$\because △ABC$的面积是24，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AN$，$BC=8$，
$\therefore 24=\frac{1}{2}×8×AN$，解得$AN=6$。
$\because$ 四边形DEFG是正方形，
$\therefore GF=GD$，$GF// BC$，
$\therefore ∠AGF=∠B$，$∠AFG=∠C$，$AN⊥GF$于点M，即$MN=GF$，
$\therefore △AGF∽△ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AM}{AN}=\frac{GF}{BC}$，
代入$AM=AN-GF=6-GF$，得$\frac{6-GF}{6}=\frac{GF}{8}$，
交叉相乘化简得：$48-8GF=6GF$，
解得$GF=\frac{24}{7}$。
【答案】
正方形的边长为$\frac{24}{7}$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形面积计算；正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接多边形的典型题型，核心考查相似三角形的实际应用，解题时通过平行线得到相似三角形，将几何边长问题转化为方程问题求解，掌握该类题的解题逻辑可快速解决同类内接图形边长计算问题。
【难度系数】
0.7
