11.(2024·天宁区月考)已知关于$x$的方程$x^2-(k+2)x+2k-1=0$.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的一个根为$x=3$,求$k$的值及方程的另一根.

证明：(1)$x^{2}-(k + 2)x + 2k - 1 = 0$是一元二次方程， $b^{2}-4ac=[-(k + 2)]^{2}-4×1×(2k - 1)=k^{2}-4k + 8=(k - 2)^{2}+4.$ $∵$无论$k$取何实数，总有$(k - 2)^{2}\geq0，$
$∴(k - 2)^{2}+4＞0，$ $∴$方程总有两个不相等的实数根. (2)把$x = 3$代入方程$x^{2}-(k + 2)x + 2k - 1 = 0，$ 得$3^{2}-3(k + 2)+2k - 1 = 0，$ 整理，得$2 - k = 0，$解得$k = 2，$ 此时方程可化为$x^{2}-4x + 3 = 0，$ 解得$x_{1}=1，$$x_{2}=3.$ 所以方程的另一根为$x = 1.$

12.(2024·虎丘区模拟)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (k + 5)x + 6 + 2k = 0 $。
(1)求证:此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于$-1$，求$ k $的取值范围。

证明：(1)$∵b^{2}-4ac=[-(k + 5)]^{2}-4×1×(6 + 2k)=k^{2}+2k + 1=(k + 1)^{2}\geq0，$
$∴$此方程总有两个实数根. (2)$∵x=\frac{k + 5\pm(k + 1)}{2}，$ $∴x_{1}=2，$$x_{2}=k + 3.$ $∵$此方程恰有一个根小于$-1，$ $∴k + 3＜-1，$
解得$k＜-4，$ 即$k$的取值范围为$k＜-4.$

13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2x - 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为 2,求 $ a $ 的值；
(3)直接写出所有不大于 5 的正整数 $ a $ 的值,使原方程的两个根均为有理数.

解：(1)根据题意，得$a\neq0$且$b^{2}-4ac=2^{2}-4a×(-3)＞0，$解得$a＞-\frac{1}{3}$且$a\neq0.$ (2)把$x = 2$代入$ax^{2}+2x - 3 = 0，$得$4a + 4 - 3 = 0，$解得$a=-\frac{1}{4}.$ (3)当$b^{2}-4ac=4 + 12a$为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数， 当$a = 1$时，$b^{2}-4ac=4 + 12 = 16；$ 当$a = 2$时，$b^{2}-4ac=4 + 24 = 28$(舍去)； 当$a = 3$时，$b^{2}-4ac=4 + 36 = 40$(舍去)； 当$a = 4$时，$b^{2}-4ac=4 + 48 = 52$(舍去)； 当$a = 5$时，$b^{2}-4ac=4 + 60 = 64.$ 综上所述，当$a$的值为$1$或$5$时，原方程的两个根均为有理数.

14.已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2k + 1)x + 5(k - \frac{3}{4}) = 0 $。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,该方程总有实数根;
(2)若等腰 $ △ ABC $ 的一边长 $ a = 4 $,另两边长 $ b,c $ 恰好是该方程的两个根,求 $ △ ABC $ 的周长.

证明：​$(1)b^2-4ac=[-(2k + 1)]^2-4×5×(k-\frac {3}{4})=4(k - 2)^2.$​ ∵​$4(k - 2)^2\geq 0，$​即​$b^2-4ac\geq 0，$​ ∴无论​$k$​取何值，该方程总有实数根.​$ (2)$​∵​$\triangle ABC$​是等腰三角形，​$a = 4，$​ ∴​$b = c_{或}b，$​​$c $​中有一个为​$4.$​​$ ①$​当​$b = c $​时，​$4(k - 2)^2=0，$​则​$k = 2，$​方程化为​$x^2-5x+\frac {25}{4}=0，$​解得​$x_{1}=x_{2}=\frac {5}{2}，$​​$ $​而​$\frac {5}{2}+\frac {5}{2}=5＞4，$​∴​$\frac {5}{2}，$​​$\frac {5}{2}，$​​$4$​能构成三角形，​$ $​则​$\triangle ABC$​的周长为​$\frac {5}{2}+\frac {5}{2}+4 = 9；$​​$ ②$​当​$b = a = 4$​或​$c = a = 4$​时，​$ $​把​$x = 4$​代入方程，得​$16-4(2k + 1)+5(k-\frac {3}{4})=0，$​​$ $​解得​$k=\frac {11}{4}，$​方程化为​$x^2-\frac {13}{2}x + 10 = 0，$​解得​$x_{1}=\frac {5}{2}，$​​$x_{2}=4.$​∵​$4，$​​$4，$​​$\frac {5}{2}$​能构成三角形，∴​$\triangle ABC$​的周长为​$4 + 4+\frac {5}{2}=\frac {21}{2}.$​ 综上所述，​$\triangle ABC$​的周长为​$9$​或​$\frac {21}{2}.$​