1. 某数学小组探究下列问题:商场将甲、乙两种糖果按照质量比$1:2$混合成什锦糖售卖,设甲、乙糖果的单价分别为$m$元/千克、$n$元/千克,求什锦糖的单价.
(1)直接列式求解:小红根据题目中的数量关系,通过列式得出什锦糖的单价,请你按小红的思路完成解答.
(2)不列式,画图可以求解吗?小莉设计了一幅算图(如图1),设计方案与使用方法如下:
设计方案:过点$A(1,0)$、$C(3,0)$分别作$x$轴的垂线$AB$、$CD$.
使用方法:把乙糖果的单价用$y$轴上的点$E$的纵坐标表示,甲糖果的单价用直线$CD$上的点$F$的纵坐标表示,连接$EF$,$EF$与$AB$的交点记为$P$,则点$P$的纵坐标就是什锦糖的单价.
请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性.
(3)若增加一种糖果呢?小明将原问题的条件改为:甲、乙、丙三种糖果按照质量比$1:2:3$混合成什锦糖售卖,已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为$12$元/kg、$15$元/kg、$16$元/kg.
请你帮小明在图2中设计一幅算图,求出什锦糖的单价.(标注必要的字母与数据,不写设计方案与使用方法,不必说明理由)

; 解：
(1)设甲糖果质量为$x$kg，则乙糖果质量为$2x$kg，则什锦糖果的单价为$\frac{mx + n\cdot2x}{x + 2x}=\frac{(m + 2n)x}{3x}=\frac{m + 2n}{3}$（元/kg）. (2)根据题意，得$E(0,n)，$$F(3,m)，$点$P$的横坐标为$1，$设直线$EF$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)，$则$\begin{cases}3k + b = m \\b = n \end{cases}，$解得$\begin{cases}k=\frac{m - n}{3} \\b = n \end{cases}，$
$\therefore$直线$EF$的表达式为$y=\frac{m - n}{3}x + n，$
当$x = 1$时，$y=\frac{m - n}{3}\times1 + n=\frac{m + 2n}{3}，$即什锦糖果的单价为$\frac{m + 2n}{3}$元/kg. (3)设计方案如下：过点$A(1,0)$、$C(3,0)$、$P(6,0)$分别作$x$轴的垂线$AB$、$CD$、$PQ.$使用方法：把乙糖果的单价用$y$轴上的点$E$的纵坐标$15$表示，甲糖果的单价用直线$CD$上的点$F$的纵坐标$12$表示，连接$EF，$$EF$与$AB$的交点记为$K，$则点$K$的纵坐标就是甲、乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用$y$轴上的点$M$的纵坐标$16$表示，甲、乙混合后的什锦糖的单价用直线$PQ$上的点$N$的纵坐标表示，连接$MN，$$MN$与$CD$的交点记为$L，$则点$L$的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比$1:2:3$混合后的什锦糖单价.设直线$EF$的表达式为$y = k'x + b'(k'\neq0)，$把点$E(0,15)，$$F(3,12)$代入，得$\begin{cases}b' = 15 \\3k' + b' = 12 \end{cases}，$解得$\begin{cases}k'=-1 \\b' = 15 \end{cases}，$
$\therefore$直线$EF$的表达式为$y=-x + 15，$$\therefore$当$x = 1$时，$y=-1\times1 + 15 = 14，$即甲、乙糖果混合后的什锦糖果的单价为$14$元/kg，$\therefore N(6,14)，$设直线$MN$的表达式为$y = mx + n(m\neq0)，$
把点$N(6,14)，$$M(0,16)$代入，得$\begin{cases}n = 16 \\6m + n = 14 \end{cases}，$解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{3} \\n = 16 \end{cases}，$
$\therefore$直线$MN$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x + 16，$
$\therefore$当$x = 3$时，$y=-\frac{1}{3}\times3 + 16 = 15，$
即三种糖果混合后的什锦糖果的单价为$15$元/kg.