三、解答题
8. 已知函数 $ y=(2m+1)x+m-3 $。
(1)若函数图象经过原点，求 $ m $ 的值。
(2)若这个函数是一次函数，且 $ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小，求 $ m $ 的取值范围。

(1)解：因为函数图象经过原点$(0,0)，$将其代入函数$y=(2m + 1)x+m - 3$中，可得： $0=(2m + 1)\times0+m - 3，$ 即$m - 3=0，$ 解得$m = 3。$ (2)解：因为这个函数是一次函数，且$y$随着$x$的增大而减小，对于一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$），当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小，在函数$y=(2m + 1)x+m - 3$中，$k = 2m + 1，$所以$2m+1\lt0，$ $2m\lt - 1，$ 解得$m\lt-\frac{1}{2}。$

9. 现有甲、乙两个容器,每个容器都装有进水管和出水管,甲容器原来没有水,乙容器原有一定的水量.首先打开甲容器的进水管注水,第10 min同时打开甲、乙两容器的出水管排水,第15 min关闭甲容器的进水管,直到甲、乙两容器水排完.
甲、乙两容器中的水量$y_1$、$y_2$(单位:L)与时间$x$(从甲容器注水开始计时,单位:min)的函数关系如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲容器进水管的注水速度是________L/min,乙容器出水管的排水速度是________L/min.
(2)求甲容器出水管的排水速度及AB段对应的函数表达式.
(3)当$x=$______min时,两容器中的水量差为180 L.

60
; 40
; 解：（2）设甲容器出水管的排水速度为​$a\ \text{L/min}$​，根据题意，得​$600 + 5×60 - (20 - 10)a = 0$​，解得​$a = 90$​，​$∴$​甲容器出水管的排水速度为​$90\ \text{L/min}$​；设​$AB$​段的函数表达式为​$y = kx + b(10\leqslant x\leqslant 15)$​，由​$k$​的实际意义可得，​$k = 60 - 90 = - 30$​，将​$A(10，600)$​代入，得​$600 = - 30×10 + b$​，解得​$b = 900$​，​$∴AB$​段的函数表达式为​$y = - 30x + 900(10\leqslant x\leqslant 15)$​。 ; $\frac{13}{3}$或12或$\frac{78}{5}$

10. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知直线$l:y=kx-4k$($k$为常数,$k≠0$)与$x$轴交于点$A$,与$y$轴的负半轴交于点$B$,以$AB$为边、$B$为直角顶点作等腰直角三角形$ABC$.
(1)无论$k$取什么值,直线$l$一定经过一个定点,求这个定点的坐标.
(2)若直线$l$经过点$(2,-3)$,当点$C$在第三象限时,求点$C$的坐标.
(3)若$k＞0$,点$C$在直线$l$的左侧,则$OC+AC$的最小值为______.

$4\sqrt{5}$ ; 解：(1)∵​$y = kx - 4k = k(x - 4)$​，∴无论​$k$​取什么值，直线​$l$​一定经过定点​$(4，0)$​。(2)∵直线​$l$​经过点​$(2，-3)$​，∴​$-3 = 2k - 4k$​，解得​$k=\frac {3}{2}$​，∴直线​$l$​：​$y=\frac {3}{2}x - 6$​。令​$x = 0$​，得​$y = - 6$​；令​$y = 0$​，得​$\frac {3}{2}x - 6 = 0$​，解得​$x = 4$​，∴点​$A(4，0)$​，​$B(0，-6)$​，∴​$AO = 4$​，​$BO = 6$​。如图 1，过点​$C$​作​$CD\perp y$​轴于点​$D$​。
∵等腰直角三角形​$ABC$​是以​$AB$​为边、​$B$​为直角顶点，∴​$∠ABC = 90°$​，​$AB = BC$​，∴​$∠ABO+∠CBD = 90°$​。∵​$∠ABO+∠BAO = 90°$​，∴​$∠CBD=∠BAO$​。在​$\triangle CBD$​和​$\triangle BAO$​中，​$\{\begin {array}{l}∠CDB=∠BOA\\∠CBD=∠BAO\\CB = BA\end {array}.$​，∴​$\triangle CBD\cong \triangle BAO(\mathrm {AAS})$​，∴​$CD = BO = 6$​，​$BD = AO = 4$​，∴​$OD = BO - BD = 6 - 4 = 2$​，∴点​$C$​的坐标为​$(-6，-2)$​。