10.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像过点$A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m)$，其中$m,n$为常数，则$\dfrac{m}{n}$的值为______．

$-\frac{3}{5}$

三、解答题(共50分)
11.(12分)对于抛物线$y=x^2-4x+3$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此抛物线；
(2)结合图像,当$0＜x＜3$时,$y$的取值范围是________.

; $-1\leq y\lt3$

12.(12分)(2023·江宁区月考)已知二次函数$y=x^2-2x+c$的图像如图所示.
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)将该抛物线进行左右平移,使其经过坐标原点,请直接写出平移的方法.

解：​$(1)$​把​$(4，5)$​代入​$y = x^2-2x + c，$​得​$4^2-2×4 + c = 5，$​​$ $​解得​$c = - 3，$​∴抛物线的函数表达式为​$y = x^2-2x - 3。$​ ∵​$y = x^2-2x - 3=(x - 1)^2-4，$​∴该抛物线的顶点坐标为​$(1，-4)。$​​$ (2)$​设平移后抛物线的函数表达式为​$y=(x - 1 + a)^2-4，$​把点​$(0，0)$​代入，得​$(0 - 1 + a)^2-4 = 0，$​​$ $​即​$(a - 1)^2=4，$​​$ $​则​$a - 1 = 2$​或​$a - 1=-2，$​​$ $​解得​$a = 3$​或​$a = - 1。$​​$ $​故将该抛物线向左平移​$3$​个单位长度或向右平移​$1$​个单位长度，可使其经过坐标原点。

13.(12分)(2024·秦淮区一模)已知点$A(-1,y_1)$和点$B(2,y_2)$在二次函数$y=x^2+mx+n^2$的图像上.
(1)当$y_1=y_2$时,求$m$的值;
(2)当$y_1＜2$时,求证:$y_2＞y_1$.

解：​$(1)$​∵​$y_{1}=1 - m + n^2，$​​$y_{2}=4 + 2m + n^2，$​且​$y_{1}=y_{2}，$​ ∴​$1 - m + n^2=4 + 2m + n^2，$​ 移项可得：​$1 - 4=2m + m，$​​$ $​即​$3m=-3，$​​$ $​解得​$m = - 1。$​​$ (2)$​证明：∵​$y_{1}<2，$​∴​$y_{1}=1 - m + n^2<2，$​ ∴​$- m + n^2<1，$​ ∴​$m>n^2-1，$​​$ $​两边同时乘以​$2$​得：​$2m>2n^2-2，$​ ∴​$y_{2}=4 + 2m + n^2>4 + 2n^2-2 + n^2=2 + 3n^2。$​ ∵​$n^2\geq 0，$​∴​$2 + 3n^2\geq 2，$​ ∴​$y_{2}>2 + 3n^2\geq 2>y_{1}，$​ ∴​$y_{2}>y_{1}。$​

14.(14分)(2023·吉林)如图,抛物线$y=-x^2+2x+c$经过点$A(0,1)$,点$P,Q$在此抛物线上,其横坐标分别为$m,2m(m＞0)$,连接$AP,AQ$.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)当点$Q$与此抛物线的顶点重合时,求$m$的值;
(3)当$∠ PAQ$的边与$x$轴平行时,求点$P$与点$Q$的纵坐标的差.

解：​$(1)$​∵抛物线​$y=-x^2+2x + c_{经过点}A(0，1)，$​​$ $​把​$x = 0，$​​$y = 1$​代入抛物线方程得：​$1=-0^2+2×0 + c，$​​$ $​解得​$c = 1，$​ ∴抛物线的函数表达式为​$y=-x^2+2x + 1。$​​$ (2)$​∵​$y=-x^2+2x + 1=-(x - 1)^2+2，$​ ∴该抛物线的顶点坐标为​$(1，2)。$​ ∵点​$Q $​与此抛物线的顶点重合，点​$Q $​的横坐标为​$2m，$​ ∴​$2m = 1，$​​$ $​解得​$m=\frac {1}{2}。$​​$ (3)①$​当​$AQ// x$​轴时，点​$A，$​​$Q $​关于对称轴​$x = 1$​对称，​$ x_{Q}=2m = 2，$​∴​$m = 1，$​​$ $​把​$x = 1$​代入​$y=-x^2+2x + 1$​得​$y=-1^2+2×1 + 1=2，$
​把​$x = 2$​代入​$y=-x^2+2x + 1$​得​$y=-2^2+2×2 + 1=1，$​ ∴​$P(1，2)，$​​$Q(2，1)，$​ ∴点​$P $​与点​$Q $​的纵坐标的差为​$2 - 1 = 1。$​​$ ②$​当​$AP// x$​轴时，点​$A，$​​$P $​关于直线​$x = 1$​对称，​$x_{P}=m = 2，$​​$x_{Q}=2m = 4，$​​$ $​把​$x = 2$​代入​$y=-x^2+2x + 1$​得​$y=-2^2+2×2 + 1=1，$​把​$x = 4$​代入​$y=-x^2+2x + 1$​得​$y=-4^2+2×4 + 1=-7，$​ ∴​$P(2，1)，$​​$Q(4，-7)，$​ ∴点​$P $​与点​$Q $​的纵坐标的差为​$1-(-7)=8。$​ 综上所述，点​$P $​与点​$Q $​的纵坐标的差为​$1$​或​$8。$​