7. (教材$P_{52}T_{7}$变式)如图,正方形纸片$ABCD的边长为4$,将它剪去$4$个全等的直角三角形,得到四边形$EFGH$.设$AE的长为x$,四边形$EFGH的面积为y$.
(1)求$y关于x$的函数关系式；
(2)当$AE$取何值时,四边形$EFGH的面积为10$?
(3)四边形$EFGH$的面积是否存在最小值？若存在,求出最小值；若不存在,请说明理由.

解：(1)$\because$正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
$\therefore AB = AD = BC = CD = 4$，
$AE = DH = x$，
$BE = AH = 4 - x$，
$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，
$EH = HG = FG = EF$，
$\angle AEH=\angle GHD$.
$\because\angle AEH+\angle AHE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AHE+\angle DHG = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle EHG = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形EFGH是正方形，
$\therefore y = AE^{2}+AH^{2}=x^{2}+(4 - x)^{2}=2x^{2}-8x + 16$；
(2)当$y = 10$时，
即$2x^{2}-8x + 16 = 10$，
解得$x = 1$或$x = 3$.
答：当AE取1或3时，
四边形EFGH的面积为10；
(3)$\because y = 2x^{2}-8x + 16$
$=2(x - 2)^{2}+8$，
$\because2\gt0$，
$\therefore y$有最小值，最小值为8.
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8.

8. (教材$P_{57}T_{7}$变式)如图所示,修建一个矩形猪舍,猪舍一面靠墙,墙长$13m$,另外三面用$27m$长的建筑材料围成,其中一边开有一扇$1m$宽的门(不包括建筑材料).
(1)所围矩形猪舍的$AB$边为多少时,猪舍面积为$90m^{2}$?
(2)所围矩形猪舍的$AB$边为多少时($AB$为整数),猪舍面积最大？最大面积是多少?

解：(1)设$AB = xm$.
则$AD = 27 - 2x + 1=(28 - 2x)m$，
$\therefore x(28 - 2x)=90$，
解得$x_{1}=5,x_{2}=9$.
当$x = 5$时，$28 - 2x = 18\gt13$，
不符合题意，舍去；
当$x = 9$时，$28 - 2x = 10\lt13$，
符合题意.
答：AB为9m时，猪舍的面积为$90m^{2}$；
(2)设$AB = xm$，所围矩形猪舍的面积为$ym^{2}$.
$y = x(28 - 2x)$
$=-2x^{2}+28x$
$=-2(x - 7)^{2}+98$.
$\because0\lt28 - 2x\leq13$，
$\therefore7.5\leq x\lt14$.
$\because y=-2(x - 7)^{2}+98$，
图象开口向下，
$\therefore$在对称轴$x = 7$的右侧$y$随$x$增大而减小，
$\because AB$为整数，即当$x = 8$时，
$y_{最大值}=96$.
答：AB为8m时，面积最大，最大面积是$96m^{2}$.