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1. 在同一平面直角坐标系中，直线 $ y = 4x + 1 $ 与直线 $ y = -x + b $ 的交点不可能在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1. D
解析
联立两直线方程：$\begin{cases}y = 4x + 1 \\ y = -x + b\end{cases}$
解得：$x=\frac{b - 1}{5}$，$y=\frac{4b + 1}{5}$
当$b ＞ 1$时，$x＞0$，$y＞0$，交点在第一象限；
当$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 1$时，$x＜0$，$y＞0$，交点在第二象限；
当$b ＜ -\frac{1}{4}$时，$x＜0$，$y＜0$，交点在第三象限；
当$b = 1$时，$x=0$，$y=1$，交点在y轴；
当$b = -\frac{1}{4}$时，$x=-\frac{1}{4}$，$y=0$，交点在x轴。
综上，交点不可能在第四象限。
D
解得：$x=\frac{b - 1}{5}$，$y=\frac{4b + 1}{5}$
当$b ＞ 1$时，$x＞0$，$y＞0$，交点在第一象限；
当$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 1$时，$x＜0$，$y＞0$，交点在第二象限；
当$b ＜ -\frac{1}{4}$时，$x＜0$，$y＜0$，交点在第三象限；
当$b = 1$时，$x=0$，$y=1$，交点在y轴；
当$b = -\frac{1}{4}$时，$x=-\frac{1}{4}$，$y=0$，交点在x轴。
综上，交点不可能在第四象限。
D
2. 方程 $ 2x - y = 2 $ 的解有
无数
组，用 $ x $ 表示 $ y $ 为$y = 2x - 2$
，此时 $ y $ 是 $ x $ 的一次
函数。答案
2. 无数 $y = 2x - 2$ 一次
3. (2024·北京改编)在平面直角坐标系中，函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 与 $ y = -kx + 3 $ 的图象交于点 $ (2,1) $，则方程组 $ \begin{cases} kx - y = -b, \\ kx + y = 3 \end{cases} $ 的解是
$\begin{cases}x = 2, \\y = 1\end{cases}$
。答案
3. $\begin{cases}x = 2, \\y = 1\end{cases}$
4. 两条直线 $ y = 2x - 1 $ 和 $ y = 2x - 3 $ 的位置关系为
平行
。由此可知，方程组 $ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ 2x - y = 3 \end{cases} $ 的解的情况为无解
。答案
4. 平行 无解
5. 在平面直角坐标系中，$ O $ 为坐标原点。若直线 $ y = x + 3 $ 分别与 $ x $ 轴、直线 $ y = -2x $ 交于点 $ A $，$ B $，则 $ \triangle AOB $ 的面积为
3
。答案
5. 3
解析
解：求点$A$的坐标：令$y = 0$，则$0=x + 3$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$，$OA=|-3|=3$。
求点$B$的坐标：联立$\begin{cases}y=x + 3 \\ y=-2x\end{cases}$，解得$x + 3=-2x$，$3x=-3$，$x=-1$，代入$y=-2x$得$y=2$，所以$B(-1,2)$。
点$B$到$x$轴的距离为$2$，即$\triangle AOB$中$OA$边上的高为$2$。
$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2}× OA× 高=\frac{1}{2}×3×2 = 3$。
3
求点$B$的坐标：联立$\begin{cases}y=x + 3 \\ y=-2x\end{cases}$，解得$x + 3=-2x$，$3x=-3$，$x=-1$，代入$y=-2x$得$y=2$，所以$B(-1,2)$。
点$B$到$x$轴的距离为$2$，即$\triangle AOB$中$OA$边上的高为$2$。
$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2}× OA× 高=\frac{1}{2}×3×2 = 3$。
3
6. 用图象法解下面的二元一次方程组：
（1）$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = 0; \end{cases} $
（2）$ \begin{cases} x - 2y - 2 = 0, \\ 2x - 6y - 6 = 0. \end{cases} $
（1）$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = 0; \end{cases} $
（2）$ \begin{cases} x - 2y - 2 = 0, \\ 2x - 6y - 6 = 0. \end{cases} $
答案
6.
(1) 如图①，二元一次方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{4}{3}, \\y = \frac{4}{3} \end{cases}$
(2) 如图②，二元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 0, \\y = - 1\end{cases}$
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + a^2 $ 与 $ y = a^2x + a $ 的图象可能是(
D
)答案
7. D
解析
解：
1. 当 $a ＞ 0$ 时：
$y = ax + a^2$：$a ＞ 0$，$a^2 ＞ 0$，过第一、二、三象限；
$y = a^2x + a$：$a^2 ＞ 0$，$a ＞ 0$，过第一、二、三象限。
2. 当 $a ＜ 0$ 时：
$y = ax + a^2$：$a ＜ 0$，$a^2 ＞ 0$，过第一、二、四象限；
$y = a^2x + a$：$a^2 ＞ 0$，$a ＜ 0$，过第一、三、四象限。
3. 交点：联立方程 $ax + a^2 = a^2x + a$，解得 $x = 1$，交点横坐标为 $1$。
4. 综上，符合条件的图象为选项 D。
D
1. 当 $a ＞ 0$ 时：
$y = ax + a^2$：$a ＞ 0$，$a^2 ＞ 0$，过第一、二、三象限；
$y = a^2x + a$：$a^2 ＞ 0$，$a ＞ 0$，过第一、二、三象限。
2. 当 $a ＜ 0$ 时：
$y = ax + a^2$：$a ＜ 0$，$a^2 ＞ 0$，过第一、二、四象限；
$y = a^2x + a$：$a^2 ＞ 0$，$a ＜ 0$，过第一、三、四象限。
3. 交点：联立方程 $ax + a^2 = a^2x + a$，解得 $x = 1$，交点横坐标为 $1$。
4. 综上，符合条件的图象为选项 D。
D
8. (2024·兴安盟)点 $ P(m,n) $ 在直线 $ y = -\frac{3}{4}x + 4 $ 上，且 $ \begin{cases} x = m, \\ y = n \end{cases} $ 是二元一次方程 $ 5x - 6y = 33 $ 的解，则点 $ P $ 的位置在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. D
解析
因为点$P(m,n)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 4$上，所以$n=-\frac{3}{4}m + 4$。
又因为$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$是方程$5x - 6y = 33$的解，所以$5m-6n=33$。
将$n=-\frac{3}{4}m + 4$代入$5m-6n=33$，得：
$5m-6\left(-\frac{3}{4}m + 4\right)=33$
$5m+\frac{9}{2}m-24=33$
$\frac{10}{2}m+\frac{9}{2}m=33 + 24$
$\frac{19}{2}m=57$
$m=57×\frac{2}{19}=6$
将$m = 6$代入$n=-\frac{3}{4}m + 4$，得：
$n=-\frac{3}{4}×6 + 4=-\frac{9}{2}+4=-\frac{1}{2}$
所以点$P$的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，在第四象限。
D
又因为$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$是方程$5x - 6y = 33$的解，所以$5m-6n=33$。
将$n=-\frac{3}{4}m + 4$代入$5m-6n=33$，得：
$5m-6\left(-\frac{3}{4}m + 4\right)=33$
$5m+\frac{9}{2}m-24=33$
$\frac{10}{2}m+\frac{9}{2}m=33 + 24$
$\frac{19}{2}m=57$
$m=57×\frac{2}{19}=6$
将$m = 6$代入$n=-\frac{3}{4}m + 4$，得：
$n=-\frac{3}{4}×6 + 4=-\frac{9}{2}+4=-\frac{1}{2}$
所以点$P$的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，在第四象限。
D
9. 已知三条直线 $ y = 2x - 3 $，$ y = kx - 2 $，$ y = -2x + 1 $ 相交于同一点，则 $ k $ 的值为
1
。答案
9. 1
解析
解：联立$y = 2x - 3$和$y = -2x + 1$，得$\begin{cases}2x - 3 = -2x + 1\\\end{cases}$，解得$x = 1$，代入$y = 2x - 3$得$y = -1$，交点坐标为$(1, -1)$。将$(1, -1)$代入$y = kx - 2$，得$-1 = k×1 - 2$，解得$k = 1$。
10. (2024·滨州)如图，四边形 $ AOBC $ 四个顶点的坐标分别是 $ A(-1,3) $，$ O(0,0) $，$ B(3,-1) $，$ C(5,4) $，在该平面内找一点 $ P $，使它到四个顶点的距离之和 $ PA + PO + PB + PC $ 最小，则点 $ P $ 的坐标为
$(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$
。答案
10. $(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$ 解析:根据“两点之间线段最短”，得 $PO + PC$ 的最小值就是线段 $OC$ 的长，$PA + PB$ 的最小值就是线段 $AB$ 的长，$\therefore$ 到四个顶点的距离之和 $PA + PO + PB + PC$ 最小的点就是直线 $AB$，$OC$ 的交点 $P$。易得直线 $OC$ 对应的函数表达式为 $y = \frac{4}{5}x$，直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = - x + 2$，联立方程组，即可得点 $P$ 的坐标为 $(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$。
解析
解：要使 $PA + PO + PB + PC$ 最小，根据“两点之间线段最短”，$PA + PB$ 的最小值为线段 $AB$ 的长，$PO + PC$ 的最小值为线段 $OC$ 的长，故点 $P$ 为直线 $AB$ 与直线 $OC$ 的交点。
设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y = kx + b$，将 $A(-1,3)$，$B(3,-1)$ 代入得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\3k + b = -1\end{cases}$
解得 $k = -1$，$b = 2$，所以直线 $AB$ 的表达式为 $y = -x + 2$。
设直线 $OC$ 的函数表达式为 $y = mx$，将 $C(5,4)$ 代入得 $4 = 5m$，解得 $m = \frac{4}{5}$，所以直线 $OC$ 的表达式为 $y = \frac{4}{5}x$。
联立方程组：
$\begin{cases}y = -x + 2 \\y = \frac{4}{5}x\end{cases}$
解得 $x = \frac{10}{9}$，$y = \frac{8}{9}$。
故点 $P$ 的坐标为 $(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$。
设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y = kx + b$，将 $A(-1,3)$，$B(3,-1)$ 代入得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\3k + b = -1\end{cases}$
解得 $k = -1$，$b = 2$，所以直线 $AB$ 的表达式为 $y = -x + 2$。
设直线 $OC$ 的函数表达式为 $y = mx$，将 $C(5,4)$ 代入得 $4 = 5m$，解得 $m = \frac{4}{5}$，所以直线 $OC$ 的表达式为 $y = \frac{4}{5}x$。
联立方程组：
$\begin{cases}y = -x + 2 \\y = \frac{4}{5}x\end{cases}$
解得 $x = \frac{10}{9}$，$y = \frac{8}{9}$。
故点 $P$ 的坐标为 $(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$。
