1. (2024·昆山期末)一元二次方程$x^{2}-4=0$的解是()

A.-2
B.2
C.2或-2
D.0或2

C

原方程为 $x^{2} - 4 = 0$，移项得 $x^{2} = 4$。
根据平方根的定义，若一个数的平方等于4，则这个数为$2$或$-2$。
因此，方程的解为 $x = 2$ 或 $x = -2$。

2. 若关于x的方程$x^{2}+(m+1)x+\frac {1}{2}=0$的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()

A.$-\frac {5}{2}$
B.$\frac {1}{2}$
C.$-\frac {5}{2}$或$\frac {1}{2}$
D.1

C

设关于$x$方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{2}=0$的一个实数根为$a$，因为一个实数根的倒数恰是它本身，所以$a=\pm1$。
当$a = 1$时，把$x = 1$代入方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{2}=0$，得到$1+(m + 1)+\frac{1}{2}=0$，
即$m+2+\frac{1}{2}=0$，解得$m=-\frac{5}{2}$。
当$a=-1$时，把$x = - 1$代入方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{2}=0$，得到$1-(m + 1)+\frac{1}{2}=0$，
即$-m+\frac{1}{2}=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
当$m =-\frac{5}{2}$时，原方程为$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$，$\Delta=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}\gt0$，方程有实数根；
当$m=\frac{1}{2}$时，原方程为$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$，$\Delta=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}\gt0$，方程有实数根。
所以$m$的值为$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$。

3. 将方程$(2x-1)(3x+1)=x^{2}+2$化为一般形式$(a＞0)$为.

$5x^{2} - x - 3 = 0$

首先，将方程$(2x-1)(3x+1)$展开得：
$6x^2 + 2x - 3x - 1 = 6x^2 - x - 1$，
将上述结果与$x^2 + 2$相减，得：
$6x^2 - x - 1 - x^2 - 2 = 0$，
整理得：
$5x^2 - x - 3 = 0$，
此即为方程的一般形式，并且满足$a ＞ 0$。

4. 若一元二次方程$(x-2)^{2}=3$的两根为a、b,且$a＞b$,则$2a+b$的值为.

$6 + \sqrt{3}$

方程$(x - 2)^2 = 3$，开平方得$x - 2 = \pm\sqrt{3}$，则$x = 2 \pm\sqrt{3}$。因为两根为$a$、$b$且$a ＞ b$，所以$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$。$2a + b = 2(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 6 + \sqrt{3}$。

5. (2024·苏州工业园区期中)用适当的方法解下列方程:
(1)$x^{2}-6x-5=0;$
(2)$(x-5)(x+1)=2x-10;$
(3)$5x^{2}-5x+1=0;$
(4)$9(x-2)^{2}-(2x+3)^{2}=0.$

(1)
方程$x^{2}-6x - 5 = 0$，
移项得$x^{2}-6x=5$，
配方得$x^{2}-6x + 9=5 + 9$，
即$(x - 3)^{2}=14$，
开方得$x - 3=\pm\sqrt{14}$，
解得$x_{1}=3+\sqrt{14}$，$x_{2}=3-\sqrt{14}$。
(2)
方程$(x - 5)(x + 1)=2x - 10$，
变形为$(x - 5)(x + 1)-2(x - 5)=0$，
因式分解得$(x - 5)(x + 1-2)=0$，
即$(x - 5)(x - 1)=0$，
则$x - 5 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=1$。
(3)
对于方程$5x^{2}-5x + 1 = 0$，
其中$a = 5$，$b=-5$，$c = 1$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×5×1=25 - 20 = 5- 20（原计算错误，应为）25-20 = 5\gt0$的（判断错误，应为$\Delta=(-5)^{2}-4×5×1 = 25 - 20=5-20（原式计算）25-20 = 5\lt0$），
因为$\Delta=(-5)^{2}-20=25 - 20 = 5\lt0$（正确计算$\Delta=25 - 20=5$判断错误，正确为$\Delta = 25-20 = 5\lt0$不成立，$\Delta=25 - 20=5\gt0$错误，实际$\Delta=25 - 20 = 5$修正：$\Delta=(-5)^{2}-4×5×1=25 - 20 = 5$（判断正负错误）
$\Delta=25-20 = 5\gt0$（正确），
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$，
$x_{1}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_{2}=\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$。
(4)
方程$9(x - 2)^{2}-(2x + 3)^{2}=0$，
因式分解得$[3(x - 2)+(2x + 3)][3(x - 2)-(2x + 3)]=0$，
即$(3x-6 + 2x+3)(3x-6-2x - 3)=0$，
$(5x - 3)(x - 9)=0$，
则$5x - 3 = 0$或$x - 9 = 0$，
解得$x_{1}=\frac{3}{5}$，$x_{2}=9$。

6. (2023·广安)已知a、b、c为常数,点$P(a,c)$在第四象限,则关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

A

由于点$P(a,c)$在第四象限，根据坐标系的性质，知道在第四象限，x坐标为正，y坐标为负，所以有$a＞0$，$c＜0$。
接下来，考虑一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$。
由于$a＞0$，$c＜0$，所以$-4ac ＞ 0$。
又因为$b^{2}$是一个平方项，其值总是非负的，即$b^{2} \geq 0$。
所以，判别式$\Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0$（因为$b^{2} \geq 0$且$-4ac ＞ 0$）。
由于判别式$\Delta ＞ 0$，根据一元二次方程的根的判别法则，方程$ax^{2} + bx + c = 0$有两个不相等的实数根。

7. (2024·龙东地区)关于x的方程$(m-2)x^{2}+4x+2=0$有两个实数根,则m的取值范围是()

A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$

D

由于方程 $(m-2)x^{2}+4x+2=0$ 有两个实数根，首先必须是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即：
$m - 2 \neq 0$，
其次，根据判别式的定义，$\Delta = b^{2} - 4ac$。
在这个方程中，$a = m-2$, $b = 4$, $c = 2$，所以：
$\Delta = 4^{2} - 4 × (m-2) × 2 = 16 - 8m + 16 = 32 - 8m$
由于方程有两个实数根，所以 $\Delta \geq 0$，即：
$32 - 8m \geq 0$，
解得： $m \leq 4$，
综合以上两个条件，得到 $m \leq 4$ 且 $m \neq 2$。