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8. (2023·达州)已知$x_{1}$、$x_{2}$是方程$2x^{2}+kx-2=0$的两个实数根,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=10$,则k的值为.
答案
7
解析
由韦达定理得，对于方程$2x^2 + kx - 2 = 0$，$x_1 + x_2 = -\frac{k}{2}$，$x_1x_2 = -1$。
展开$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$得：$x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$。
代入得：$-1 - 2(-\frac{k}{2}) + 4 = 10$，化简为$k + 3 = 10$，解得$k = 7$。
展开$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$得：$x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$。
代入得：$-1 - 2(-\frac{k}{2}) + 4 = 10$，化简为$k + 3 = 10$，解得$k = 7$。
9. (2024·泸州)已知$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的两个实数根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是.
答案
14
解析
∵$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 5 = 0$的两个实数根，
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-5$。
$\begin{aligned}(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}&=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{2}\\&=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}\\&=3^{2}-(-5)\\&=9 + 5\\&=14\end{aligned}$
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-5$。
$\begin{aligned}(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}&=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{2}\\&=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}\\&=3^{2}-(-5)\\&=9 + 5\\&=14\end{aligned}$
10. (2024·成都)若m、n是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为.
答案
7
解析
∵m、n是一元二次方程$x^2 - 5x + 2 = 0$的两个实数根，∴由韦达定理得$m + n = 5$，且$n^2 - 5n + 2 = 0$，即$n^2 = 5n - 2$。
$\therefore (n - 2)^2 = n^2 - 4n + 4 = (5n - 2) - 4n + 4 = n + 2$。
$\therefore m + (n - 2)^2 = m + n + 2 = 5 + 2 = 7$。
$\therefore (n - 2)^2 = n^2 - 4n + 4 = (5n - 2) - 4n + 4 = n + 2$。
$\therefore m + (n - 2)^2 = m + n + 2 = 5 + 2 = 7$。
11. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+m+4=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$.
(1)求m的取值范围;
(2)若$x_{1}$、$x_{2}$满足$3x_{1}=|x_{2}|+2$,求m的值.
(1)求m的取值范围;
(2)若$x_{1}$、$x_{2}$满足$3x_{1}=|x_{2}|+2$,求m的值.
答案
(1)m≤5；(2)m=4。
解析
(1)∵方程有两个实数根，∴Δ=(-6)²-4×1×(m+4)≥0，即36-4m-16≥0，20-4m≥0，解得m≤5。
(2)由韦达定理得x₁+x₂=6，x₁x₂=m+4。∵3x₁=|x₂|+2，且x₂=6-x₁，∴3x₁=|6-x₁|+2。
情况一：6-x₁≥0即x₁≤6时，|6-x₁|=6-x₁，∴3x₁=6-x₁+2，4x₁=8，x₁=2。则x₂=6-2=4。∴x₁x₂=2×4=8=m+4，解得m=4。
情况二：6-x₁＜0即x₁＞6时，|6-x₁|=x₁-6，∴3x₁=x₁-6+2，2x₁=-4，x₁=-2（与x₁＞6矛盾，舍去）。
综上，m=4。
(2)由韦达定理得x₁+x₂=6，x₁x₂=m+4。∵3x₁=|x₂|+2，且x₂=6-x₁，∴3x₁=|6-x₁|+2。
情况一：6-x₁≥0即x₁≤6时，|6-x₁|=6-x₁，∴3x₁=6-x₁+2，4x₁=8，x₁=2。则x₂=6-2=4。∴x₁x₂=2×4=8=m+4，解得m=4。
情况二：6-x₁＜0即x₁＞6时，|6-x₁|=x₁-6，∴3x₁=x₁-6+2，2x₁=-4，x₁=-2（与x₁＞6矛盾，舍去）。
综上，m=4。
12. (2024·苏州工业园区期中)某中学组织九年级学生进行篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有个班参赛.
答案
6
解析
设共有 $x$ 个班参赛，每个班需要与其他 $x-1$ 个班进行比赛，但每场比赛计算了两次（两个班各计一次），故总场数为 $\frac{x(x-1)}{2}$。根据题意，总场数为 15 场，即：
$\frac{x(x-1)}{2} = 15$，
整理方程：
$x^2 - x - 30 = 0$，
因式分解：
$(x - 6)(x + 5) = 0$，
解得 $x = 6$ 或 $x = -5$（舍去负数解），故共有 6 个班参赛。
$\frac{x(x-1)}{2} = 15$，
整理方程：
$x^2 - x - 30 = 0$，
因式分解：
$(x - 6)(x + 5) = 0$，
解得 $x = 6$ 或 $x = -5$（舍去负数解），故共有 6 个班参赛。
13. (新考法·综合与实践)某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程$l(cm)$与时间$t(s)$满足关系:$l=\frac {1}{2}t^{2}+\frac {3}{2}t(t≥0)$,乙以4 cm/s的速度匀速运动,半圆弧的长度为21 cm.
(1)求甲运动4s的路程.
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了多长时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了多长时间?
(1)求甲运动4s的路程.
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了多长时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了多长时间?
答案
(1)当$t=4$时，甲的路程$l=\frac{1}{2}×4^{2}+\frac{3}{2}×4=\frac{1}{2}×16+\frac{3}{2}×4=8 + 6=14\,cm$。
(2)设第一次相遇时间为$t_1\,s$。甲路程$l_{甲}=\frac{1}{2}t_1^{2}+\frac{3}{2}t_1$，乙路程$l_{乙}=4t_1$。相遇时路程和为半圆弧长$21\,cm$，则$\frac{1}{2}t_1^{2}+\frac{3}{2}t_1 + 4t_1=21$。整理得$t_1^{2}+11t_1 - 42=0$，解得$t_1=3$（$t_1=-14$舍去）。
(3)设第二次相遇时间为$t_2\,s$。相遇时路程和为$21 + 42=63\,cm$，则$\frac{1}{2}t_2^{2}+\frac{3}{2}t_2 + 4t_2=63$。整理得$t_2^{2}+11t_2 - 126=0$，解得$t_2=7$（$t_2=-18$舍去）。
(1)$14\,cm$；(2)$3\,s$；(3)$7\,s$。
(2)设第一次相遇时间为$t_1\,s$。甲路程$l_{甲}=\frac{1}{2}t_1^{2}+\frac{3}{2}t_1$，乙路程$l_{乙}=4t_1$。相遇时路程和为半圆弧长$21\,cm$，则$\frac{1}{2}t_1^{2}+\frac{3}{2}t_1 + 4t_1=21$。整理得$t_1^{2}+11t_1 - 42=0$，解得$t_1=3$（$t_1=-14$舍去）。
(3)设第二次相遇时间为$t_2\,s$。相遇时路程和为$21 + 42=63\,cm$，则$\frac{1}{2}t_2^{2}+\frac{3}{2}t_2 + 4t_2=63$。整理得$t_2^{2}+11t_2 - 126=0$，解得$t_2=7$（$t_2=-18$舍去）。
(1)$14\,cm$；(2)$3\,s$；(3)$7\,s$。
