登录
23. (2024·安徽)在凸五边形ABCDE中,AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.补充下列条件后,不能得到AF与CD一定垂直的是(
A.∠ABC=∠AED
B.∠BAF=∠EAF
C.∠BCF=∠EDF
D.∠ABD=∠AEC
D
)A.∠ABC=∠AED
B.∠BAF=∠EAF
C.∠BCF=∠EDF
D.∠ABD=∠AEC
答案
23. D
24. 如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且点M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为(
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
C
)A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
答案
24. C
25. (2024·临夏改编)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边上的中线AD向下平移,使点A的对应点A'满足AA'= $\frac{1}{3}$AD,A'B'与BD的交点为M,则B'M的长为
$\frac{2}{3}$
.答案
25. $\frac{2}{3}$
解析
证明：
在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AD为底边BC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=60°，BD=DC。
在Rt△ABD中，AD=AB·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，BD=AB·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
由平移性质，A'B'//AB，A'D=AD-AA'=1-$\frac{1}{3}$×1=$\frac{2}{3}$。
∵A'B'//AB，
∴△A'MD∽△ABD，
∴$\frac{A'M}{AB}$=$\frac{A'D}{AD}$，即$\frac{A'M}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1}$，解得A'M=$\frac{4}{3}$。
∵A'B'=AB=2，
∴B'M=A'B'-A'M=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AD为底边BC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=60°，BD=DC。
在Rt△ABD中，AD=AB·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，BD=AB·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
由平移性质，A'B'//AB，A'D=AD-AA'=1-$\frac{1}{3}$×1=$\frac{2}{3}$。
∵A'B'//AB，
∴△A'MD∽△ABD，
∴$\frac{A'M}{AB}$=$\frac{A'D}{AD}$，即$\frac{A'M}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1}$，解得A'M=$\frac{4}{3}$。
∵A'B'=AB=2，
∴B'M=A'B'-A'M=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
26. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为
12.5
.答案
26. 12.5 解析：如图,过点A作AE⊥AC,交CB的延长线于点E,则∠CAE=∠DAB=90°.
∴ ∠CAE - ∠CAB = ∠DAB - ∠CAB,即∠BAE = ∠DAC.
∵ ∠CAE = 90°,
∴ ∠ACB + ∠E = 90°.
∵ ∠DCB = 90°,
∴ ∠ACD + ∠ACB = 90°,
∴ ∠E = ∠ACD.在△ABE和△ADC中,
$\begin{cases} \angle E = \angle ACD, \\ \angle BAE = \angle DAC, \\ AB = AD. \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △ADC(AAS),
∴AE=AC=5,$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ADC}$,
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AC \cdot AE=\frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$.
27. (2024·苏州工业园区期末)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=6 cm,BD=10 cm,BC＞8 cm.动点P以1 cm/s的速度从点A出发沿边AD向点D匀速移动,动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动,动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动,三点同时出发.连接PM,QM,当动点M的速度为
0.5或2.5
cm/s时,存在某个时刻,使得以P,D,M为顶点的三角形与△QBM全等.答案
27. 0.5或2.5 解析：设动点M的速度为$v$cm/s.当△DPM ≌ △BMQ时,$v = 0.5$;当△DPM ≌ △BQM时,$v = 2.5$.
解析
解：设运动时间为$t$秒，动点$M$的速度为$v$cm/s，则$AP = t$cm，$PD=(6 - t)$cm，$BQ = 2t$cm，$BM = vt$cm，$MD=(10 - vt)$cm。
情况一：当$\triangle DPM \cong \triangle BMQ$时
则$PD = BM$，$MD = BQ$，
即$\begin{cases}6 - t = vt \\10 - vt = 2t\end{cases}$，
解得$v = 0.5$。
情况二：当$\triangle DPM \cong \triangle BQM$时
则$PD = BQ$，$MD = BM$，
即$\begin{cases}6 - t = 2t \\10 - vt = vt\end{cases}$，
解得$v = 2.5$。
综上，$v = 0.5$或$2.5$。
0.5或2.5
情况一：当$\triangle DPM \cong \triangle BMQ$时
则$PD = BM$，$MD = BQ$，
即$\begin{cases}6 - t = vt \\10 - vt = 2t\end{cases}$，
解得$v = 0.5$。
情况二：当$\triangle DPM \cong \triangle BQM$时
则$PD = BQ$，$MD = BM$，
即$\begin{cases}6 - t = 2t \\10 - vt = vt\end{cases}$，
解得$v = 2.5$。
综上，$v = 0.5$或$2.5$。
0.5或2.5
28. (2023·滨州)已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点.若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的度数为
16°
.答案
28. 16° 解析：如图,过点P作PD//AB交AC于点D,过点P作PE//AC交AB于点E,则△BPE,△CPD均为等边三角形,
∴BP=PE,CP=PD, ∠PDC=∠DPC=60°.
证△AEP ≌ △PDA,得PE=AD,
∴BP=AD,
∴ △ADP就是以线段AP,BP,CP为边的三角形.
∵ ∠APD = ∠APC - 60° = 44°, ∠ADP = 180° - ∠PDC = 120°,
∴ ∠PAD = 180° - ∠APD - ∠ADP = 16°,
∴在满足题意的三角形中,最小内角的度数为16°.
29. 如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.
(1)当DC=2时,求证:△ABD≌△DCE.
(2)(分类讨论思想)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BAD的度数为多少时,△ADE是等腰三角形?请说明理由.
(1)当DC=2时,求证:△ABD≌△DCE.
(2)(分类讨论思想)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BAD的度数为多少时,△ADE是等腰三角形?请说明理由.
答案
29.
(1)
∵AB=AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠ADC是△ABD的外角,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD,即∠ADE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD.
∵ ∠B = 40°, ∠ADE = 40°,
∴ ∠CDE = ∠BAD.
∵AB = 2,DC = 2,
∴AB = DC.在△ABD和△DCE中,
$\begin{cases} \angle BAD = \angle CDE, \\ AB = DC, \\ \angle B = \angle C. \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △DCE(ASA)
(2)当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形 理由：
∵在△ABC中,AB=AC,
∴ ∠B = ∠C = 40°.
①若AD = AE,则∠AED = ∠ADE = 40°.
∵ ∠AED是△DEC的外角,
∴ ∠AED = ∠EDC + ∠C,
∴ ∠EDC = 0°,此时点D,B重合,不符合题意,舍去.
②若AD = ED,则∠DAE = ∠DEA = $\frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ADE) = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$.
∵ ∠AED = ∠EDC + ∠C,
∴ ∠EDC = 30°,
∴ ∠BAD = ∠EDC = 30°.
③若AE = DE,则∠DAE = ∠ADE = 40°.
∵ △ABC的内角和为180°,
∴ ∠BAC = 180° - 2 × 40° = 100°,
∴ ∠BAD = 100° - 40° = 60°.
综上所述,当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形.
(1)
∵AB=AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠ADC是△ABD的外角,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD,即∠ADE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD.
∵ ∠B = 40°, ∠ADE = 40°,
∴ ∠CDE = ∠BAD.
∵AB = 2,DC = 2,
∴AB = DC.在△ABD和△DCE中,
$\begin{cases} \angle BAD = \angle CDE, \\ AB = DC, \\ \angle B = \angle C. \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △DCE(ASA)
(2)当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形 理由：
∵在△ABC中,AB=AC,
∴ ∠B = ∠C = 40°.
①若AD = AE,则∠AED = ∠ADE = 40°.
∵ ∠AED是△DEC的外角,
∴ ∠AED = ∠EDC + ∠C,
∴ ∠EDC = 0°,此时点D,B重合,不符合题意,舍去.
②若AD = ED,则∠DAE = ∠DEA = $\frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ADE) = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$.
∵ ∠AED = ∠EDC + ∠C,
∴ ∠EDC = 30°,
∴ ∠BAD = ∠EDC = 30°.
③若AE = DE,则∠DAE = ∠ADE = 40°.
∵ △ABC的内角和为180°,
∴ ∠BAC = 180° - 2 × 40° = 100°,
∴ ∠BAD = 100° - 40° = 60°.
综上所述,当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形.
