17. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是()

A.BC=EC
B.EC=BE
C.BC=BE
D.AE=EC

17. C

证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=1/2∠ACD=1/2∠B.
∵∠CEB=∠A+∠ACE，∠A=90°-∠B，
∴∠CEB=90°-∠B + 1/2∠B=90°-1/2∠B.
∵∠BCE=∠BCD+∠ECD=90°-∠B + 1/2∠B=90°-1/2∠B，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE.
C

18. 如图,∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,连接CD,CE,DE.若∠CDE=56°,则∠DCE的度数是()

A.56°
B.62°
C.63°
D.72°

18. A

证明：
∵∠ACB=∠ADB=90°，E为AB中点，
∴CE=DE=1/2AB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠DCE=∠CDE=56°．
答案：A

19. 如图,在△ABC中,点D在BC上,且BD,CD的垂直平分线分别与AB,AC相交于点E,F.若△ABC的三个内角都不相等,则在∠1,∠2,∠3,∠4中,相等的角为(用“=”连接).

19. ∠2=∠4

证明：连接 $ED$、$FD$。
∵ $E$ 在 $BD$ 的垂直平分线上，
∴ $EB=ED$，故 $\angle B=\angle EDB$。
∵ $F$ 在 $CD$ 的垂直平分线上，
∴ $FC=FD$，故 $\angle C=\angle FDC$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A+\angle B+\angle C=180°$。
在四边形 $AEDF$ 中，$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle EDB+\angle FDC=360°$，
即 $\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle B+\angle C=360°$。
联立得 $\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180°+\angle A$。
又
∵ $\angle 1+\angle 4+\angle A=180°$（$\triangle AEF$ 内角和），$\angle 2+\angle 3+\angle EDF=180°$（$\triangle EDF$ 内角和），
且 $\angle EDF=180°-\angle EDB-\angle FDC=180°-\angle B-\angle C=\angle A$，
∴ $\angle 2+\angle 3=180°-\angle A$。
代入 $\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180°+\angle A$，得 $\angle 1+\angle 4+\angle A=180°$，
对比 $\angle 1+\angle 4+\angle A=180°$，可知 $\angle 2=\angle 4$。
$\angle 2=\angle 4$

20. (2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为.

20. 6或12

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴BC=AB×sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，AC=AB×cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，∠B=60°.
情况一：点D在AB延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=120°，
∴∠ADC=180°-30°-120°=30°，
∴∠ADC=∠A，故AC=CD=4$\sqrt{3}$.
过点C作CE⊥AB于点E，
CE=AC×sin30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AE=AC×cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}$=6，
AD=AE+DE=6+6=12.
情况二：点D在BA延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-30°-60°=90°，
∴△ACD为直角三角形，AD=AC×cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6.
综上，AD的长为6或12.

21. 如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,求∠CDE的度数.

21.
∵AC=CD=BD=BE, ∠A=50°,
∴ ∠A=∠CDA=50°, ∠B=∠DCB, ∠EDB=∠DEB.
∵ ∠CDA是△BDC的外角,
∴ ∠CDA=∠B+∠DCB,
∴ ∠B=25°.
∵在△BDE中,∠B+∠EDB+∠DEB=180°,
∴ ∠EDB=$\frac{1}{2} × (180^{\circ} - 25^{\circ}) = 77.5^{\circ}$,
∴ ∠CDE=180° - ∠CDA - ∠EDB = 180° - 50° - 77.5° = 52.5°

22. (2024·新疆)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)如图①,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE,则CA,CE和CD之间的数量关系是.

22.
(1)CE+CD=CA 理由：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=60°,
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,
∴ ∠BAD = ∠CAE.在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle BAD = \angle CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACE(SAS),
∴BD=CE.
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.
(2)CA+CD=CE