|条件:直径AB结论:(1)$OP^{2}-PM^{2}= OD^{2}-MD^{2}$;(2)$CP\cdot PD= CM^{2}-PM^{2}$.||条件:$AB\perp CD$结论:$CG^{2}+OG^{2}= OC^{2}= OB^{2}= OF^{2}+BF^{2}$.||条件:$AB// CD$结论:$AN^{2}+ON^{2}= OA^{2}= OC^{2}= CM^{2}+OM^{2}$.||
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【解析】：
1. 对于条件“直径$AB$”：
（1）在$\triangle OPM$中，根据勾股定理$OP^{2}=OM^{2}+PM^{2}$，即$OP^{2}-PM^{2}=OM^{2}$；在$\triangle ODM$中，根据勾股定理$OD^{2}=OM^{2}+MD^{2}$，即$OD^{2}-MD^{2}=OM^{2}$，所以$OP^{2}-PM^{2}=OD^{2}-MD^{2}$。
（2）连接$OC$，因为$OC = OP$，$CP\cdot PD=(CM - PM)(CM + PM)=CM^{2}-PM^{2}$（根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = CM$，$b = PM$）。
2. 对于条件“$AB\perp CD$”：
在$Rt\triangle OCG$中，根据勾股定理$CG^{2}+OG^{2}=OC^{2}$，因为$OC = OB$，在$Rt\triangle OBF$中，根据勾股定理$OF^{2}+BF^{2}=OB^{2}$，所以$CG^{2}+OG^{2}=OC^{2}=OB^{2}=OF^{2}+BF^{2}$。
3. 对于条件“$AB// CD$”：
在$Rt\triangle OAN$中，根据勾股定理$AN^{2}+ON^{2}=OA^{2}$，因为$OA = OC$，在$Rt\triangle OCM$中，根据勾股定理$CM^{2}+OM^{2}=OC^{2}$，所以$AN^{2}+ON^{2}=OA^{2}=OC^{2}=CM^{2}+OM^{2}$。
【答案】：（1）在直径$AB$条件下，利用勾股定理可证$OP^{2}-PM^{2}=OD^{2}-MD^{2}$；（2）在直径$AB$条件下，通过连接$OC$，利用平方差公式可证$CP\cdot PD = CM^{2}-PM^{2}$；在$AB\perp CD$条件下，利用勾股定理可证$CG^{2}+OG^{2}=OC^{2}=OB^{2}=OF^{2}+BF^{2}$；在$AB// CD$条件下，利用勾股定理可证$AN^{2}+ON^{2}=OA^{2}=OC^{2}=CM^{2}+OM^{2}$。

1. 如图,$\odot O$的弦CD交直径AB于点E,$OD= DE$,$CE:DE= 3:5$.若$OE= 5$,求CD的长.

解:过点O作OF⊥CD于点F.
　设CE=3x,DE=5x,
　∴OD=DE=5x,CD=8x.
　∵OF⊥CD,∴DF=$\frac{1}{2}$CD=4x,∴EF=x.由勾股定理,得OF=3x.在Rt△OEF中，
由勾股定理,得(3x)²+x²=5²,
　∴x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$或x=−$\frac{\sqrt{10}}{2}$(舍去),∴CD=8x=4$\sqrt{10}$

2. 如图,AB为$\odot O$的直径,弦CD交AB于点P,且$PA= 1$,$PB= 5$,$\angle DPB= 30^{\circ}$,则CD的长为______.

4$\sqrt{2}$

3. (教材$P_{83}T_{2}$变式)如图,在$\odot O$中,弦AB,CD交于点E,$AB\perp CD$,$AE= 2$,$BE= 6$,$CE= 4$,求$\odot O$的半径.

解:连接OB,OC,
　过点O分别作OF⊥AB于点F,OG⊥CD于点G,易得矩形OGEF,
BF=4,EF=2=0G.
　设OF=EG=x,则CG=4−x,
　∵CG²+OG²=OC²=OB²=OF²+BF²,∴(4−x)²+2²=x²+4²,
　∴x=$\frac{1}{2}$,∴OF=$\frac{1}{2}$,
　∴OB=$\sqrt{OF²+BF²}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$.

4. (教材$P_{90}T_{10}$变式)在半径为13的$\odot O$中,弦$AB// CD$,弦AB和CD的距离为7.若$AB= 24$,则CD的长为______.

10或2$\sqrt{165}$　解:当AB与CD在圆心O的同侧时，
　如图1所示:
　过点O作OF⊥CD于点F,
　交AB于点E,连接OA,OC.
　∵AB//CD,OF⊥CD,∴OE⊥AB,∴AE=$\frac{1}{2}$AB=12,
　在Rt△AOE中,
　OE=$\sqrt{OA²−AE²}$=5,
　∴OF=OE+EF=12,
　在Rt△OCF中,
　CF=$\sqrt{OC²−OF²}$=5,
　∴CD=2CF=2×5=10;
　
当AB与CD在圆心O的异侧时,如图2所示:过点O作OF⊥CD于点F,延长FO交AB于点E,连接OA,OC.
　∵AB//CD,OF⊥CD,∴OE⊥AB,∴AE=$\frac{1}{2}$AB=12,在Rt△AOE 中,OE=$\sqrt{OA²−AE²}$=5,
　∴OF=EF−OE=2,
　在Rt△OCF中,
　CF=$\sqrt{OC²−OF²}$=$\sqrt{165}$,
　∴CD=2CF=2$\sqrt{165}$
　故CD的长为10或2$\sqrt{165}$.