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1. 如图,下列五边形ABCDE都是正五边形,则这些图形中是轴对称图形的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. D
2. 有下列说法:① 正多边形的各条边相等;② 各边相等的多边形是正多边形;③ 各角相等的多边形是正多边形;④ 各边相等的圆的内接多边形是正多边形;⑤ 既是轴对称图形,又是中心对称图形的多边形是正多边形.其中,正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
①正多边形的各条边相等，正确；
②各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，错误；
③各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形，错误；
④各边相等的圆的内接多边形是正多边形，正确；
⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形不一定是正多边形，如矩形，错误。
正确的有2个。
B
②各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，错误；
③各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形，错误；
④各边相等的圆的内接多边形是正多边形，正确；
⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形不一定是正多边形，如矩形，错误。
正确的有2个。
B
3. 每个外角都是20°的正多边形的对称轴一共有
18
条.答案
3. 18
解析
因为多边形的外角和为360°，每个外角是20°，所以边数为360°÷20°=18。正n边形有n条对称轴，所以该正多边形对称轴有18条。
4. 将一个正七边形绕它的中心旋转,至少要旋转
$(\frac {360}{7})$
°才能与原来的图形重合.答案
4. $(\frac {360}{7})$
5. 如图,将⊙O八等分,得到$\overset{\frown}{AB}$,将⊙O十二等分,得到$\overset{\frown}{AC}$,连接BC.若线段BC是⊙O的内接正n边形的一条边,试探究n的值.
答案
5. 连接AO、CO。由题意，得$\overset{\frown }{AB}$的度数为$\frac {360^{\circ }}{8}=45^{\circ },\overset{\frown }{AC}$的度数为$\frac {360^{\circ }}{12}=30^{\circ },\therefore \overset{\frown }{BC}$的度数为$45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }.\because 360^{\circ }÷15^{\circ }=24$，
∴ 线段 BC 是$\odot O$的内接正二十四边形的一条边，$\therefore n=24$
∴ 线段 BC 是$\odot O$的内接正二十四边形的一条边，$\therefore n=24$
6. (新考向·传统文化)(2024·东营)我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来估算圆周率π的值.如图,⊙O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积来估计⊙O的面积,可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.若用圆内接正八边形进行估计,则π的估计值为 (
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
B
)A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
答案
6. B
解析
解：圆内接正八边形可分割为8个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长为圆的半径$r = 1$，顶角为$\frac{360°}{8} = 45°$。
每个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2} × r^2 × \sin 45° = \frac{1}{2} × 1^2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
正八边形的面积为：$8 × \frac{\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}$。
因为圆的面积$S = \pi r^2 = \pi$，用正八边形面积估计圆的面积，可得$\pi \approx 2\sqrt{2}$。
答案：B
每个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2} × r^2 × \sin 45° = \frac{1}{2} × 1^2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
正八边形的面积为：$8 × \frac{\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}$。
因为圆的面积$S = \pi r^2 = \pi$，用正八边形面积估计圆的面积，可得$\pi \approx 2\sqrt{2}$。
答案：B
7. (易错题)如图所示为一种警报装置的示意图,电子屏幕上有一个正六边形ABCDEF,点P沿直线AB从右向左移动,当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时,就会发出警报,则直线AB上会发出警报的点P有
5
个.答案
7. 5 [易错分析]解答本题时容易忽视正六边形的对角线 EC、AC 的垂直平分线分别与直线 AB 的交点也是符合题意的点。
解析
解：
1. 线段垂直平分线与直线AB的交点：
AB的垂直平分线与AB交于中点，满足PA=PB；
AF的垂直平分线与AB交于一点，满足PA=PF；
BC的垂直平分线与AB交于一点，满足PB=PC；
ED的垂直平分线与AB交于一点，满足PD=PE；
EC的垂直平分线与AB交于一点，满足PC=PE；
AC的垂直平分线与AB交于一点，满足PA=PC（与上述某点重合）。
2. 经分析，不重合的有效交点共5个。
答案：5
1. 线段垂直平分线与直线AB的交点：
AB的垂直平分线与AB交于中点，满足PA=PB；
AF的垂直平分线与AB交于一点，满足PA=PF；
BC的垂直平分线与AB交于一点，满足PB=PC；
ED的垂直平分线与AB交于一点，满足PD=PE；
EC的垂直平分线与AB交于一点，满足PC=PE；
AC的垂直平分线与AB交于一点，满足PA=PC（与上述某点重合）。
2. 经分析，不重合的有效交点共5个。
答案：5
