1.某校为了解学生在校吃午餐所需的时间,抽查了20名学生在校吃午餐所需的时间,获得如下数据(单位:min):10,12,15,10,16,18,19,18,20,18,18,20,28,22,31,20,15,16,21,16.
若将这些数据以4 min为组距进行分组,则组数是()

A.4
B.5
C.6
D.7

C

第一步：找出数据中的最大值为31，最小值为10，计算极差：$31 - 10 = 21$；第二步：已知组距为4，计算极差与组距的商：$21÷4=5.25$；第三步：组数需取大于该结果的最小整数，保证所有数据都能被分组，因此组数为6。

2.若$a$是$\sqrt{13}$的整数部分，$\sqrt{b}=3$，则$\sqrt{ab+54}$的平方根是（）

A.9
B.3
C.$\pm 3$
D.$\pm 9$

C

1. 估算$\sqrt{13}$的范围：因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分$a=3$。
2. 由$\sqrt{b}=3$，两边平方得$b=3^2=9$。
3. 代入计算：$ab+54=3×9+54=81$，因此$\sqrt{ab+54}=\sqrt{81}=9$。
4. 求9的平方根：正数的平方根有两个，互为相反数，所以9的平方根是$\pm3$。

3. 如图，$AB // CD$，$∠ FEN = 2∠ BEN$，$∠ FGH = 2∠ CGH$，则$∠ F$与$∠ H$的数量关系是________。

3∠H - ∠F = 180°（或等价形式∠F + 180° = 3∠H）

我们通过过拐点作辅助线，利用平行线的性质推导：
1. 设∠BEN=α，∠CGH=β，由题意∠FEN=2∠BEN，∠FGH=2∠CGH，可得：
∠BEF = ∠BEN + ∠FEN = 3α，∠CGF = ∠CGH + ∠FGH = 3β。
2. 过点F作FM//AB，因为AB//CD，根据平行公理推论，可得FM//AB//CD。
由平行线内错角相等，得∠EFM=∠BEF=3α；由平行线同旁内角互补，得∠MFG + ∠CGF = 180°，即∠MFG=180°-3β。
因此∠EFG = ∠EFM - ∠MFG = 3α - (180°-3β) = 3α + 3β - 180°，即∠F=3(α+β)-180°。
3. 过点H作HP//AB，因为AB//CD，根据平行公理推论，可得HP//AB//CD。
由平行线内错角相等，得∠EHP=∠BEN=α，∠GHP=∠CGH=β，因此∠EHG=∠EHP+∠GHP=α+β，即∠H=α+β。
4. 将α+β=∠H代入∠F的表达式，整理可得∠F与∠H的数量关系。

4.如图,在正方形网格中的每个小正方形的边长都为1个单位长度,我们把每个小正方形的顶点称为格点.请分别仅用一把无刻度的直尺作图:
(1)在图①中,过点 C 作一条 AB 的垂线;
(2)在图②中,过点 C 作一条 AB 的平行线.

按上述方法作出的直线分别满足过点C垂直AB、过点C平行AB的要求，作图结果不唯一，满足对应垂直、平行的几何关系即可。

(1) 在图①中，线段AB是直角边分别为3和2的格点直角三角形的斜边，过点C找到对应格点，构造以点C为端点、直角边分别为2和3的格点直角三角形的斜边，根据同角的余角相等，可证该连线与AB夹角为90°，仅用无刻度直尺连接两点，即可得到过点C垂直于AB的直线。
(2) 在图②中，根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，过点C构造格点直角三角形，使其直角边的长度比、倾斜方向和AB对应的格点直角三角形完全一致，连接点C和该格点，所得直线就与AB平行，仅用无刻度直尺完成连线即可。
作图结果均为格点连线，符合无刻度直尺的作图要求。

5. 生活常识告诉我们:糖水里再添加糖,在糖完全溶解的情况下,糖水会变得更甜.我们把含糖的质量与糖水质量的比值称为含糖量$(含糖量=\dfrac{糖的质量}{糖水的质量})$,含糖量越大糖水越甜.小杭现在有一杯质量为$100\ \mathrm{g}$的糖水,其中含有$a\ \mathrm{g}$糖$(0＜ a＜100)$,他试了一下感觉不够甜,又向其中添加了$10\ \mathrm{g}$糖,并搅拌至完全溶解.
(1)原来的含糖量为________,加糖后的含糖量为________.(用含$a$的代数式表示)
(2)根据加糖前后的含糖量,请你用代数式说明加糖后变甜的原因.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,含糖量应不低于$10\%$,但不超过$15\%$.如果上述操作后含糖量符合要求,求$a$的取值范围.

(1) $\boldsymbol{\dfrac{a}{100}}$；$\boldsymbol{\dfrac{a+10}{110}}$
(2) 加糖后含糖量大于原糖水含糖量，因此糖水更甜，推导过程见解析
(3) $\boldsymbol{1≤ a≤6.5}$

(1) 根据含糖量的定义直接代入计算：原糖水糖的质量为$a\ \mathrm{g}$，糖水总质量为$100\ \mathrm{g}$，因此原来的含糖量为$\frac{a}{100}$；添加10g糖完全溶解后，糖的总质量为$(a+10)\ \mathrm{g}$，糖水总质量为$100+10=110\ \mathrm{g}$，因此加糖后的含糖量为$\frac{a+10}{110}$。
(2) 用作差法比较加糖前后含糖量的大小：
$\frac{a+10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{100(a+10)-110a}{110×100}=\frac{1000-10a}{11000}$
已知$0＜a＜100$，因此$1000-10a＞0$，可得$\frac{a+10}{110}-\frac{a}{100}＞0$，即$\frac{a+10}{110}＞\frac{a}{100}$，加糖后含糖量更大，因此糖水变甜。
(3) 根据含糖量的要求列出一元一次不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{a+10}{110}≥10\% \\\dfrac{a+10}{110}≤15\% \end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘110得$a+10≥11$，解得$a≥1$；
解第二个不等式：两边同乘110得$a+10≤16.5$，解得$a≤6.5$；
结合已知条件$0＜a＜100$，最终得到$a$的取值范围。