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12. 探究：
$2^{2}-2^{1}=2× 2^{1}-1× 2^{1}=2^{1}$；
$2^{3}-2^{2}=2× 2^{2}-1× 2^{2}=2^{2}$；
$2^{4}-2^{3}=2× 2^{3}-1× 2^{3}=2^{3}$；
…
（1）请仔细观察，写出第$4$个等式；
（2）请你找规律，写出第$n$个等式；
（3）计算：$2^{1}+2^{2}+2^{3}+··· +2^{2025}-2^{2026}$。
$2^{2}-2^{1}=2× 2^{1}-1× 2^{1}=2^{1}$；
$2^{3}-2^{2}=2× 2^{2}-1× 2^{2}=2^{2}$；
$2^{4}-2^{3}=2× 2^{3}-1× 2^{3}=2^{3}$；
…
（1）请仔细观察，写出第$4$个等式；
（2）请你找规律，写出第$n$个等式；
（3）计算：$2^{1}+2^{2}+2^{3}+··· +2^{2025}-2^{2026}$。
答案
12. 解：（1）$ 2 ^ { 5 } - 2 ^ { 4 } = 2 × 2 ^ { 4 } - 1 × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 4 } $。
（2）$ 2 ^ { n + 1 } - 2 ^ { n } = 2 × 2 ^ { n } - 1 × 2 ^ { n } = 2 ^ { n } $。
（3）原式 $ = - ( 2 ^ { 2026 } - 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - ··· - 2 ^ { 4 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
$ = - ( 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - 2 ^ { 2023 } - ··· - 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
$······$
$ = - 2 ^ { 1 } $
$ = - 2 $。
（2）$ 2 ^ { n + 1 } - 2 ^ { n } = 2 × 2 ^ { n } - 1 × 2 ^ { n } = 2 ^ { n } $。
（3）原式 $ = - ( 2 ^ { 2026 } - 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - ··· - 2 ^ { 4 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
$ = - ( 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - 2 ^ { 2023 } - ··· - 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
$······$
$ = - 2 ^ { 1 } $
$ = - 2 $。
解析
【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 做第（1）问时，先观察给出的前3个等式的特征：第1个等式是$2^2-2^1$，第2个是$2^3-2^2$，第3个是$2^4-2^3$，每往后一个等式，两个幂的指数同步加1，按照这个递增规律直接写出第4个等式，再仿照示例的提取公因式拆分形式补全即可。
2. 做第（2）问时，把等式的序号n和对应幂的指数做对应：第n个等式里，被减数的指数是n+1，减数的指数是n，再仿照前面的变形逻辑，提取公因式$2^n$就能写出通用的第n个等式。
3. 做第（3）问时，直接计算高次幂的和显然不现实，我们利用前面总结出的规律$2^{n+1}-2^n=2^n$，对原式从最高次项开始逐步变形，通过相邻项的差不断化简，逐项抵消后就能快速得到最终结果。
【解析】
解：
（1）观察已知的3个等式的指数变化规律，第4个等式的被减数指数为5，减数指数为4，按照示例的拆分格式可得：
$2 ^ { 5 } - 2 ^ { 4 } = 2 × 2 ^ { 4 } - 1 × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 4 } $
（2）结合上述规律，第n个等式中被减数为$2^{n+1}$，减数为$2^n$，提取公因式$2^n$变形可得通用等式：
$ 2 ^ { n + 1 } - 2 ^ { n } = 2 × 2 ^ { n } - 1 × 2 ^ { n } = 2 ^ { n } $
（3）计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+··· +2^{2025}-2^{2026}$：
先对原式提取负号变形：
原式$ = - ( 2 ^ { 2026 } - 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - ··· - 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
根据第（2）问得到的规律$2^{2026}-2^{2025}=2^{2025}$，代入括号内化简得：
$= - ( 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - 2 ^ { 2023 } - ··· - 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
重复使用上述规律不断化简括号内的最高次差，经过多次逐项抵消后，括号内最终剩余$2^1$，因此：
$= - 2 ^ { 1 } $
$= -2$
【答案】
（1）$ 2 ^ { 5 } - 2 ^ { 4 } = 2 × 2 ^ { 4 } - 1 × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 4 } $；
（2）$ 2 ^ { n + 1 } - 2 ^ { n } = 2 × 2 ^ { n } - 1 × 2 ^ { n } = 2 ^ { n } $；
（3）$-2$
【知识点】
数字规律探究，幂的运算，裂项相消求和
【点评】
本题是典型的归纳应用型规律探究题，先通过特殊示例总结通用运算规律，再反过来用规律简化高次幂的复杂求和，避免了大数硬算，充分考察了从特殊到一般的数学推理思想，第三问的符号变形和规律复用是本题的核心易错点，能有效锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 做第（1）问时，先观察给出的前3个等式的特征：第1个等式是$2^2-2^1$，第2个是$2^3-2^2$，第3个是$2^4-2^3$，每往后一个等式，两个幂的指数同步加1，按照这个递增规律直接写出第4个等式，再仿照示例的提取公因式拆分形式补全即可。
2. 做第（2）问时，把等式的序号n和对应幂的指数做对应：第n个等式里，被减数的指数是n+1，减数的指数是n，再仿照前面的变形逻辑，提取公因式$2^n$就能写出通用的第n个等式。
3. 做第（3）问时，直接计算高次幂的和显然不现实，我们利用前面总结出的规律$2^{n+1}-2^n=2^n$，对原式从最高次项开始逐步变形，通过相邻项的差不断化简，逐项抵消后就能快速得到最终结果。
【解析】
解：
（1）观察已知的3个等式的指数变化规律，第4个等式的被减数指数为5，减数指数为4，按照示例的拆分格式可得：
$2 ^ { 5 } - 2 ^ { 4 } = 2 × 2 ^ { 4 } - 1 × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 4 } $
（2）结合上述规律，第n个等式中被减数为$2^{n+1}$，减数为$2^n$，提取公因式$2^n$变形可得通用等式：
$ 2 ^ { n + 1 } - 2 ^ { n } = 2 × 2 ^ { n } - 1 × 2 ^ { n } = 2 ^ { n } $
（3）计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+··· +2^{2025}-2^{2026}$：
先对原式提取负号变形：
原式$ = - ( 2 ^ { 2026 } - 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - ··· - 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
根据第（2）问得到的规律$2^{2026}-2^{2025}=2^{2025}$，代入括号内化简得：
$= - ( 2 ^ { 2025 } - 2 ^ { 2024 } - 2 ^ { 2023 } - ··· - 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) $
重复使用上述规律不断化简括号内的最高次差，经过多次逐项抵消后，括号内最终剩余$2^1$，因此：
$= - 2 ^ { 1 } $
$= -2$
【答案】
（1）$ 2 ^ { 5 } - 2 ^ { 4 } = 2 × 2 ^ { 4 } - 1 × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 4 } $；
（2）$ 2 ^ { n + 1 } - 2 ^ { n } = 2 × 2 ^ { n } - 1 × 2 ^ { n } = 2 ^ { n } $；
（3）$-2$
【知识点】
数字规律探究，幂的运算，裂项相消求和
【点评】
本题是典型的归纳应用型规律探究题，先通过特殊示例总结通用运算规律，再反过来用规律简化高次幂的复杂求和，避免了大数硬算，充分考察了从特殊到一般的数学推理思想，第三问的符号变形和规律复用是本题的核心易错点，能有效锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
